1.1. Основне Логичке Операције

Шта је исказ

Исказ је реченица која има тачно једну истинитосну вредност: \( \top \) (тачно) или \( \perp \) (нетачно). За сваку реченицу проверавамо да ли можемо једнозначно да утврдимо да ли је тачна или нетачна.

а) \( 1 + 1 = 2 \)

Збир \( 1 + 1 \) износи \( 2 \), па је једнакост тачна. Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

б) број 16 је непаран број

Број \( 16 = 2 \cdot 8 \) је дељив са 2, па је паран. Реченица је нетачна. Реченица је исказ са вредношћу \( \perp \).

в) паран број се може написати у облику \( 2n \), где је \( n \) природан број

Парни природни бројеви су \( 2, 4, 6, 8, \dots \), односно \( 2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 3, 2 \cdot 4, \dots \) Дакле, сваки од њих има облик \( 2n \), где је \( n \in \mathbb{N} \). Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

г) решење једначине \( 3x = 18 \) је природан број

Решавамо једначину: \( x = 18 : 3 = 6 \). Како је \( 6 \in \mathbb{N} \), реченица је тачна. Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

д) \( (a - b)^2 \ge 0 \), за свако рационално \( a \) и \( b \)

Разлика \( a - b \) два рационална броја је рационалан број, а квадрат сваког рационалног броја је позитиван или једнак нули. Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

ђ) \( ab > 0 \) ако су \( a \) и \( b \) истог знака

Ако су оба броја позитивна, њихов производ је позитиван. Ако су оба броја негативна, производ је такође позитиван. Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

е) \( a^2 > 0 \) ако је \( a \) негативан број

За \( a \) негативно, \( a^2 = a \cdot a \) је производ два негативна броја, па је позитиван: \( a^2 > 0 \). Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

ж) \( -a^2 < 0 \) ако је \( a \) негативан број

Из претходног дела знамо да је \( a^2 > 0 \). Множењем неједнакости са \( -1 \) мењамо њен смер, па добијамо \( -a^2 < 0 \). Реченица је исказ са вредношћу \( \top \).

Закључак

Свака од датих реченица има тачно једну истинитосну вредност, па су све оне искази. Нетачан је само исказ под б), а сви остали искази су тачни.

а) \( 1 + 1 = 2 \), \( \top \) б) \( 16 = 2 \cdot 8 \) паран, \( \perp \) в) \( 2n, n \in \mathbb{N} \), \( \top \) г) \( x = 18 : 3 = 6 \in \mathbb{N} \), \( \top \) д) \( (a - b)^2 \ge 0 \), \( \top \) ђ) \( (+) \cdot (+) > 0, \ (-) \cdot (-) > 0 \), \( \top \) е) \( a^2 = a \cdot a > 0 \), \( \top \) ж) \( a^2 > 0 \Rightarrow -a^2 < 0 \), \( \top \) Све реченице су искази.