Најважније из лекције
- Слободан пад: кретање без почетне брзине (\( v_0=0 \)) под дејством силе теже: \( v = gt \), \( h = \frac{gt^2}{2} \), \( v = \sqrt{2gh} \).
- Хитац навише: успорено кретање навише до заустављања (\( t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \), \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \)), након чега следи слободан пад. Време пењања је једнако времену падања.
- Сила трења: супротставља се кретању и рачуна се као \( F_{tr} = \mu \cdot F_n \). Не зависи од додирне површине, већ од врсте материјала (\( \mu \)) и нормалне силе (\( F_n \)).
- Коефицијент трења \( \mu \): неименован број (\( \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} \)). На хоризонталној подлози \( F_n = mg \).
- Равнотежа при сталној брзини: ако се тело креће праволинијски и константном брзином, вучна сила једнака је сили трења/отпора (\( F_v = F_{tr} \)).
Кретање тела под искључивим утицајем Земљине теже може бити слободан пад, хитац навише или хитац наниже. У свим овим кретањима убрзање тела је убрзање Земљине теже \( g \approx 9,81 \text{ m/s}^2 \).
\( h \) – висина (пређени пут), \( t \) – време, \( v_0 \) – почетна брзина, \( v \) – тренутна/крајња брзина, \( g \) – гравитационо убрзање, \( v_s \) – средња брзина.
| Врста кретања | Тренутна брзина | Пређени пут (висина) | Веза брзине и пута |
|---|---|---|---|
| Слободан пад (\( v_0 = 0 \)) | \( v = gt \) | \( h = \frac{gt^2}{2} \) | \( v = \sqrt{2gh} \) |
| Хитац наниже | \( v = v_0 + gt \) | \( h = v_0t + \frac{gt^2}{2} \) | \( v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \) |
| Хитац навише | \( v = v_0 - gt \) | \( h = v_0t - \frac{gt^2}{2} \) | \( v^2 = v_0^2 - 2gh \) |
Карактеристичне величине хица навише:
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \quad \text{(време пењања до највише тачке)} \]
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \quad \text{(максимална висина пењања)} \]
Код хица навише (уз занемаривање отпора ваздуха):
- Време пењања једнако је времену падања са максималне висине: \( t_{\text{penjanja}} = t_{\text{padanja}} \).
- Брзина којом је тело избачено навише по интензитету је једнака брзини којом тело пада назад у полазну тачку: \( v_{\text{udar}} = v_0 \).
Средња брзина код свих променљивих кретања је \( v_s = \frac{s_u}{t_u} \), док се код равномерно променљивог кретања може рачунати и као аритметичка средина почетне и крајње брзине: \( v_s = \frac{v_0 + v}{2} \).
Ако тело слободно пада са висине \( h = 44,14 \text{ m} \), време падања је:
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 44,14 \text{ m}}{9,81 \text{ m/s}^2}} = \sqrt{9 \text{ s}^2} = 3 \text{ s}. \]
Сила трења је контактна сила која се јавља на додирној површини два тела и увек је усмерена супротно од смера релативног кретања (или тежње ка кретању).
Мерна јединица за силу трења је њутн (\( \text{N} \)).
Врсте трења:
- Трење мировања (статичко): јавља се када постоји сила која тежи да покрене тело, а тело још мирује.
- Трење клизања (кинетичко): јавља се при релативном клизању једног тела по површини другог.
- Трење котрљања: јавља се при котрљању ваљкастих или сферних тела; по интензитету је знатно мање од трења клизања.
Својства силе трења:
- Сила трења не зависи од величине додирне површине тела.
- Сила трења зависи од врсте материјала и степена храпавости додирних површина.
- Сила трења зависи од нормалне силе притиска којом тело делује на подлогу.
Значај трења у пракси:
- Корисно дејство: омогућава ходање, кретање возила (приањање точкова) и кочење. Повећава се повећањем храпавости (нпр. посипање песка по леду).
- Штетно дејство: доводи до загревања и хабања машинских делова. Смањује се подмазивањем (уљима и мастима), углачавањем или коришћењем котрљајних лежајева.
\[ F_{tr} = \mu \cdot F_n \]
\( F_{tr} \) – сила трења клизања (\( \text{N} \)), \( \mu \) – коефицијент трења, \( F_n \) – нормална сила притиска (\( \text{N} \)).
Коефицијент трења (\( \mu \)):
- Нема мерну јединицу (неименован број), јер представља однос две силе: \( \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} \).
- Зависи искључиво од материјала и обраде додирних површина.
Када се тело масе \( m \) креће по хоризонталној подлози, нормална сила је једнака тежини тела:
\[ F_n = Q = m \cdot g \implies F_{tr} = \mu \cdot m \cdot g \]
Ако се тело креће по хоризонталној равни сталном брзином (\( v = \text{const} \Rightarrow a = 0 \)), вучна сила \( F_v \) је по Првом Њутновом закону једнака сили трења (односно сили отпора):
\[ F_v = F_{tr} \]
Ако на тело делује само сила отпора средине или трење, убрзање (успорење) тела рачуна се помоћу Другог Њутновог закона:
\[ F_o = m \cdot a \implies a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \]
Орман масе на који делује нормална сила \( F_n = 1000 \text{ N} \) гура се по поду, при чему је измерена сила трења \( F_{tr} = 500 \text{ N} \). Коефицијент трења износи:
\[ \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} = \frac{500 \text{ N}}{1000 \text{ N}} = 0,5. \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Тело је пуштено да слободно пада са висине од \( 20 \text{ m} \). Израчунати брзину којом тело удара о тло. Узети да је \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \).
Познато: \( h = 20 \text{ m} \), \( v_0 = 0 \), \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \)
Формула: \( v = \sqrt{2gh} \)
Рачун: \[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20 \text{ m}} = \sqrt{392,4 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 19,81 \text{ m/s} \] Одговор: Брзина удара о тло је приближно \( 19,81 \text{ m/s} \).
Формула: \( v = \sqrt{2gh} \)
Рачун: \[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20 \text{ m}} = \sqrt{392,4 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 19,81 \text{ m/s} \] Одговор: Брзина удара о тло је приближно \( 19,81 \text{ m/s} \).
Задатак 2 (Средњи): Сандук масе \( 50 \text{ kg} \) вуче се по хоризонталном поду константном брзином помоћу хоризонталне силе од \( 150 \text{ N} \). Колики је коефицијент трења између сандука и пода? (\( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \))
Познато: \( m = 50 \text{ kg} \), \( F_v = 150 \text{ N} \), \( v = \text{const} \implies F_{tr} = F_v = 150 \text{ N} \)
Формула: \[ F_n = m \cdot g = 50 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 = 490,5 \text{ N} \] \[ \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} \] Рачун: \[ \mu = \frac{150 \text{ N}}{490,5 \text{ N}} \approx 0,306 \] Одговор: Коефицијент трења износи приближно \( 0,31 \).
Формула: \[ F_n = m \cdot g = 50 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 = 490,5 \text{ N} \] \[ \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} \] Рачун: \[ \mu = \frac{150 \text{ N}}{490,5 \text{ N}} \approx 0,306 \] Одговор: Коефицијент трења износи приближно \( 0,31 \).
Задатак 3 (Средњи): Лоптица је избачена вертикално навише почетном брзином од \( 19,62 \text{ m/s} \). Колико је време потребно лоптици да достигне максималну висину и колико износи та висина? (\( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \))
Познато: \( v_0 = 19,62 \text{ m/s} \), \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \)
Време пењања: \[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{19,62 \text{ m/s}}{9,81 \text{ m/s}^2} = 2 \text{ s} \] Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(19,62 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2} = \frac{384,94}{19,62} = 19,62 \text{ m} \] Одговор: Време пењања је \( 2 \text{ s} \), а максимална висина је \( 19,62 \text{ m} \).
Време пењања: \[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{19,62 \text{ m/s}}{9,81 \text{ m/s}^2} = 2 \text{ s} \] Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(19,62 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2} = \frac{384,94}{19,62} = 19,62 \text{ m} \] Одговор: Време пењања је \( 2 \text{ s} \), а максимална висина је \( 19,62 \text{ m} \).
Задатак 4 (Тежак): Метак масе \( 10 \text{ g} \) улети у дрвену даску брзином од \( 400 \text{ m/s} \), а из ње излети брзином од \( 100 \text{ m/s} \). Ако је дебљина даске \( 5 \text{ cm} \), одредити средњу силу отпора којом је даска деловала на метак.
Познато: \( m = 10 \text{ g} = 0,01 \text{ kg} \), \( v_0 = 400 \text{ m/s} \), \( v = 100 \text{ m/s} \), \( s = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m} \)
1. Израчунавање успорења (акцелерације): \[ v^2 - v_0^2 = 2as \implies a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \] \[ a = \frac{(100 \text{ m/s})^2 - (400 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 0,05 \text{ m}} = \frac{10000 - 160000}{0,1} = -1500000 \text{ m/s}^2 \] 2. Израчунавање силе отпора: \[ F_o = m \cdot |a| = 0,01 \text{ kg} \cdot 1500000 \text{ m/s}^2 = 15000 \text{ N} = 15 \text{ kN} \] Одговор: Интензитет средње силе отпора износи \( 15 \text{ kN} \) (смер је супротан кретању метка).
1. Израчунавање успорења (акцелерације): \[ v^2 - v_0^2 = 2as \implies a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \] \[ a = \frac{(100 \text{ m/s})^2 - (400 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 0,05 \text{ m}} = \frac{10000 - 160000}{0,1} = -1500000 \text{ m/s}^2 \] 2. Израчунавање силе отпора: \[ F_o = m \cdot |a| = 0,01 \text{ kg} \cdot 1500000 \text{ m/s}^2 = 15000 \text{ N} = 15 \text{ kN} \] Одговор: Интензитет средње силе отпора износи \( 15 \text{ kN} \) (смер је супротан кретању метка).
