Најважније из лекције
- Кинематика равномерно променљивог кретања:
- Брзина: \( v = v_0 \pm a \cdot t \)
- Пут: \( s = v_0 \cdot t \pm \frac{a \cdot t^2}{2} \)
- Веза пута и брзине: \( v^2 = v_0^2 \pm 2a \cdot s \)
- Површина испод \(v\text{-}t\) графика увек представља пређени пут (\(s\)).
- Њутнови закони динамике:
- I закон (инерција): Без дејства силе тело мирује или се креће равномерно праволинијски.
- II закон (динамика): \( F = m \cdot a \) – сила даје телу масе \(m\) убрзање \(a\).
- III закон (акција и реакција): Силе узајамног деловања два тела су једнаких интензитета, истог правца и супротних смерова (\(F_1 = F_2\)), и делују на различита тела.
Равномерно променљиво праволинијско кретање је кретање по правој линији при коме се брзина тела у једнаким временским интервалима мења за једнаке вредности, што значи да је убрзање стално (\(a = \text{const}\)).
Мерна јединица за убрзање је метар у секунди на квадрат (\(\text{m/s}^2\)). Означава за колико се \(\text{m/s}\) промени брзина тела у свакој секунди.
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t} \]
\(a\) – убрзање, \(v_0\) – почетна брзина, \(v\) – тренутна (крајња) брзина, \(t\) – време
Зависност тренутне брзине од времена:
- Убрзано кретање без почетне брзине (\(v_0 = 0\)): \( v = a \cdot t \)
- Убрзано кретање са почетном брзином (\(v_0 > 0\)): \( v = v_0 + a \cdot t \)
- Успорено кретање: \( v = v_0 - a \cdot t \)
Аутомобил креће из мировања са сталним убрзањем од \( 3 \text{ m/s}^2 \). Колика је његова брзина након \( 4 \text{ s} \)?
Пошто је \( v_0 = 0 \):
\[ v = a \cdot t = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4 \, \text{s} = 12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
График зависности тренутне брзине од времена (\(v\text{-}t\) график) код равномерно променљивог праволинијског кретања је права линија.
Особине \(v\text{-}t\) графика:
- Нагиб графика: Што је права стрмија, то је убрзање тела веће. Хоризонтална права представља кретање сталном брзином (\(a = 0\)).
- Паралелни графици: Ако су праве паралелне, тела имају једнака убрзања.
- Пресек два графика: Тачка пресека показује тренутак у којем оба тела имају једнаке тренутне брзине.
- Одређивање убрзања са графика: Одабиром две тачке \( A(t_A, v_A) \) и \( B(t_B, v_B) \), убрзање се рачуна као: \[ a = \frac{v_B - v_A}{t_B - t_A} \]
Са \(v\text{-}t\) графика очитане су тачке \( A(1\text{ s}, 4\text{ m/s}) \) и \( B(4\text{ s}, 13\text{ m/s}) \). Колико је убрзање тела?
\[ a = \frac{v_B - v_A}{t_B - t_A} = \frac{13 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \, \text{s} - 1 \, \text{s}} = \frac{9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{3 \, \text{s}} = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Геометријско значење пређеног пута: Пређени пут на \(v\text{-}t\) графику бројно је једнак површини фигуре између линије графика и временске осе (\(t\)-осе).
Обрасци за пређени пут:
- Кретање сталном брзином: \[ s = v \cdot t \]
- Равномерно убрзано без почетне брзине (\(v_0 = 0\)): \[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} \]
- Равномерно убрзано са почетном брзином: \[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \]
- Равномерно успорено кретање: \[ s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \]
- Средња брзина код равномерно променљивог кретања једнака је аритметичкој средини почетне и крајње брзине: \[ v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2}, \quad s = v_{sr} \cdot t \]
- Веза између тренутне брзине и пређеног пута (без времена): \[ v^2 = v_0^2 + 2a \cdot s \quad (\text{за } v_0 = 0 \implies v^2 = 2a \cdot s) \]
Ако тело креће из мировања са убрзањем \( a = 2 \text{ m/s}^2 \), за време \( t = 5 \text{ s} \) прећи ће пут:
\[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (5 \, \text{s})^2}{2} = 25 \text{ m} \]
Први Њутнов закон (Закон инерције): Свако тело остаје у стању мировања или равномерног праволинијског кретања све док га нека сила не примора да то стање промени (ако је укупна сила \( F = 0 \)).
Други Њутнов закон (Основни закон динамике): Убрзање које тело добија сразмерно је сили која на њега делује, а обрнуто сразмерно маси тог тела.
\[ F = m \cdot a \quad \Longleftrightarrow \quad a = \frac{F}{m} \]
\(F\) – сила (\(\text{N}\)), \(m\) – маса тела (\(\text{kg}\)), \(a\) – убрзање (\(\text{m/s}^2\))
Јединица за силу: \( 1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)
Ако на тело веће масе делује иста сила, оно ће добити мање убрзање због своје веће инертности.
Колика сила је потребна да телу масе \( 500 \text{ kg} \) саопшти убрзање од \( 2 \text{ m/s}^2 \)?
\[ F = m \cdot a = 500 \text{ kg} \cdot 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 1000 \text{ N} = 1 \text{ kN} \]
Трећи Њутнов закон: Силе којима два тела узајамно делују једно на друго имају једнаке интензитете, исти правац, а супротне смерове.
\[ F_{\text{акције}} = F_{\text{реакције}} \quad (F_A = F_B) \]
Силе акције и реакције увек делују у паровима и делују на различита тела, па се због тога међусобно не поништавају!
Када пливач рукама гура воду уназад (акција), вода истом толиком силом гура пливача унапред (реакција). При испаљивању метка из пушке, пушка делује силом на метак, а метак истом таквом силом делује на пушку уназад (трзај).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Тело масе \( 4 \text{ kg} \) мирује на глаткој хоризонталној подлози. Под дејством сталне силе тело се покрене и за \( 3 \text{ s} \) достигне брзину од \( 6 \text{ m/s} \). Колики је интензитет те силе?
1. Корак: Израчунавање убрзања тела из кинематике:
\[ a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 0}{3 \, \text{s}} = 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
2. Корак: Примена Другог Њутновог закона:
\[ F = m \cdot a = 4 \text{ kg} \cdot 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 8 \text{ N} \]
Одговор: Интензитет силе је \( 8 \text{ N} \).
Задатак 2 (Средњи): Аутомобил се креће почетном брзином од \( 15 \text{ m/s} \) и почиње да убрзава сталним убрзањем од \( 2 \text{ m/s}^2 \) током \( 6 \text{ s} \). Одредити:
а) тренутну брзину након \( 6 \text{ s} \);
б) пут који аутомобил пређе за то време.
а) тренутну брзину након \( 6 \text{ s} \);
б) пут који аутомобил пређе за то време.
а) Тренутна брзина:
\[ v = v_0 + a \cdot t = 15 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} + 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6 \, \text{s} = 15 + 12 = 27 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
б) Пређени пут:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} = 15 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \, \text{s} + \frac{2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \, \text{s})^2}{2} \]
\[ s = 90 \text{ m} + 36 \text{ m} = 126 \text{ m} \]
Одговор: Крајња брзина је \( 27 \text{ m/s} \), а пређени пут \( 126 \text{ m} \).
Задатак 3 (Средњи): Метак масе \( 10 \text{ g} \) испаљен је из пушчане цеви дужине \( 80 \text{ cm} \). Брзина метка на излазу из цеви је \( 800 \text{ m/s} \). Под претпоставком да је кретање равномерно убрзано без почетне брзине, израчунај силу којом барутни гасови делују на метак.
Подаци: \( m = 10\text{ g} = 0,01\text{ kg} \), \( s = 80\text{ cm} = 0,8\text{ m} \), \( v = 800\text{ m/s} \), \( v_0 = 0 \).
1. Корак: Одређивање убрзања из везе брзине и пута: \[ v^2 = 2a \cdot s \implies a = \frac{v^2}{2s} = \frac{(800 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 0,8 \, \text{m}} = \frac{640\,000}{1,6} = 400\,000 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \] 2. Корак: Одређивање силе: \[ F = m \cdot a = 0,01 \text{ kg} \cdot 400\,000 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 4000 \text{ N} = 4 \text{ kN} \] Одговор: Сила барутних гасова износи \( 4 \text{ kN} \).
1. Корак: Одређивање убрзања из везе брзине и пута: \[ v^2 = 2a \cdot s \implies a = \frac{v^2}{2s} = \frac{(800 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 0,8 \, \text{m}} = \frac{640\,000}{1,6} = 400\,000 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \] 2. Корак: Одређивање силе: \[ F = m \cdot a = 0,01 \text{ kg} \cdot 400\,000 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 4000 \text{ N} = 4 \text{ kN} \] Одговор: Сила барутних гасова износи \( 4 \text{ kN} \).
Задатак 4 (Тежак): Тело масе \( 2 \text{ kg} \) полази из мировања. Током прве \( 4 \text{ s} \) на њега у смеру кретања делује стална сила од \( 6 \text{ N} \). Након тога сила престаје да делује и тело наставља да се креће још \( 3 \text{ s} \). Колики је укупан пут који је тело прешло за свих \( 7 \text{ s} \)?
Прва етапа (убрзано кретање, \( t_1 = 4\text{ s} \)):
\[ a = \frac{F}{m} = \frac{6 \text{ N}}{2 \text{ kg}} = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
\[ v_1 = a \cdot t_1 = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4 \, \text{s} = 12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
\[ s_1 = \frac{a \cdot t_1^2}{2} = \frac{3 \cdot 4^2}{2} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24 \text{ m} \]
Друга етапа (равномерно кретање брзином \( v_1 = 12\text{ m/s} \), \( t_2 = 3\text{ s} \)):
Пошто сила више не делује (\(F = 0\)), по I Њутновом закону тело наставља да се креће сталном брзином:
\[ s_2 = v_1 \cdot t_2 = 12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3 \, \text{s} = 36 \text{ m} \]
Укупан пређени пут:
\[ s_u = s_1 + s_2 = 24 \text{ m} + 36 \text{ m} = 60 \text{ m} \]
Одговор: Укупан пређени пут тела износи \( 60 \text{ m} \).
