Најважније из лекције
- Четвороугаона линија је затворена изломљена линија без самопресека од четири дужи; она дели раван на унутрашњу (ограничену) и спољашњу (неограничену) област.
- Четвороугао чине четвороугаона линија и њена унутрашња област; означавамо га \( ABCD \).
- Четвороугао је конвексан ако дуж која спаја било које две његове тачке цела припада четвороуглу; иначе је неконвексан.
- Темена: \( A, B, C, D \) (наспрамна: \( A,C \) и \( B,D \)). Странице: \( AB, BC, CD, DA \) (наспрамне: \( AB,CD \) и \( BC,DA \)).
- Унутрашњи углови: \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) код темена \( A, B, C, D \). Дијагонале: \( AC=d_1 \) и \( BD=d_2 \) спајају наспрамна темена.
- Обим: \( O = a + b + c + d \) — збир дужина свих страница.
Четвороугаона линија јесте затворена изломљена линија без тачака самопресека коју чине четири дужи такве да ниједне две не припадају једној правој.
Свака четвороугаона линија дели раван на две области:
- ограничену (унутрашња област четвороугаоне линије);
- неограничену (спољашња област четвороугаоне линије).
Четвороугао је геометријска фигура коју чине четвороугаона линија и одговарајућа унутрашња област.
Четвороугао чине дужи \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \) и означавамо га као четвороугао \( ABCD \).
Конвексан четвороугао је онај код кога за сваке две тачке које припадају четвороуглу и дуж чије су те тачке крајеви припада том четвороуглу.
У супротном кажемо да је четвороугао неконвексан.
Четвороугао је неконвексан ако постоје две тачке које припадају четвороуглу, а дуж чије су те тачке крајеви не припада четвороуглу.
Када у наставку кажемо само „четвороугао“, ако то није посебно наглашено, подразумевамо конвексан четвороугао.
Темена четвороугла \( ABCD \) су тачке \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \).
Наспрамна темена су парови \( A \) и \( C \), те \( B \) и \( D \).
Суседна темена су темена која су крајеви једне странице, на пример \( A \) и \( B \), или \( B \) и \( C \).
Странице четвороугла \( ABCD \) су дужи \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DA \).
Суседне странице су странице које имају заједничко теме, на пример \( AB \) и \( BC \).
Наспрамне странице су странице које немају заједничко теме: парови наспрамних страница су \( AB \) и \( CD \), те \( BC \) и \( DA \).
Унутрашњи углови четвороугла \( ABCD \) су конвексни углови \( \angle DAB \), \( \angle ABC \), \( \angle BCD \) и \( \angle CDA \).
Уобичајено је да се унутрашњи углови \( \angle DAB \), \( \angle ABC \), \( \angle BCD \) и \( \angle CDA \) редом обележавају са \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) и \( \delta \).
Суседни углови су углови код суседних темена, на пример \( \angle DAB \) и \( \angle ABC \).
Наспрамни углови су углови код наспрамних темена: парови наспрамних углова су \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \), те \( \angle ABC \) и \( \angle CDA \).
Дијагонала четвороугла јесте дуж чији су крајеви наспрамна темена.
Дијагонале четвороугла \( ABCD \) су дужи \( AC \) и \( BD \). Уобичајено је да се дијагонале \( AC \) и \( BD \) редом обележавају са \( d_1 \) и \( d_2 \).
Обим четвороугла јесте збир дужина страница четвороугла.
Ако странице четвороугла означимо са \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \), тада је обим:
\[ O = a + b + c + d \]
Пример. Израчунавамо обим четвороугла ако су познате дужине страница \( a = 2 \text{ cm} \), \( b = 3 \text{ cm} \), \( c = 4 \text{ cm} \) и \( d = 5 \text{ cm} \):
\[ O = a + b + c + d \]
\[ O = 2 \text{ cm} + 3 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 14 \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Странице четвороугла су \( a = 6 \text{ cm} \), \( b = 5 \text{ cm} \), \( c = 6 \text{ cm} \) и \( d = 9 \text{ cm} \). Израчунај обим тог четвороугла.
Обим је збир дужина свих страница:
\[ O = a + b + c + d \]
\[ O = 6 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 9 \text{ cm} = 26 \text{ cm} \]
Одговор: Обим четвороугла је \( 26 \text{ cm} \).
Средњи задатак: У четвороуглу \( ABCD \) наведи парове наспрамних темена, наспрамних страница и наспрамних углова.
Наспрамна темена су парови: \( A \) и \( C \), те \( B \) и \( D \).
Наспрамне странице су парови: \( AB \) и \( CD \), те \( BC \) и \( DA \).
Наспрамни углови су парови: \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \) (то јест \( \alpha \) и \( \gamma \)), те \( \angle ABC \) и \( \angle CDA \) (то јест \( \beta \) и \( \delta \)).
Одговор: дати су сви тражени парови наспрамних елемената.
Наспрамне странице су парови: \( AB \) и \( CD \), те \( BC \) и \( DA \).
Наспрамни углови су парови: \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \) (то јест \( \alpha \) и \( \gamma \)), те \( \angle ABC \) и \( \angle CDA \) (то јест \( \beta \) и \( \delta \)).
Одговор: дати су сви тражени парови наспрамних елемената.
Тежак задатак: Обим четвороугла износи \( 30 \text{ cm} \). Три његове странице имају дужине \( a = 7 \text{ cm} \), \( b = 8 \text{ cm} \) и \( c = 6 \text{ cm} \). Колика је дужина четврте странице \( d \)?
Обим је збир свих страница, па важи:
\[ O = a + b + c + d \]
Одавде је дужина четврте странице:
\[ d = O - (a + b + c) \]
\[ a + b + c = 7 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 21 \text{ cm} \]
\[ d = 30 \text{ cm} - 21 \text{ cm} = 9 \text{ cm} \]
Одговор: Четврта страница је \( d = 9 \text{ cm} \).
