Најважније из лекције
Правилан многоугао: Све странице и сви углови су једнаки; има \(n\) оса симетрије, а центар уписане и описане кружнице се поклапају.
Углови: Унутрашњи \(\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\), спољашњи \(\beta_n = \frac{360^\circ}{n}\), централни \(\varphi_n = \frac{360^\circ}{n}\), при чему је \(\alpha_n + \beta_n = 180^\circ\) и \(\varphi_n = \beta_n\). (Пример: за шестоугао \(\alpha_6 = 120^\circ, \beta_6 = \varphi_6 = 60^\circ\)).
Карактеристични троугао: Једнакокраки троугао (основица \(a\), краци \(R\), висина \(r\), угао при врху \(\varphi_n\)). Код шестоугла је једнакостраничан (\(R = a, r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)).
Обим и површина: \(O = n \cdot a\); за тангентне многоугле \(P = \frac{r \cdot O}{2}\); за правилан многоугао \(P = n \cdot \frac{a \cdot r}{2}\). (Пример шестоугла странице \(4\text{ cm}\): \(O = 24\text{ cm}, P = \frac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2\)).
Конструкција: Обично се прво конструише карактеристични троугао (применом СУС, УСУ или ССС), а затим опише кружница \(k(O, R)\) на коју се шестаром преноси дужина странице \(a\).
Углови: Унутрашњи \(\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\), спољашњи \(\beta_n = \frac{360^\circ}{n}\), централни \(\varphi_n = \frac{360^\circ}{n}\), при чему је \(\alpha_n + \beta_n = 180^\circ\) и \(\varphi_n = \beta_n\). (Пример: за шестоугао \(\alpha_6 = 120^\circ, \beta_6 = \varphi_6 = 60^\circ\)).
Карактеристични троугао: Једнакокраки троугао (основица \(a\), краци \(R\), висина \(r\), угао при врху \(\varphi_n\)). Код шестоугла је једнакостраничан (\(R = a, r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)).
Обим и површина: \(O = n \cdot a\); за тангентне многоугле \(P = \frac{r \cdot O}{2}\); за правилан многоугао \(P = n \cdot \frac{a \cdot r}{2}\). (Пример шестоугла странице \(4\text{ cm}\): \(O = 24\text{ cm}, P = \frac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2\)).
Конструкција: Обично се прво конструише карактеристични троугао (применом СУС, УСУ или ССС), а затим опише кружница \(k(O, R)\) на коју се шестаром преноси дужина странице \(a\).
Правилан многоугао јесте многоугао чије су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови међусобно једнаки.
\[ \alpha_n = \frac{S_n}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]
\(\alpha_n\) – мера унутрашњег угла правилног многоугла са \(n\) темена; \(S_n\) – збир свих унутрашњих углова.
\[ \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \quad \text{и} \quad \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \]
\(\beta_n\) – спољашњи угао; \(\varphi_n\) – централни угао правилног многоугла.
За сваки правилан многоугао збир унутрашњег и спољашњег угла је опружен угао:
\[ \alpha_n + \beta_n = 180^\circ \]
Централни и спољашњи угао правилног многоугла имају једнаке мере: \(\varphi_n = \beta_n\).
Са повећањем броја темена \(n\) правилног многоугла, мера унутрашњег угла \(\alpha_n\) се повећава, док се мере спољашњег угла \(\beta_n\) и централног угла \(\varphi_n\) смањују.
Израчунај унутрашњи, спољашњи и централни угао правилног осмоугла (\(n = 8\)).
Спољашњи и централни угао:
\[ \beta_8 = \varphi_8 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \]
Унутрашњи угао:
\[ \alpha_8 = 180^\circ - \beta_8 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]
(или преко формуле: \(\alpha_8 = \frac{(8-2)\cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ\)).
Сваки правилан многоугао са \(n\) темена је осно симетрична фигура и има тачно \(n\) оса симетрије. Осе симетрије чине симетрале страница и симетрале унутрашњих углова.
Око сваког правилног многоугла може се описати кружница, и у сваки правилан многоугао се може уписати кружница.
Центар правилног многоугла јесте заједнички центар његове описане и уписане кружнице (пресек симетрала свих страница и свих углова).
\(R\) – полупречник описане кружнице (растојање од центра до било ког темена).
\(r\) – полупречник уписане кружнице (нормално растојање од центра до било које странице).
| Правилан многоугао | Полупречник описане кружнице (\(R\)) | Полупречник уписане кружнице (\(r\)) |
|---|---|---|
| Једнакостранични троугао (\(n=3\)) | \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) | \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) |
| Квадрат (\(n=4\)) | \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) | \(r = \frac{a}{2}\) |
| Правилни шестоугао (\(n=6\)) | \(R = a\) | \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) |
Код правилног шестоугла постоје две врсте дијагонала:
- Дужа дијагонала (пролази кроз центар): \(d_1 = 2a = 2R\)
- Краћа дијагонала: \(d_2 = a\sqrt{3} = 2r\)
Карактеристични троугао правилног многоугла јесте једнакокраки троугао чија су темена центар многоугла \(O\) и два суседна темена многоугла.
Сваки правилан \(n\)-угао састоји се од \(n\) подударних карактеристичних троуглова за које важи:
- Основица троугла једнака је страници многоугла: \(a\).
- Краци троугла једнаки су полупречнику описане кружнице: \(R\).
- Висина која одговара основици једнака је полупречнику уписане кружнице: \(h_a = r\).
- Угао при врху троугла јесте централни угао: \(\varphi_n = \frac{360^\circ}{n}\).
- Углови на основици једнаки су половини унутрашњег угла: \(\frac{\alpha_n}{2}\).
Код правилног шестоугла централни угао је \(\varphi_6 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Како је карактеристични троугао једнакокрак са углом од \(60^\circ\) при врху, он је заправо једнакостранични троугао странице \(a\). Зато је \(R = a\) и \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
\[ O = n \cdot a \]
Обим правилног \(n\)-угла са страницом дужине \(a\). За општи многоугао, обим је збир дужина свих страница: \(O = a_1 + a_2 + \dots + a_n\).
\[ P = \frac{r \cdot O}{2} \]
Површина било ког многоугла обима \(O\) у који се може уписати кружница полупречника \(r\) (тангентни многоугао).
\[ P = n \cdot P_k = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} \]
Површина правилног многоугла са \(n\) страница, где је \(P_k = \frac{a \cdot r}{2}\) површина једног карактеристичног троугла.
| Правилан многоугао | Обим (\(O\)) | Површина (\(P\)) |
|---|---|---|
| Једнакостранични троугао | \(O = 3a\) | \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) |
| Квадрат | \(O = 4a\) | \(P = a^2\) |
| Правилни шестоугао | \(O = 6a\) | \(P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\) |
Обим ромба је \(24\text{ cm}\), а полупречник уписане кружнице је \(r = 2\text{ cm}\). Израчунај површину ромба.
Ромб је тангентни четвороугао (у њега се може уписати кружница), па користимо формулу:
\[ P = \frac{r \cdot O}{2} = \frac{2\text{ cm} \cdot 24\text{ cm}}{2} = 24\text{ cm}^2 \]
Геометријска конструкција подразумева цртање фигуре коришћењем искључиво лењира (за праве линије) и шестара (за кружнице и лукове).
Скицира се тражена фигура, претпоставља се да је решење нађено, и уочавају се геометријске везе између познатих и непознатих елемената.
Већина правилних многоуглова се конструише тако што се најпре конструише њихов карактеристични троугао \(A_1A_2O\):
- Преко странице \(a\) и унутрашњег угла: страница \(a\) и углови на основици \(\frac{\alpha_n}{2}\) (став УСУ).
- Преко полупречника \(R\): два крака \(R\) и угао при врху \(\varphi_n = \frac{360^\circ}{n}\) (став СУС).
- Преко полупречника \(r\): правоугли троугао са катетом \(r\) и оштрим углом \(\frac{\varphi_n}{2}\).
Опише се кружница са центром \(O\) и полупречником \(R = OA_1\), а затим се шестаром редом преноси дужина странице \(a\) дуж кружнице да би се добила преостала темена.
Конструкција правилног шестоугла на основу странице \(a\):
Како је код шестоугла \(R = a\), конструише се кружница полупречника \(a\). Из било које тачке кружнице истим отвором шестара (\(a\)) редом се на кружници означи 6 тачака које представљају темена правилног шестоугла.
Није сваки правилан многоугао конструктибилан помоћу лењира и шестара. На пример, правилан деветоугао (\(n = 9\)) се не може конструисати јер угао \(\varphi_9 = 40^\circ\) није могуће конструисати само лењиром и шестаром.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај обим и збир свих унутрашњих углова правилног десетоугла (\(n = 10\)) чија је страница дужине \(a = 3,5\text{ cm}\).
Обим десетоугла:
\[ O = n \cdot a = 10 \cdot 3,5\text{ cm} = 35\text{ cm} \]
Збир свих унутрашњих углова:
\[ S_{10} = (n - 2) \cdot 180^\circ = (10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ \]
Задатак 2 (средњи): Полупречник описане кружнице правилног шестоугла износи \(R = 6\text{ cm}\). Израчунај:
а) дужину његове краће дијагонале;
б) површину тог шестоугла.
а) дужину његове краће дијагонале;
б) површину тог шестоугла.
Код правилног шестоугла важи \(a = R = 6\text{ cm}\).
а) Краћа дијагонала је: \[ d_2 = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \] б) Површина је: \[ P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
а) Краћа дијагонала је: \[ d_2 = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \] б) Површина је: \[ P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
Задатак 3 (средњи): Унутрашњи угао правилног многоугла износи \(144^\circ\).
а) Одреди број страница \(n\) тог многоугла.
б) Израчунај његов централни угао.
а) Одреди број страница \(n\) тог многоугла.
б) Израчунај његов централни угао.
а) Спољашњи угао је суплементан унутрашњем:
\[ \beta_n = 180^\circ - \alpha_n = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]
Како је \(\beta_n = \frac{360^\circ}{n}\), следи:
\[ n = \frac{360^\circ}{\beta_n} = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \]
Многоугао има 10 страница (десетоугао).
б) Централни угао једнак је спољашњем углу: \[ \varphi_{10} = \beta_{10} = 36^\circ \]
б) Централни угао једнак је спољашњем углу: \[ \varphi_{10} = \beta_{10} = 36^\circ \]
Задатак 4 (тежак): Површина правилног шестоугла износи \(96\sqrt{3}\text{ cm}^2\). Израчунај:
а) дужину странице тог шестоугла;
б) полупречник његове уписане кружнице;
в) дужину дуже дијагонале.
а) дужину странице тог шестоугла;
б) полупречник његове уписане кружнице;
в) дужину дуже дијагонале.
а) Из формуле за површину:
\[ P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \implies 96\sqrt{3} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \]
Дељењем обе стране са \(\sqrt{3}\):
\[ 96 = \frac{3a^2}{2} \implies 3a^2 = 192 \implies a^2 = 64 \implies a = 8\text{ cm} \]
б) Полупречник уписане кружнице:
\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \]
в) Дужа дијагонала пролази кроз центар и једнака је двострукој страници:
\[ d_1 = 2a = 2 \cdot 8\text{ cm} = 16\text{ cm} \]
