Најважније из лекције
МКТ и Термодинамика: МКТ описује гас микроскопски (статистички просек брзина и енергија), док термодинамика посматра макроскопске параметре (\(p, V, T\)).
Количина супстанце: \(n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}\); концентрација \(n_0 = \frac{N}{V}\).
Основна једначина МКТ: \(p = \frac{2}{3}n_0 \bar{E}_k = \frac{1}{3}n_0 m_0 \bar{v}^2\). Притисак настаје еластичним ударима молекула о зидове суда.
Температура и брзине: \(\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT\). Апсолутна нула (\(0\text{ K}\)) је стање мировања честица. Статистичке брзине расту са \(\sqrt{T}\), а опадају са \(\sqrt{M}\) (\(v_v = \sqrt{\frac{2RT}{M}}\), \(\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\)).
Једначина стања идеалног гаса: \(pV = nRT = NkT\).
Изопроцеси:
Количина супстанце: \(n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}\); концентрација \(n_0 = \frac{N}{V}\).
Основна једначина МКТ: \(p = \frac{2}{3}n_0 \bar{E}_k = \frac{1}{3}n_0 m_0 \bar{v}^2\). Притисак настаје еластичним ударима молекула о зидове суда.
Температура и брзине: \(\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT\). Апсолутна нула (\(0\text{ K}\)) је стање мировања честица. Статистичке брзине расту са \(\sqrt{T}\), а опадају са \(\sqrt{M}\) (\(v_v = \sqrt{\frac{2RT}{M}}\), \(\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\)).
Једначина стања идеалног гаса: \(pV = nRT = NkT\).
Изопроцеси:
- Изотермски (\(T = \text{const}\)): \(pV = \text{const}\) (Бојл–Мариот).
- Изохорски (\(V = \text{const}\)): \(\frac{p}{T} = \text{const}\) (Шарл).
- Изобарски (\(p = \text{const}\)): \(\frac{V}{T} = \text{const}\) (Геј-Лисак).
Физички систем је скуп физичких тела или честица. Гасови представљају физичке системе са огромним бројем молекула (нпр. \(1\text{ cm}^3\) ваздуха при н.у. садржи око \(3 \cdot 10^{19}\) молекула).
Молекулско-кинетичка теорија (МКТ) или микроскопски метод: проучава гасове полазећи од њихове микроскопске структуре и кретања појединачних честица применом статистичких метода и средњих вредности.
Термодинамика (ТД) или макроскопски метод: проучава гасове и њихова својства као целину, без улажења у молекулску структуру.
| Величина | Карактеристике | Примери |
|---|---|---|
| Микроскопске | Описују појединачне молекуле; не могу се директно мерити. | Средња брзина (\(v_{sr}\)), средња кинетичка енергија (\(\bar{E}_k\)), маса молекула (\(m_0\)) |
| Макроскопске | Описују стање гаса као целине (параметри стања); могу се директно мерити. | Притисак (\(p\)), запремина (\(V\)), температура (\(T\)), концентрација (\(n_0\)) |
МКТ и термодинамика се међусобно допуњују – термодинамичке појаве добијају своје физичко објашњење преко микроскопског кретања честица.
Количина супстанце (\(n\)) је основна физичка величина која одређује број честица у систему. Један мол садржи онолико честица колико има атома у \(12\text{ g}\) угљеника \(^{12}\text{C}\).
\([n] = \text{mol}\) (мол)
Авогадров број (\(N_A\)) је број јединки у једном молу супстанце:
\[ N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \]
\[ n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M} \]
\(N\) – укупан број молекула, \(m\) – маса супстанце (\(\text{kg}\)), \(M\) – моларна маса (\(\text{kg/mol}\))
Маса једног молекула (\(m_0\)):
\[ m_0 = \frac{M}{N_A} \]
Концентрација молекула (\(n_0\)) представља број молекула у јединици запремине:
\[ n_0 = \frac{N}{V} \]
\([n_0] = \frac{1}{\text{m}^3} = \text{m}^{-3}\)
Колика је количина супстанце у \(64\text{ g}\) кисеоника \(O_2\) (\(M = 32\text{ g/mol}\))?
\[ n = \frac{m}{M} = \frac{64\text{ g}}{32\text{ g/mol}} = 2\text{ mol} \]
Укупан број молекула је \(N = n \cdot N_A = 2 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} = 1,2044 \cdot 10^{24}\).
Топлотно кретање је непрекидно, хаотично кретање молекула у свим правцима услед међусобних судара. Пример таквог кретања у макроскопском свету је Брауново кретање (хаотично кретање ситних честица полена или дима суспендованих у флуиду).
Средњи слободни пут молекула је просечно растојање које молекул пређе између два узастопна судара. Између судара молекул се креће равномерно праволинијски.
Што су концентрација (\(n_0\)) и величине (попречни пресек) молекула веће, средњи слободни пут је мањи (судари су чешћи).
Дифузија је спонтан, једносмеран процес преноса супстанце кретањем честица из области веће у област мање концентрације, све док се концентрације не изједначе (\(n_0 = \text{const}\)).
Брзина дифузије зависи од:
- Разлике у концентрацији: већа разлика \(\rightarrow\) бржа дифузија.
- Највероватније брзине молекула / температуре: виша температура \(\rightarrow\) брже кретање молекула \(\rightarrow\) бржа дифузија.
- Масе молекула: масивнији молекули се крећу спорије, па спорије дифундују.
- Агрегатног стања: најбржа је у гасовима, спорија у течностима, најспорија у чврстим телима.
Због честих судара, молекули имају различите тренутне брзине. Расподела брзина при константној температури описује се Максвеловим законом расподеле.
1. Највероватнија брзина (\(v_v\)) – брзина коју има највећи број молекула (одговара максимуму криве):
\[ v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \]
2. Средња (аритметичка) брзина (\(v_{sr}\)):
\[ v_{sr} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \]
3. Средња квадратна брзина (\(\bar{v}\)):
\[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \]
\(k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \text{J/K}\) (Болцманова константа), \(T\) – апсолутна температура (\(\text{K}\))
За однос статистичких брзина увек важи:
\[ v_v < v_{sr} < \bar{v} \]
Идеални гас је теоријски модел гаса са следећим особинама:
- Састоји се од огромног броја идентичних честица занемарљивих димензија у односу на међусобна растојања (сопствена запремина молекула је занемарљива).
- Међумолекулске силе се занемарују (нема интеракције на даљину).
- Судари између молекула и са зидовима суда су апсолутно еластични (одржавају се импулс и кинетичка енергија).
Реални гасови се понашају најприближније идеалном гасу на високим температурама и ниским притисцима (разређени гасови, нпр. племенити гасови).
Притисак гаса настаје као резултат непрекидних удара молекула о зидове суда.
Основна једначина молекулско-кинетичке теорије:
\[ p = \frac{1}{3} n_0 m_0 \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n_0 \bar{E}_k \]
\(n_0\) – концентрација молекула, \(\bar{E}_k = \frac{m_0 \bar{v}^2}{2}\) – средња кинетичка енергија транслаторног кретања једног молекула.
Температура је физичка величина директно пропорционална средњој кинетичкој енергији транслаторног кретања молекула:
\[ \bar{E}_k = \frac{3}{2} kT \quad \iff \quad T = \frac{2}{3k} \bar{E}_k \]
Апсолутна нула (\(T = 0\text{ K} = -273,15^\circ\text{C}\)) је најнижа теоријска температура на којој престаје топлотно кретање молекула (\(\bar{E}_k = 0\)).
Веза између Целзијусове (\(t\)) и Келвинове (\(T\)) температурне скале:
\[ T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273,15 \]
Промена температуре једнака је у обе скале: \( \Delta T = \Delta t \).
Једначина стања идеалног гаса (Клапејронова једначина):
\[ pV = NkT \]
или преко количине супстанце (\(n = \frac{m}{M}\)):
\[ pV = nRT = \frac{m}{M}RT \]
\(R = N_A \cdot k = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\) – универзална гасна константа.
Термодинамичка равнотежа је стање у којем су макроскопски параметри (\(p, V, T, n_0\)) једнаки у свим деловима система и не мењају се током времена. Процес је прелаз система из једног равнотежног стања у друго.
| Процес | Константни услови | Закон и математичка формула | Назив графика |
|---|---|---|---|
| Изотермски | \(T = \text{const}\) \(n = \text{const}\) |
Бојл–Мариотов закон: \[ pV = \text{const} \implies p_1 V_1 = p_2 V_2 \] |
Изотерма (хипербола на \(pV\)-дијаграму) |
| Изохорски | \(V = \text{const}\) \(n = \text{const}\) |
Шарлов закон: \[ \frac{p}{T} = \text{const} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \] \(p = p_0(1 + \gamma t)\), \(\gamma = \frac{1}{273\,^\circ\text{C}}\) |
Изохора (права кроз \((0,0)\) на \(pT\)-дијаграму) |
| Изобарски | \(p = \text{const}\) \(n = \text{const}\) |
Геј-Лисаков закон: \[ \frac{V}{T} = \text{const} \implies \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \] \(V = V_0(1 + \gamma t)\), \(\gamma = \frac{1}{273\,^\circ\text{C}}\) |
Изобара (права кроз \((0,0)\) на \(VT\)-дијаграму) |
Авогадров закон: Гасови једнаких запремина на истом притиску и истој температури садрже исти број молекула (\(N_1 = N_2\)).
При нормалним условима (\(p_n = 101\,325\text{ Pa}\), \(T_n = 273,15\text{ K}\)), један мол било ког идеалног гаса заузима моларну запремину: \[ V_m = 22,4 \, \frac{\text{dm}^3}{\text{mol}} = 22,4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{m}^3}{\text{mol}} \]
При нормалним условима (\(p_n = 101\,325\text{ Pa}\), \(T_n = 273,15\text{ K}\)), један мол било ког идеалног гаса заузима моларну запремину: \[ V_m = 22,4 \, \frac{\text{dm}^3}{\text{mol}} = 22,4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{m}^3}{\text{mol}} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Одредити запремину коју заузима \(3\text{ mol}\) идеалног гаса под нормалним условима (\(p = 101\,325\text{ Pa}\), \(T = 273\text{ K}\)).
Према Авогадровом закону, један мол гаса на нормалним условима заузима запремину \(V_m = 22,4\text{ dm}^3\).
\[ V = n \cdot V_m = 3\text{ mol} \cdot 22,4 \, \frac{\text{dm}^3}{\text{mol}} = 67,2\text{ dm}^3 = 0,0672\text{ m}^3 \]
Задатак 2 (Средњи ниво): У суду запремине \(V = 0,05\text{ m}^3\) налази се хелијум под притиском \(p = 2 \cdot 10^5\text{ Pa}\) на температури \(t = 27^\circ\text{C}\). Одредити масу хелијума у суду ако је његова моларна маса \(M = 4 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}\). (\(R = 8,314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\))
Прво претварамо температуру у келвине:
\[ T = 27 + 273 = 300\text{ K} \]
Користимо једначину стања идеалног гаса:
\[ pV = \frac{m}{M}RT \implies m = \frac{pV \cdot M}{RT} \]
Уврштавањем вредности:
\[ m = \frac{2 \cdot 10^5\text{ Pa} \cdot 0,05\text{ m}^3 \cdot 4 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}}{8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 300\text{ K}} = \frac{40}{2494,2} \approx 0,016\text{ kg} = 16\text{ g} \]
Задатак 3 (Средњи/Виши ниво): Израчунати средњу кинетичку енергију транслаторног кретања једног молекула и средњу квадратну брзину молекула азота \(N_2\) (\(M = 28 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}\)) на температури од \(t = 27^\circ\text{C}\). (\(k = 1,38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}\), \(R = 8,314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\))
Температура у Келвинима: \(T = 27 + 273 = 300\text{ K}\).
1. Средња кинетичка енергија транслаторног кретања: \[ \bar{E}_k = \frac{3}{2} kT = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6,21 \cdot 10^{-21}\text{ J} \] 2. Средња квадратна брзина: \[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,314 \cdot 300}{28 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7482,6}{0,028}} = \sqrt{267235,7} \approx 517\text{ m/s} \]
1. Средња кинетичка енергија транслаторног кретања: \[ \bar{E}_k = \frac{3}{2} kT = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6,21 \cdot 10^{-21}\text{ J} \] 2. Средња квадратна брзина: \[ \bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,314 \cdot 300}{28 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7482,6}{0,028}} = \sqrt{267235,7} \approx 517\text{ m/s} \]
Задатак 4 (Напредни ниво): Гас се налази у затвореном цилиндру са покретним клипом под притиском \(p_1 = 1,5 \cdot 10^5\text{ Pa}\) и заузима запремину \(V_1 = 4\text{ l}\) на температури \(T_1 = 300\text{ K}\). Гас се прво изотермски сабије на запремину \(V_2 = 2\text{ l}\), а затим изохорски загреје док му се притисак не удвостручи (\(p_3 = 2p_2\)). Одредити крајњу температуру \(T_3\) и крајњи притисак \(p_3\).
1. фаза: Изотермски процес (\(T_1 = T_2 = 300\text{ K}\))
\[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \implies p_2 = p_1 \frac{V_1}{V_2} = 1,5 \cdot 10^5\text{ Pa} \cdot \frac{4\text{ l}}{2\text{ l}} = 3 \cdot 10^5\text{ Pa} \]
2. фаза: Изохорски процес (\(V_2 = V_3 = 2\text{ l}\))
Крајњи притисак је:
\[ p_3 = 2p_2 = 2 \cdot 3 \cdot 10^5\text{ Pa} = 6 \cdot 10^5\text{ Pa} \]
Применом Шарловог закона:
\[ \frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \implies T_3 = T_2 \cdot \frac{p_3}{p_2} = 300\text{ K} \cdot \frac{6 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^5} = 600\text{ K} \]
Одговор: Крајњи притисак је \(6 \cdot 10^5\text{ Pa}\), а крајња температура \(600\text{ K}\) (односно \(326,85^\circ\text{C}\)).
