Најважније из лекције
Унакрсни углови: Несуседни углови које образују две праве које се секу; увек су међусобно једнаки (\( \alpha = \gamma \)). Пример: Ако је један угао \( 45^\circ \), њему унакрстан угао је такође \( 45^\circ \).
Упоредни углови: Суседни углови који заједно образују опружен угао; њихов збир је \( 180^\circ \).
Комплементни углови: Два угла чији је збир једнак \( 90^\circ \) (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)). Пример: Комплемент угла од \( 70^\circ \) је \( 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \).
Суплементни углови: Два угла чији је збир једнак \( 180^\circ \) (\( \alpha + \beta = 180^\circ \)). Пример: Суплемент угла од \( 70^\circ \) је \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Упоредни углови: Суседни углови који заједно образују опружен угао; њихов збир је \( 180^\circ \).
Комплементни углови: Два угла чији је збир једнак \( 90^\circ \) (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)). Пример: Комплемент угла од \( 70^\circ \) је \( 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \).
Суплементни углови: Два угла чији је збир једнак \( 180^\circ \) (\( \alpha + \beta = 180^\circ \)). Пример: Суплемент угла од \( 70^\circ \) је \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Унакрсни углови су парови несуседних углова са заједничким теменом које образују две праве које се секу.
Упоредни углови су суседни углови који имају један заједнички крак, док њихови други краци чине праву (граде опружен угао).
Теорема о унакрсним угловима: Унакрсни углови су међусобно једнаки.
\[ \alpha = \gamma \quad \text{и} \quad \beta = \delta \]
При пресеку две праве, сваки угао има тачно један себи унакрстан угао (који му је једнак) и два себи упоредна угла. Збир било која два упоредна угла је \( 180^\circ \).
Ако је један од углова који настају пресеком две праве једнак \( 75^\circ \), одреди вредност њему унакрсног угла и њему упоредних углова.
Унакрсни угао је једнак датом углу: \( 75^\circ \).
Упоредни углови са датим углом чине опружен угао (\( 180^\circ \)): \[ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \] Дакле, унакрстан угао је \( 75^\circ \), а оба упоредна угла износе по \( 105^\circ \).
Упоредни углови са датим углом чине опружен угао (\( 180^\circ \)): \[ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \] Дакле, унакрстан угао је \( 75^\circ \), а оба упоредна угла износе по \( 105^\circ \).
Комплементни углови су два угла чији је збир једнак правом углу (\( 90^\circ \)).
\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
Сваки од углова назива се комплемент оног другог: \( \beta = 90^\circ - \alpha \).
Комплементни углови морају бити оштри углови. Они не морају бити суседни – важно је само да је њихов збир једнак \( 90^\circ \).
Углови од \( 35^\circ \) и \( 55^\circ \) су комплементни јер је:
\[ 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ \]
Израчунај комплемент угла од \( 64^\circ \).
Тражени комплементни угао је:
\[ 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ \]
Суплементни углови су два угла чији је збир једнак опруженом углу (\( 180^\circ \)).
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
Сваки од углова назива се суплемент оног другог: \( \beta = 180^\circ - \alpha \).
Однос упоредних и суплементних углова: Сваки пар упоредних углова је истовремено и суплементан (јер чине опружен угао). Међутим, суплементни углови не морају бити упоредни – не морају имати заједничко теме ни заједнички крак, већ је довољно само да им је збир мера \( 180^\circ \).
Углови од \( 120^\circ \) и \( 60^\circ \) су суплементни јер је:
\[ 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \]
Одреди меру угла суплементног углу од \( 137^\circ \).
Тражени суплементни угао је:
\[ 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одреди комплемент и суплемент угла \( \alpha = 52^\circ \).
Комплемент угла \( \alpha \) је:
\[ 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ \]
Суплемент угла \( \alpha \) је:
\[ 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \]
Задатак 2 (средњи): Две праве се секу и образују четири угла. Збир два унакрсна угла износи \( 130^\circ \). Одреди све углове које граде ове две праве.
Како су унакрсни углови међусобно једнаки (\( \alpha = \gamma \)), имамо:
\[ \alpha + \gamma = 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = \gamma = 65^\circ \]
Преостала два угла (\( \beta \) и \( \delta \)) су њима упоредни (суплементни) и такође међусобно једнаки:
\[ \beta = \delta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \]
Мере углова су \( 65^\circ, 115^\circ, 65^\circ, 115^\circ \).
Задатак 3 (средњи): Одреди угао који је за \( 40^\circ \) већи од свог комплемента.
Означимо непознати угао са \( \alpha \). Његов комплемент је \( 90^\circ - \alpha \).
На основу услова задатка: \[ \alpha = (90^\circ - \alpha) + 40^\circ \] \[ \alpha + \alpha = 130^\circ \] \[ 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ \] Провера: Комплемент је \( 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ \), а разлика је \( 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ \).
На основу услова задатка: \[ \alpha = (90^\circ - \alpha) + 40^\circ \] \[ \alpha + \alpha = 130^\circ \] \[ 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ \] Провера: Комплемент је \( 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ \), а разлика је \( 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ \).
Задатак 4 (тежак): Одреди меру угла чији је суплемент четири пута већи од његовог комплемента.
Нека је тражени угао \( x \).
Његов комплемент је \( 90^\circ - x \), а његов суплемент је \( 180^\circ - x \).
Поставимо једначину: \[ 180^\circ - x = 4 \cdot (90^\circ - x) \] \[ 180^\circ - x = 360^\circ - 4x \] \[ 4x - x = 360^\circ - 180^\circ \] \[ 3x = 180^\circ \implies x = 60^\circ \] Провера: Комплемент угла од \( 60^\circ \) је \( 30^\circ \), а суплемент је \( 120^\circ \). Важи \( 120^\circ = 4 \cdot 30^\circ \).
Његов комплемент је \( 90^\circ - x \), а његов суплемент је \( 180^\circ - x \).
Поставимо једначину: \[ 180^\circ - x = 4 \cdot (90^\circ - x) \] \[ 180^\circ - x = 360^\circ - 4x \] \[ 4x - x = 360^\circ - 180^\circ \] \[ 3x = 180^\circ \implies x = 60^\circ \] Провера: Комплемент угла од \( 60^\circ \) је \( 30^\circ \), а суплемент је \( 120^\circ \). Важи \( 120^\circ = 4 \cdot 30^\circ \).
