Најважније из лекције
Механички рад: \( A = F \cdot s \) (јединица: \( 1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m} \)). Рад је нула ако нема кретања или ако сила делује нормално на правац кретања.
Рад силе теже: \( A_g = mgh \) (позитиван при падању, негативан при пењању).
Рад силе трења: \( A_{tr} = -F_{tr} \cdot s \) (увек негативан).
Кинетичка енергија: Енергија кретања \( E_k = \frac{mv^2}{2} \).
Потенцијална енергија: Енергија положаја \( E_p = mgh \) и енергија еластичне деформације.
Веза рада и енергије: \( A = \Delta E \). Извршени рад доводи до промене механичке енергије.
Закон одржања механичке енергије: Када делују само конзервативне силе, укупна енергија је стална: \( E_k + E_p = \text{const.} \)
Снага: Брзина вршења рада \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица: \( 1\text{ W} = 1\frac{\text{J}}{\text{s}} \); \( 1\text{ kWh} = 3,6\text{ MJ} \)).
Коефицијент корисног дејства: \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \) (увек мањи од 1, односно мањи од 100%).
Рад силе теже: \( A_g = mgh \) (позитиван при падању, негативан при пењању).
Рад силе трења: \( A_{tr} = -F_{tr} \cdot s \) (увек негативан).
Кинетичка енергија: Енергија кретања \( E_k = \frac{mv^2}{2} \).
Потенцијална енергија: Енергија положаја \( E_p = mgh \) и енергија еластичне деформације.
Веза рада и енергије: \( A = \Delta E \). Извршени рад доводи до промене механичке енергије.
Закон одржања механичке енергије: Када делују само конзервативне силе, укупна енергија је стална: \( E_k + E_p = \text{const.} \)
Снага: Брзина вршења рада \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица: \( 1\text{ W} = 1\frac{\text{J}}{\text{s}} \); \( 1\text{ kWh} = 3,6\text{ MJ} \)).
Коефицијент корисног дејства: \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \) (увек мањи од 1, односно мањи од 100%).
Механички рад је физичка појава која настаје када на тело делује сила и услед тог деловања долази до померања тела (пређеног пута) или његове деформације. Рад силе је скаларна физичка величина којом се описује извршени механички рад.
\( A \)
Џул (\( \text{J} \)), \( 1\text{ J} = 1\text{ N} \cdot 1\text{ m} = 1\text{ kg}\cdot\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \)
\[ A = F \cdot s \]
\( A \) – рад силе, \( F \) – јачина силе у правцу кретања, \( s \) – пређени пут
Услови за вршење рада и предзнак рада:
- Ако нема кретања ни деформације (\( s = 0 \)), рад је једнак нули (нпр. држање терета у месту).
- Ако сила делује нормално на правац кретања, њен рад је једнак нули (нпр. ношење терета по равном поду).
- Када се тело креће у смеру деловања силе, рад је позитиван (\( A > 0 \)).
- Када се тело креће у смеру супротном од деловања силе, рад је негативан (\( A < 0 \)) (нпр. дизалица при спуштању терета).
Колики рад изврши сила од \( 40\text{ N} \) при померању сандука по поду на путу од \( 5\text{ m} \)?
\( A = F \cdot s = 40\text{ N} \cdot 5\text{ m} = 200\text{ J} \).
Рад силе теже (\( A_g \)) зависи само од масе тела и висинске разлике почетног и крајњег положаја тела, а не зависи од облика путање (сила теже је конзервативна сила).
\[ A_g = m \cdot g \cdot h \]
При слободном падању и кретању наниже рад силе теже је позитиван (\( +mgh \)), а при кретању тела навише је негативан (\( -mgh \)).
Рад силе трења (\( A_{tr} \)) је увек негативан, јер сила трења делује у смеру супротном од смера кретања тела.
\[ A_{tr} = -F_{tr} \cdot s = -\mu mgs \]
\( F_{tr} \) – сила трења, \( \mu \) – коефицијент трења, \( s \) – пређени пут
Тело масе \( 3\text{ kg} \) падне са висине од \( 4\text{ m} \). Израчунај рад силе теже (\( g \approx 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)).
\( A_g = mgh = 3\text{ kg} \cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4\text{ m} = 117,72\text{ J} \).
Механичка енергија представља способност тела да врши механички рад. Означава се са \( E \), а мерна јединица је џул (\( \text{J} \)).
Кинетичка енергија (\( E_k \)) је енергија коју тело поседује услед свог кретања. Сразмерна је маси тела и квадрату његове брзине. Не може бити негативна.
\[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \]
\( m \) – маса тела, \( v \) – брзина тела
Гравитациона потенцијална енергија (\( E_p \)) је енергија положаја коју тело има због висине на којој се налази у односу на изабрани референтни ниво.
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
\( h \) – висина у односу на референтни ниво
Енергија еластичне деформације је облик потенцијалне енергије коју поседују еластично деформисана тела (нпр. сабијена или истегнута опруга).
\[ E = E_k + E_p \]
Укупна механичка енергија једнака је збиру кинетичке и потенцијалне енергије тела.
Аутомобил масе \( 1\,000\text{ kg} \) креће се брзином \( 20\frac{\text{m}}{\text{s}} \). Одреди његову кинетичку енергију.
\( E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{1\,000\text{ kg} \cdot (20\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2} = \frac{1\,000 \cdot 400}{2} = 200\,000\text{ J} = 200\text{ kJ} \).
Веза рада и промене енергије: Промена механичке енергије тела једнака је извршеном раду спољашњих сила:
\[ A = \Delta E = E_2 - E_1 \]
Рад утрошен на промену брзине тела једнак је промени његове кинетичке енергије:
\[ A = E_{k2} - E_{k1} = \frac{m}{2}\left(v_2^2 - v_1^2\right) \]
Закон одржања механичке енергије: Ако на тело делују само конзервативне силе (као што су сила теже или еластична сила), укупна механичка енергија тела остаје непромењена током времена:
\[ E = E_k + E_p = \text{const.} \]
Пример: При слободном падању тела потенцијална енергија се смањује и претвара у кинетичку, док њихов збир остаје константан. Код математичког клатна енергија непрестано прелази из потенцијалне у кинетичку и обратно.
Универзални закон одржања енергије: Енергија се не може створити нити уништити, већ само може прелазити из једног облика у други или са једног тела на друго.
Тело је пуштено са висине \( h = 5\text{ m} \) без почетне брзине. Колика је брзина тела непосредно пре удара о тло? (\( g \approx 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \), занемарити отпор ваздуха).
Према закону одржања механичке енергије: \( E_{p1} = E_{k2} \implies mgh = \frac{mv^2}{2} \).
Следи: \( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ m}} = \sqrt{100} = 10\frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Следи: \( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ m}} = \sqrt{100} = 10\frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Снага је скаларна физичка величина која представља брзину вршења рада, односно количник извршеног рада и временског интервала у коме је рад извршен.
\( P \)
Ват (\( \text{W} \)), \( 1\text{ W} = 1\frac{\text{J}}{\text{s}} = 1\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^3} \)
\[ P = \frac{A}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v \]
\( P \) – снага, \( A \) – рад, \( t \) – време, \( F \) – сила, \( v \) – брзина
У пракси се за мерење потрошене електричне енергије користи јединица киловатчас (\( \text{kWh} \)):
\[ 1\text{ kWh} = 1\,000\text{ W} \cdot 3\,600\text{ s} = 3\,600\,000\text{ J} = 3,6\text{ MJ} \]
Коефицијент корисног дејства (\( \eta \)) представља однос корисног и уложеног рада (или корисне и уложене снаге). Нема јединицу (неименован број) и увек је мањи од 1 (односно мањи од 100%) због губитака на трење и отпоре средине.
\[ \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \]
\( A_k \) – користан рад, \( A_u \) – уложен (укупан) рад
Електромотор утроши \( 5\,000\text{ J} \) електричне енергије да би извршио користан механички рад од \( 4\,000\text{ J} \). Колики је коефицијент корисног дејства мотора?
\( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{4\,000\text{ J}}{5\,000\text{ J}} = 0,8 = 80\% \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колика вучна сила делује на тело ако на путу дужине \( 250\text{ m} \) изврши рад од \( 5\text{ kJ} \)?
Познато: \( A = 5\text{ kJ} = 5\,000\text{ J} \), \( s = 250\text{ m} \)
Тражи се: \( F = ? \)
Из формуле за рад \( A = F \cdot s \) следи:
\[ F = \frac{A}{s} = \frac{5\,000\text{ J}}{250\text{ m}} = 20\text{ N} \] Одговор: Јачина вучне силе је \( 20\text{ N} \).
Тражи се: \( F = ? \)
Из формуле за рад \( A = F \cdot s \) следи:
\[ F = \frac{A}{s} = \frac{5\,000\text{ J}}{250\text{ m}} = 20\text{ N} \] Одговор: Јачина вучне силе је \( 20\text{ N} \).
Задатак 2 (средњи): Дизалица подиже терет масе \( 600\text{ kg} \) на висину од \( 15\text{ m} \) за време од \( 30\text{ s} \). Колику снагу развија мотор дизалице при овом подизању? (\( g \approx 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \))
Познато: \( m = 600\text{ kg} \), \( h = 15\text{ m} \), \( t = 30\text{ s} \), \( g = 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)
Тражи се: \( P = ? \)
Рад који дизалица изврши једнак је раду против силе теже:
\[ A = mgh = 600\text{ kg} \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 15\text{ m} = 90\,000\text{ J} \]
Снага се израчунава преко формуле:
\[ P = \frac{A}{t} = \frac{90\,000\text{ J}}{30\text{ s}} = 3\,000\text{ W} = 3\text{ kW} \] Одговор: Снага мотора дизалице износи \( 3\text{ kW} \).
Тражи се: \( P = ? \)
Рад који дизалица изврши једнак је раду против силе теже:
\[ A = mgh = 600\text{ kg} \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 15\text{ m} = 90\,000\text{ J} \]
Снага се израчунава преко формуле:
\[ P = \frac{A}{t} = \frac{90\,000\text{ J}}{30\text{ s}} = 3\,000\text{ W} = 3\text{ kW} \] Одговор: Снага мотора дизалице износи \( 3\text{ kW} \).
Задатак 3 (средњи): Аутомобил масе \( 1\,200\text{ kg} \) повећа брзину са \( 10\frac{\text{m}}{\text{s}} \) на \( 20\frac{\text{m}}{\text{s}} \). Колики рад је извршио мотор аутомобила за ово убрзање?
Познато: \( m = 1\,200\text{ kg} \), \( v_1 = 10\frac{\text{m}}{\text{s}} \), \( v_2 = 20\frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Тражи се: \( A = ? \)
Рад је једнак промени кинетичке енергије тела:
\[ A = E_{k2} - E_{k1} = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2) \]
\[ A = \frac{1\,200\text{ kg}}{2} \left[ \left(20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 - \left(10\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \right] = 600 \cdot (400 - 100) = 600 \cdot 300 = 180\,000\text{ J} = 180\text{ kJ} \] Одговор: Извршени рад је \( 180\text{ kJ} \).
Тражи се: \( A = ? \)
Рад је једнак промени кинетичке енергије тела:
\[ A = E_{k2} - E_{k1} = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2) \]
\[ A = \frac{1\,200\text{ kg}}{2} \left[ \left(20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 - \left(10\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \right] = 600 \cdot (400 - 100) = 600 \cdot 300 = 180\,000\text{ J} = 180\text{ kJ} \] Одговор: Извршени рад је \( 180\text{ kJ} \).
Задатак 4 (тежак): Лопта масе \( 400\text{ g} \) бачена је са висине \( h_1 = 1,5\text{ m} \) вертикално навише почетном брзином \( v_1 = 12\frac{\text{m}}{\text{s}} \). Применом закона одржања механичке енергије одреди:
а) максималну висину \( h_{\text{max}} \) коју ће лопта достићи,
б) брзину лопте на висини \( h_2 = 5\text{ m} \). (\( g \approx 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \), занемарити отпор ваздуха).
а) максималну висину \( h_{\text{max}} \) коју ће лопта достићи,
б) брзину лопте на висини \( h_2 = 5\text{ m} \). (\( g \approx 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \), занемарити отпор ваздуха).
Познато: \( m = 0,4\text{ kg} \), \( h_1 = 1,5\text{ m} \), \( v_1 = 12\frac{\text{m}}{\text{s}} \), \( g = 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)
а) Максимална висина:
На максималној висини брзина је \( v = 0 \), па је укупна енергија само потенцијална: \[ E_1 = E_{\text{max}} \implies \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = mgh_{\text{max}} \] Дељењем са \( m \) добијамо: \[ h_{\text{max}} = h_1 + \frac{v_1^2}{2g} = 1,5\text{ m} + \frac{(12\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 1,5 + \frac{144}{20} = 1,5 + 7,2 = 8,7\text{ m} \]
б) Брзина на висини \( h_2 = 5\text{ m} \):
\[ \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 \] \[ \frac{v_2^2}{2} = \frac{v_1^2}{2} + g(h_1 - h_2) \] \[ v_2^2 = v_1^2 + 2g(h_1 - h_2) = (12)^2 + 2 \cdot 10 \cdot (1,5 - 5) = 144 + 20 \cdot (-3,5) = 144 - 70 = 74 \] \[ v_2 = \sqrt{74} \approx 8,6\frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Максимална висина је \( 8,7\text{ m} \), а брзина на висини од \( 5\text{ m} \) износи приближно \( 8,6\frac{\text{m}}{\text{s}} \).
а) Максимална висина:
На максималној висини брзина је \( v = 0 \), па је укупна енергија само потенцијална: \[ E_1 = E_{\text{max}} \implies \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = mgh_{\text{max}} \] Дељењем са \( m \) добијамо: \[ h_{\text{max}} = h_1 + \frac{v_1^2}{2g} = 1,5\text{ m} + \frac{(12\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 1,5 + \frac{144}{20} = 1,5 + 7,2 = 8,7\text{ m} \]
б) Брзина на висини \( h_2 = 5\text{ m} \):
\[ \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 \] \[ \frac{v_2^2}{2} = \frac{v_1^2}{2} + g(h_1 - h_2) \] \[ v_2^2 = v_1^2 + 2g(h_1 - h_2) = (12)^2 + 2 \cdot 10 \cdot (1,5 - 5) = 144 + 20 \cdot (-3,5) = 144 - 70 = 74 \] \[ v_2 = \sqrt{74} \approx 8,6\frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Максимална висина је \( 8,7\text{ m} \), а брзина на висини од \( 5\text{ m} \) износи приближно \( 8,6\frac{\text{m}}{\text{s}} \).
