Најважније из лекције
Механички рад: \( A = F \cdot s \) (јединица \(\text{J}\)). Рад је позитиван када су сила и кретање истог смера, а негативан ако су супротних смерова (нпр. трење).
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{m v^2}{2} \) – енергија кретања.
Гравитациона потенцијална енергија: \( E_p = m g h \) – енергија положаја у односу на референтни ниво.
Закон о одржању механичке енергије: \( E = E_k + E_p = \text{const.} \) у затвореном систему без губитака.
Снага и ефикасност: Снага је \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица \(\text{W}\)), а коефицијент корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \le 1 \).
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{m v^2}{2} \) – енергија кретања.
Гравитациона потенцијална енергија: \( E_p = m g h \) – енергија положаја у односу на референтни ниво.
Закон о одржању механичке енергије: \( E = E_k + E_p = \text{const.} \) у затвореном систему без губитака.
Снага и ефикасност: Снага је \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица \(\text{W}\)), а коефицијент корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \le 1 \).
Механички рад је физичка величина једнака производу интензитета силе и пређеног пута у правцу деловања те силе.
\( A \)
џул (\( \text{J} \)), где је \( 1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m} \)
\[ A = F \cdot s \]
\( F \) – сила (\( \text{N} \)), \( s \) – пређени пут (\( \text{m} \))
Знак механичког рада:
- Рад је позитиван (\( A > 0 \)) када се тело креће у смеру деловања силе (нпр. вучна сила).
- Рад је негативан (\( A < 0 \)) када сила делује у супротном смеру од смера кретања тела (нпр. рад силе трења: \( A_{tr} = -F_{tr}s \)).
Колики рад изврши стална сила интензитета \( F = 3,5\text{ N} \) ако се тело под њеним дејством помери за \( 20\text{ m} \) у смеру деловања силе?
\( A = F \cdot s = 3,5\text{ N} \cdot 20\text{ m} = 70\text{ J} \).
Кинетичка енергија је способност тела да врши рад услед свог кретања. Зависи од масе тела и квадрата његове брзине.
\( E_k \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \]
\( m \) – маса тела (\( \text{kg} \)), \( v \) – брзина тела (\( \text{m/s} \))
Рад свих спољашњих сила које убрзавају тело из стања мировања једнак је добијеној кинетичкој енергији тела:
\[ A = E_k = \frac{m v^2}{2} \]
Колика је кинетичка енергија аутомобила масе \( 1,6\text{ t} \) који се креће брзином \( 15\text{ m/s} \)?
Маса у основним јединицама: \( m = 1,6\text{ t} = 1600\text{ kg} \).
\[ E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{1600\text{ kg} \cdot (15\text{ m/s})^2}{2} = \frac{1600 \cdot 225}{2}\text{ J} = 180\,000\text{ J} = 180\text{ kJ} \]
Гравитациона потенцијална енергија је енергија коју тело поседује услед међусобног положаја према Земљи (висине на којој се налази у гравитационом пољу).
\( E_p \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
\( m \) – маса тела (\( \text{kg} \)), \( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \) – гравитационо убрзање, \( h \) – висина (\( \text{m} \))
Потенцијална енергија се увек рачуна у односу на изабрани референтни ниво (ниво на коме је \( h = 0 \), нпр. тло, под просторије или сто).
На којој се висини налази тело масе \( 2,8\text{ kg} \) ако је његова потенцијална енергија у односу на тло \( 900\text{ J} \)? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
Из обрасца \( E_p = mgh \) следи:
\[ h = \frac{E_p}{mg} = \frac{900\text{ J}}{2,8\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} \approx 32,7\text{ m} \]
Укупна механичка енергија тела једнака је збиру његове кинетичке и потенцијалне енергије:
\[ E = E_k + E_p \]
Закон о одржању механичке енергије: Уколико на тело не делују спољашње силе и нема губитака услед трења и отпора, укупна механичка енергија тела остаје константна током времена:
\[ E_1 = E_2 \implies E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
Ако над телом спољашње силе изврше рад \( A \), или се врши рад против силе отпора \( A_o \):
\[ E_1 + A = E_2 \quad \text{односно} \quad E_{p1} = E_{p2} + E_{k2} + A_o \]
При слободном паду са висине \( h \), почетна потенцијална енергија се у потпуности трансформише у кинетичку енергију непосредно пре удара о тло:
\[ mgh = \frac{mv^2}{2} \]
Снага представља брзину вршења рада, односно извршени рад у јединици времена.
\( P \)
ват (\( \text{W} \)), где је \( 1\text{ W} = 1\text{ J/s} \)
\[ P = \frac{A}{t} \]
Ако на тело делује константна сила при брзини кретања \( v \):
\[ P = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v \]
Коефицијент корисног дејства (\( \eta \)) је однос корисног рада (или корисне снаге) и укупног уложеног рада (или укупне снаге):
\[ \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \]
\( \eta \) је бездимензионална величина и увек је \( \eta \le 1 \) (односно \( \le 100\% \)).
Колика је корисна снага турбине ако је њена укупна снага \( 60\text{ kW} \), а коефицијент корисног дејства \( 0,9 \)?
\[ P_k = \eta \cdot P_u = 0,9 \cdot 60\text{ kW} = 54\text{ kW} \]
Задаци за вежбање
Лак: Тело се померило за \( 65\text{ cm} \) по хоризонталној подлози под дејством сталне силе интензитета \( 14\text{ N} \) која делује у смеру кретања тела. Израчунати извршени рад те силе.
Познато: \( F = 14\text{ N} \), \( s = 65\text{ cm} = 0,65\text{ m} \).
Формула: \( A = F \cdot s \)
Рачун: \( A = 14\text{ N} \cdot 0,65\text{ m} = 9,1\text{ J} \).
Одговор: Рад силе износи \( 9,1\text{ J} \).
Формула: \( A = F \cdot s \)
Рачун: \( A = 14\text{ N} \cdot 0,65\text{ m} = 9,1\text{ J} \).
Одговор: Рад силе износи \( 9,1\text{ J} \).
Средњи: Аутомобил масе \( 1100\text{ kg} \) убрзава из мировања до брзине \( 54\text{ km/h} \). Колика је била средња снага мотора ако је убрзавање трајало \( 1,77\text{ s} \)? (Занемарити губитке услед трења и отпора.)
Претварање јединица: \( v = 54\text{ km/h} = \frac{54}{3,6}\text{ m/s} = 15\text{ m/s} \).
1. Корак: Извршени рад једнак је промени кинетичке енергије: \[ A = E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{1100\text{ kg} \cdot (15\text{ m/s})^2}{2} = 123\,750\text{ J} = 123,75\text{ kJ} \] 2. Корак: Снага мотора: \[ P = \frac{A}{t} = \frac{123\,750\text{ J}}{1,77\text{ s}} \approx 70\,000\text{ W} = 70\text{ kW} \] Одговор: Снага мотора износи \( 70\text{ kW} \).
1. Корак: Извршени рад једнак је промени кинетичке енергије: \[ A = E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{1100\text{ kg} \cdot (15\text{ m/s})^2}{2} = 123\,750\text{ J} = 123,75\text{ kJ} \] 2. Корак: Снага мотора: \[ P = \frac{A}{t} = \frac{123\,750\text{ J}}{1,77\text{ s}} \approx 70\,000\text{ W} = 70\text{ kW} \] Одговор: Снага мотора износи \( 70\text{ kW} \).
Тежак: Падобранац масе \( 85\text{ kg} \) искочио је из авиона са висине \( 3200\text{ m} \). На некој висини \( h_2 \) достигао је брзину од \( 50\text{ m/s} \) и у том тренутку отворио падобран. Ако је рад силе отпора ваздуха до тог тренутка износио \( 1,895\text{ MJ} \), одредити висину \( h_2 \) на којој је отворен падобран. (\( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \))
Познато: \( m = 85\text{ kg} \), \( h_1 = 3200\text{ m} \), \( v = 50\text{ m/s} \), \( A_o = 1,895\text{ MJ} = 1\,895\,000\text{ J} \).
1. Корак: Према закону о одржању енергије, почетна потенцијална енергија се дели на савладавање отпора ваздуха, кинетичку енергију и преосталу потенцијалну енергију: \[ E_{p1} = A_o + E_k + E_{p2} \] \[ mgh_1 = A_o + \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \] 2. Корак: Изражавамо висину \( h_2 \): \[ h_2 = h_1 - \frac{A_o}{mg} - \frac{v^2}{2g} \] 3. Корак: Израчунавање чланова: \[ \frac{A_o}{mg} = \frac{1\,895\,000\text{ J}}{85\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} \approx 2272,6\text{ m} \] \[ \frac{v^2}{2g} = \frac{(50\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{2500}{19,62}\text{ m} \approx 127,4\text{ m} \] \[ h_2 = 3200\text{ m} - 2272,6\text{ m} - 127,4\text{ m} = 800\text{ m} \] Одговор: Падобран је отворен на висини од \( 800\text{ m} \).
1. Корак: Према закону о одржању енергије, почетна потенцијална енергија се дели на савладавање отпора ваздуха, кинетичку енергију и преосталу потенцијалну енергију: \[ E_{p1} = A_o + E_k + E_{p2} \] \[ mgh_1 = A_o + \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \] 2. Корак: Изражавамо висину \( h_2 \): \[ h_2 = h_1 - \frac{A_o}{mg} - \frac{v^2}{2g} \] 3. Корак: Израчунавање чланова: \[ \frac{A_o}{mg} = \frac{1\,895\,000\text{ J}}{85\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} \approx 2272,6\text{ m} \] \[ \frac{v^2}{2g} = \frac{(50\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{2500}{19,62}\text{ m} \approx 127,4\text{ m} \] \[ h_2 = 3200\text{ m} - 2272,6\text{ m} - 127,4\text{ m} = 800\text{ m} \] Одговор: Падобран је отворен на висини од \( 800\text{ m} \).
