Најважније из лекције
Хитац наниже: Равномерно убрзано кретање наниже са почетном брзином (\( v = v_0 + gt \), \( h = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \)).
Хитац навише: Равномерно успорено кретање навише (\( v = v_0 - gt \), \( h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \)). У највишој тачки брзина је \( v = 0 \).
Максимална висина и време: Време пењања је \( t_m = \frac{v_0}{g} \), а максимална висина је \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \).
Веза брзине и висине: \( v^2 = v_0^2 \pm 2gh \) (знак \( + \) за хитац наниже, знак \( - \) за хитац навише).
Симетрија кретања: Време пењања једнако је времену падања, а брзина којом тело падне назад једнака је брзини којом је избачено.
Хитац навише: Равномерно успорено кретање навише (\( v = v_0 - gt \), \( h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \)). У највишој тачки брзина је \( v = 0 \).
Максимална висина и време: Време пењања је \( t_m = \frac{v_0}{g} \), а максимална висина је \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \).
Веза брзине и висине: \( v^2 = v_0^2 \pm 2gh \) (знак \( + \) за хитац наниже, знак \( - \) за хитац навише).
Симетрија кретања: Време пењања једнако је времену падања, а брзина којом тело падне назад једнака је брзини којом је избачено.
Вертикални хитац је кретање тела дуж вертикалног правца под дејством силе Земљине теже, којем је саопштена почетна брзина (\( v_0 \neq 0 \)).
Хитац наниже је кретање тела под дејством силе Земљине теже са почетном брзином усмереном вертикално надоле. То је равномерно убрзано кретање са убрзањем \( g \).
\[ v = v_0 + g \cdot t \]
\[ h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 \]
\[ v^2 = v_0^2 + 2g \cdot h \]
\( v_0 \) – почетна брзина, \( v \) – тренутна брзина, \( h \) – пређени пут (висина), \( t \) – време кретања, \( g \) – гравитационо убрзање (\(\approx 9{,}81 \, \text{m/s}^2\) или \(10 \, \text{m/s}^2\))
Када кошаркаш води лопту ударајући њоме о подлогу или када бацимо камен са моста вертикално надоле, реч је о хицу наниже.
Хитац навише је кретање тела под дејством силе Земљине теже са почетном брзином усмереном вертикално нагоре. То је равномерно успорено кретање са успорењем \( g \).
Након што се тело одвоји од руке, на њега нагоре више не делује никаква сила - оно се нагоре креће по инерцији, док га сила Земљине теже успорава.
\[ v = v_0 - g \cdot t \]
\[ h = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \]
\[ v^2 = v_0^2 - 2g \cdot h \]
Жонглирање лоптицама или бацање лопте увис представља пример хица навише.
Када тело достигне максималну висину (\( h_{\text{max}} \)), његова тренутна брзина једнака је нули (\( v = 0 \)). Након тога тело почиње слободно да пада.
Време пењања до максималне висине:
\[ t_m = \frac{v_0}{g} \]
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
Кључна својства хица навише:
- Максимална висина \( h_{\text{max}} \) зависи само од почетне брзине \( v_0 \), а не зависи од масе тела.
- Време пењања до максималне висине једнако је времену падања назад до полазне тачке: \( t_{\text{пењања}} = t_{\text{падања}} \).
- Брзина којом се тело врати у почетни положај по интензитету је једнака брзини којом је бачено навише.
| Величина / Кретање | Слободан пад | Хитац наниже | Хитац навише |
|---|---|---|---|
| Почетна брзина (\( v_0 \)) | \( v_0 = 0 \) | \( v_0 \neq 0 \) (надоле) | \( v_0 \neq 0 \) (нагоре) |
| Карактер кретања | Равномерно убрзано | Равномерно убрзано | Равномерно успорено |
| Тренутна брзина (\( v \)) | \( v = g \cdot t \) | \( v = v_0 + g \cdot t \) | \( v = v_0 - g \cdot t \) |
| Пређени пут / висина (\( h \)) | \( h = \frac{1}{2} g \cdot t^2 \) | \( h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 \) | \( h = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \) |
| Веза брзине и пута | \( v^2 = 2g \cdot h \) | \( v^2 = v_0^2 + 2g \cdot h \) | \( v^2 = v_0^2 - 2g \cdot h \) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело је бачено вертикално наниже почетном брзином \( 4 \, \text{m/s} \). Колику брзину ће тело имати након \( 2 \, \text{s} \) кретања? (Узети \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Подаци:
\( v_0 = 4 \, \text{m/s} \)
\( t = 2 \, \text{s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
Примењујемо формулу за брзину код хица наниже: \[ v = v_0 + g \cdot t = 4 \, \text{m/s} + 10 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{s} = 4 + 20 = 24 \, \text{m/s} \] Одговор: Брзина тела након \( 2 \, \text{s} \) износи \( 24 \, \text{m/s} \).
\( v_0 = 4 \, \text{m/s} \)
\( t = 2 \, \text{s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
Примењујемо формулу за брзину код хица наниже: \[ v = v_0 + g \cdot t = 4 \, \text{m/s} + 10 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{s} = 4 + 20 = 24 \, \text{m/s} \] Одговор: Брзина тела након \( 2 \, \text{s} \) износи \( 24 \, \text{m/s} \).
Задатак 2 (средњи): Лопта је бачена вертикално навише почетном брзином \( 15 \, \text{m/s} \).
а) Израчунај време за које ће лопта достићи највишу тачку.
б) Колику максималну висину лопта достиже? (Узети \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
а) Израчунај време за које ће лопта достићи највишу тачку.
б) Колику максималну висину лопта достиже? (Узети \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Подаци:
\( v_0 = 15 \, \text{m/s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
а) Време пењања: \[ t_m = \frac{v_0}{g} = \frac{15 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 1{,}5 \, \text{s} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(15 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{225}{20} = 11{,}25 \, \text{m} \] Одговор: Време до највише тачке је \( 1{,}5 \, \text{s} \), а максимална висина је \( 11{,}25 \, \text{m} \).
\( v_0 = 15 \, \text{m/s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
а) Време пењања: \[ t_m = \frac{v_0}{g} = \frac{15 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 1{,}5 \, \text{s} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(15 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{225}{20} = 11{,}25 \, \text{m} \] Одговор: Време до највише тачке је \( 1{,}5 \, \text{s} \), а максимална висина је \( 11{,}25 \, \text{m} \).
Задатак 3 (средњи): Камен је бачен са моста вертикално наниже почетном брзином \( 3 \, \text{m/s} \). Падање до површине воде траје \( 2 \, \text{s} \). Колика је висина моста? (Узети \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Подаци:
\( v_0 = 3 \, \text{m/s} \)
\( t = 2 \, \text{s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
Висина са које је камен бачен одговара пређеном путу при хицу наниже: \[ h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 = 3 \, \text{m/s} \cdot 2 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \cdot (2 \, \text{s})^2 \] \[ h = 6 \, \text{m} + 5 \cdot 4 \, \text{m} = 6 \, \text{m} + 20 \, \text{m} = 26 \, \text{m} \] Одговор: Висина моста је \( 26 \, \text{m} \).
\( v_0 = 3 \, \text{m/s} \)
\( t = 2 \, \text{s} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
Висина са које је камен бачен одговара пређеном путу при хицу наниже: \[ h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 = 3 \, \text{m/s} \cdot 2 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \cdot (2 \, \text{s})^2 \] \[ h = 6 \, \text{m} + 5 \cdot 4 \, \text{m} = 6 \, \text{m} + 20 \, \text{m} = 26 \, \text{m} \] Одговор: Висина моста је \( 26 \, \text{m} \).
Задатак 4 (тежак): Стрела је избачена вертикално навише брзином \( 30 \, \text{m/s} \). Колику ће брзину имати стрела на висини од \( 25 \, \text{m} \) и након колико времена од тренутка избацивања ће се вратити на тло? (Узети \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Подаци:
\( v_0 = 30 \, \text{m/s} \)
\( h = 25 \, \text{m} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
1. Брзину на датој висини налазимо из везе брзине и висине: \[ v^2 = v_0^2 - 2g \cdot h = 30^2 - 2 \cdot 10 \cdot 25 = 900 - 500 = 400 \] \[ v = \sqrt{400} = 20 \, \text{m/s} \] 2. Време пењања до максималне висине износи: \[ t_m = \frac{v_0}{g} = \frac{30 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 3 \, \text{s} \] Укупно време кретања до повратка на тло једнако је двоструком времену пењања (\( t_{\text{укупно}} = 2 \cdot t_m \)): \[ t_{\text{укупно}} = 2 \cdot 3 \, \text{s} = 6 \, \text{s} \] Одговор: Брзина стреле на висини од \( 25 \, \text{m} \) износи \( 20 \, \text{m/s} \), а на тло се враћа након \( 6 \, \text{s} \).
\( v_0 = 30 \, \text{m/s} \)
\( h = 25 \, \text{m} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
1. Брзину на датој висини налазимо из везе брзине и висине: \[ v^2 = v_0^2 - 2g \cdot h = 30^2 - 2 \cdot 10 \cdot 25 = 900 - 500 = 400 \] \[ v = \sqrt{400} = 20 \, \text{m/s} \] 2. Време пењања до максималне висине износи: \[ t_m = \frac{v_0}{g} = \frac{30 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 3 \, \text{s} \] Укупно време кретања до повратка на тло једнако је двоструком времену пењања (\( t_{\text{укупно}} = 2 \cdot t_m \)): \[ t_{\text{укупно}} = 2 \cdot 3 \, \text{s} = 6 \, \text{s} \] Одговор: Брзина стреле на висини од \( 25 \, \text{m} \) износи \( 20 \, \text{m/s} \), а на тло се враћа након \( 6 \, \text{s} \).
