Најважније из лекције
Микро- и макроскопска веза: Макроскопски параметри гаса (\( p, V, T \)) непосредна су последица микроскопског топлотног кретања честица.
Основне једначине МКТ: Притисак потиче од удараца молекула о зидове: \( p = \frac{2}{3}n_0 \bar{E}_k \), а апсолутна температура је мера хаотичног кретања: \( \bar{E}_k = \frac{3}{2}kT \).
Једначина стања идеалног гаса: Обједињује све параметре: \( pV = nRT = \frac{m}{M}RT = NkT \).
Изопроцеси за \( n = \text{const} \):
Основне једначине МКТ: Притисак потиче од удараца молекула о зидове: \( p = \frac{2}{3}n_0 \bar{E}_k \), а апсолутна температура је мера хаотичног кретања: \( \bar{E}_k = \frac{3}{2}kT \).
Једначина стања идеалног гаса: Обједињује све параметре: \( pV = nRT = \frac{m}{M}RT = NkT \).
Изопроцеси за \( n = \text{const} \):
- Изотермски (\( T = \text{const} \)): \( p_1 V_1 = p_2 V_2 \) (нпр. сабијањем клипа притисак расте).
- Изохорски (\( V = \text{const} \)): \( \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \) (нпр. загревањем затворене боце притисак расте).
- Изобарски (\( p = \text{const} \)): \( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \) (нпр. загревањем гаса под покретним клипом запремина расте).
Физички систем је скуп физичких тела или објеката. Гасови представљају физичке системе са огромним бројем молекула у непрекидном кретању.
Проучавање гасова врши се кроз два комплементарна теоријска метода:
- Молекулско-кинетичка теорија (микроскопски метод): примењује законе механике и статистике на кретање појединачних честица посматрајући средње вредности (средња брзина, средња кинетичка енергија). Ове величине не могу се директно мерити.
- Термодинамика (макроскопски метод): проучава гас као целину кроз величине које се директно мере (притисак, запремина, температура, концентрација).
Параметри стања гаса: макроскопске величине (\( p, V, T, n \)) које описују стање гаса као целине.
Термодинамичка равнотежа: стање у које изолован систем спонтано долази после довољно дуго времена, при чему су сви параметри стања (притисак, температура, концентрација) једнаки у свим деловима запремине.
\[ T = t + 273,15 \qquad (\Delta T = \Delta t) \]
\( T \) – апсолутна температура у келвинима (\(\text{K}\)), \( t \) – температура у Целзијусовим степенима (\(^\circ\text{C}\))
\[ p = \frac{F}{S} \]
\( p \) – притисак у паскалима (\(\text{Pa} = \text{N}/\text{m}^2\)), \( F \) – нормална сила притиска, \( S \) – површина
Мол (\(\text{mol}\)): количина супстанце која садржи исти број честица колико има атома у \( 12\text{ g} \) угљениковог изотопа \( ^{12}\text{C} \).
Авогадров број (\( N_A \)): број честица у једном молу супстанце:
\[ N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \]
\[ n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M} \]
\( n \) – количина супстанце (\(\text{mol}\)), \( N \) – укупан број молекула, \( m \) – маса супстанце (\(\text{kg}\)), \( M \) – моларна маса (\(\text{kg/mol}\))
\[ m_0 = \frac{M}{N_A} \qquad n_0 = \frac{N}{V} \]
\( m_0 \) – маса једног молекула (\(\text{kg}\)), \( n_0 \) – концентрација молекула (\(\text{m}^{-3}\)), \( V \) – запремина (\(\text{m}^3\))
Приликом рачунања у физици, моларну масу увек претворити из \( \frac{\text{g}}{\text{mol}} \) у \( \frac{\text{kg}}{\text{mol}} \) множењем са \( 10^{-3} \).
Топлотно кретање: стално, непрекидно и хаотично кретање молекула у свим правцима услед међусобних судара (видљиво кроз Брауново кретање суспендованих честица).
Максвелова расподела: молекули се крећу различитим брзинама, при чему је на константној температури удео молекула у одређеном интервалу брзина сталан.
Са порастом температуре, крива расподеле се помера ка већим брзинама и спушта (постаје шира).
Са порастом температуре, крива расподеле се помера ка већим брзинама и спушта (постаје шира).
\[ v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \qquad (\text{највероватнија брзина}) \]
\[ v_{sr} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \qquad (\text{средња брзина}) \]
\[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \qquad (\text{средња квадратна брзина}) \]
\( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text{J}}{\text{K}} \) (Болцманова константа), \( R = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) (универзална гасна константа)
Средњи слободни пут молекула: просечно растојање које молекул пређе између два узастопна судара. Опада са повећањем концентрације и величине (попречног пресека) молекула.
Дифузија: спонтани пренос супстанце из области веће у област мање концентрације услед топлотног кретања. Брзина дифузије је знатно мања од брзине молекула због изломљених, хаотичних путања при сударима.
Претпоставке модела идеалног гаса:
- Састоји се од огромног броја честица чије су сопствене димензије занемарљиве у односу на запремину суда.
- Међумолекулске силе се занемарују (нема интеракције на даљину).
- Судари између честица и са зидовима суда су апсолутно еластични (одржавају се импулс и кинетичка енергија).
\[ p = \frac{1}{3} n_0 m_0 \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n_0 \bar{E}_k \]
Основна једначина МКТ гасова: притисак је пропорционалан концентрацији и средњој кинетичкој енергији транслаторног кретања молекула.
\[ \bar{E}_k = \frac{m_0 \bar{v}^2}{2} = \frac{3}{2} kT \qquad \Longrightarrow \qquad T = \frac{2}{3k}\bar{E}_k \]
Температура је директна мера средње кинетичке енергије транслаторног кретања молекула.
Апсолутна нула (\( T = 0 \, \text{K} = -273,15 \, ^\circ\text{C} \)): најнижа могућа теоријска температура при којој престаје топлотно кретање молекула (\( \bar{E}_k = 0 \)) и притисак постаје једнак нули.
\[ pV = NkT \qquad \text{или} \qquad pV = nRT = \frac{m}{M}RT \]
\( R = N_A k = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol K}} \) – универзална гасна константа
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT} \]
Густина идеалног гаса директно зависи од притиска и моларне масе, а обрнуто од температуре.
Авогадров закон: једнаке запремине различитих гасова на истој температури и притиску садрже једнак број молекула.
При нормалним условима (\( T_0 = 273 \, \text{K} \), \( p_0 = 101\,325 \, \text{Pa} \)), један мол било ког гаса заузима моларну запремину: \[ V_m = 22,4 \, \frac{\text{dm}^3}{\text{mol}} = 22,4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{m}^3}{\text{mol}} \]
При нормалним условима (\( T_0 = 273 \, \text{K} \), \( p_0 = 101\,325 \, \text{Pa} \)), један мол било ког гаса заузима моларну запремину: \[ V_m = 22,4 \, \frac{\text{dm}^3}{\text{mol}} = 22,4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{m}^3}{\text{mol}} \]
1. Изотермски процес (\( T = \text{const}, \, n = \text{const} \)) - Бојл–Мариотов закон:
\[ pV = \text{const} \quad \Longleftrightarrow \quad p_1 V_1 = p_2 V_2 \]
График на \( pV \) дијаграму је хипербола (изотерма). Вишој температури одговара изотерма удаљенија од координатног почетка.
2. Изохорски процес (\( V = \text{const}, \, n = \text{const} \)) - Шарлов закон:
\[ \frac{p}{T} = \text{const} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad \left( p = p_0(1 + \gamma t), \; \gamma = \frac{1}{273 \, ^\circ\text{C}} \right) \]
График на \( pT \) дијаграму је права линија (изохора) која продужетком пролази кроз координатни почетак (\( T=0 \, \text{K}, p=0 \, \text{Pa} \)).
3. Изобарски процес (\( p = \text{const}, \, n = \text{const} \)) - Геј–Лисаков закон:
\[ \frac{V}{T} = \text{const} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \qquad \left( V = V_0(1 + \gamma t) \right) \]
График на \( VT \) дијаграму је права линија (изобара) која полази из координатног почетка.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): У суду запремине \( 2 \, \text{l} \) налази се \( 3 \, \text{mola} \) идеалног гаса на температури од \( 27 \, ^\circ\text{C} \). Одредити притисак гаса у суду. (\( R = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol K}} \))
Подаци: \( V = 2 \, \text{l} = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \), \( n = 3 \, \text{mol} \), \( t = 27 \, ^\circ\text{C} \Rightarrow T = 27 + 273 = 300 \, \text{K} \).
Формула: \( pV = nRT \Rightarrow p = \frac{nRT}{V} \)
Рачун: \[ p = \frac{3 \cdot 8,314 \cdot 300}{2 \cdot 10^{-3}} = \frac{7482,6}{2 \cdot 10^{-3}} = 3,74 \cdot 10^6 \, \text{Pa} = 3,74 \, \text{MPa} \] Одговор: Притисак гаса је \( 3,74 \, \text{MPa} \).
Формула: \( pV = nRT \Rightarrow p = \frac{nRT}{V} \)
Рачун: \[ p = \frac{3 \cdot 8,314 \cdot 300}{2 \cdot 10^{-3}} = \frac{7482,6}{2 \cdot 10^{-3}} = 3,74 \cdot 10^6 \, \text{Pa} = 3,74 \, \text{MPa} \] Одговор: Притисак гаса је \( 3,74 \, \text{MPa} \).
Задатак 2 (Средњи): Одредити средњу квадратну брзину и средњу кинетичку енергију транслаторног кретања молекула кисеоника (\( M = 32 \cdot 10^{-3} \, \text{kg/mol} \)) на температури од \( 227 \, ^\circ\text{C} \). (\( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \text{J/K} \), \( R = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol K}} \))
Подаци: \( T = 227 + 273 = 500 \, \text{K} \), \( M = 32 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{kg}}{\text{mol}} \).
1. Средња квадратна брзина: \[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,314 \cdot 500}{32 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{12471}{0,032}} = \sqrt{389718,75} \approx 624,3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 2. Средња кинетичка енергија: \[ \bar{E}_k = \frac{3}{2} kT = 1,5 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 500 = 1,035 \cdot 10^{-20} \, \text{J} \] Одговор: Брзина износи \( 624,3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \), а кинетичка енергија \( 1,035 \cdot 10^{-20} \, \text{J} \).
1. Средња квадратна брзина: \[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,314 \cdot 500}{32 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{12471}{0,032}} = \sqrt{389718,75} \approx 624,3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 2. Средња кинетичка енергија: \[ \bar{E}_k = \frac{3}{2} kT = 1,5 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 500 = 1,035 \cdot 10^{-20} \, \text{J} \] Одговор: Брзина износи \( 624,3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \), а кинетичка енергија \( 1,035 \cdot 10^{-20} \, \text{J} \).
Задатак 3 (Средњи): Балон са хелијумом на површини воде (где је притисак \( p_1 = 100 \, \text{kPa} \)) има запремину \( 4 \, \text{l} \). На коју дубину га треба спустити да би му се запремина смањила на \( 1 \, \text{l} \), ако је температура воде свуда иста? (\( \rho_{\text{vode}} = 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \), \( g \approx 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \))
Подаци: \( T = \text{const} \) (изотермски процес), \( p_1 = 10^5 \, \text{Pa} \), \( V_1 = 4 \, \text{l} \), \( V_2 = 1 \, \text{l} \).
Бојл–Мариотов закон: \[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \Rightarrow p_2 = p_1 \frac{V_1}{V_2} = 10^5 \cdot \frac{4}{1} = 4 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \] Хидростатички притисак на дубини \( h \): \[ p_2 = p_1 + \rho g h \Rightarrow \rho g h = p_2 - p_1 = 4 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \] \[ h = \frac{3 \cdot 10^5 \, \text{Pa}}{1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 30 \, \text{m} \] Одговор: Балон треба спустити на дубину од \( 30 \, \text{m} \).
Бојл–Мариотов закон: \[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \Rightarrow p_2 = p_1 \frac{V_1}{V_2} = 10^5 \cdot \frac{4}{1} = 4 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \] Хидростатички притисак на дубини \( h \): \[ p_2 = p_1 + \rho g h \Rightarrow \rho g h = p_2 - p_1 = 4 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \] \[ h = \frac{3 \cdot 10^5 \, \text{Pa}}{1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 30 \, \text{m} \] Одговор: Балон треба спустити на дубину од \( 30 \, \text{m} \).
Задатак 4 (Тежак): У затвореној челичној боци (\( V = \text{const} \)) налази се гас под притиском од \( 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \) на температури од \( -23 \, ^\circ\text{C} \). До које температуре у \( ^\circ\text{C} \) се сме загрејати гас ако сигурносни вентил боце попушта при притиску од \( 4,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \)?
Подаци: \( V = \text{const} \) (изохорски процес), \( p_1 = 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \), \( T_1 = -23 + 273 = 250 \, \text{K} \), \( p_2 = 4,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \).
Шарлов закон: \[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1} \] \[ T_2 = 250 \, \text{K} \cdot \frac{4,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa}}{1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa}} = 250 \cdot 3 = 750 \, \text{K} \] Претварање у Целзијусову скалу: \[ t_2 = T_2 - 273 = 750 - 273 = 477 \, ^\circ\text{C} \] Одговор: Гас се сме загрејати максимално до \( 477 \, ^\circ\text{C} \).
Шарлов закон: \[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1} \] \[ T_2 = 250 \, \text{K} \cdot \frac{4,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa}}{1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa}} = 250 \cdot 3 = 750 \, \text{K} \] Претварање у Целзијусову скалу: \[ t_2 = T_2 - 273 = 750 - 273 = 477 \, ^\circ\text{C} \] Одговор: Гас се сме загрејати максимално до \( 477 \, ^\circ\text{C} \).
