Најважније из лекције
Унутрашња енергија и топлота: За једноатомски идеални гас \( U = \frac{3}{2} nRT \). Топлота спонтано прелази искључиво са топлијег на хладније тело.
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). Код изохорског процеса \( Q = \Delta U \); код изотермског \( Q = A \); код изобарског \( Q = \Delta U + p\Delta V \); код адијабатског (\( Q=0 \)) \( A = -\Delta U \).
Топлотни капацитети: \( C_{\mu V} = \frac{i}{2}R \), \( C_{\mu p} = C_{\mu V} + R \). Пуасонов коефицијент \( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} > 1 \), па је адијабата стрмија од изотерме (\( pV^\gamma = \text{const.} \)).
Други и Трећи принцип: Сви спонтани процеси доводе до пораста ентропије (\( \Delta S \ge 0 \)). У равнотежи је ентропија максимална. Апсолутна нула (\( 0 \, \text{K} \)) се не може постићи.
Топлотне машине: ККД износи \( \eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{|Q_2|}{Q_1} \). Карноов максимални ККД је \( \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \). Машине за хлађење остварују супротан смер преноса топлоте уз уложени спољашњи рад.
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). Код изохорског процеса \( Q = \Delta U \); код изотермског \( Q = A \); код изобарског \( Q = \Delta U + p\Delta V \); код адијабатског (\( Q=0 \)) \( A = -\Delta U \).
Топлотни капацитети: \( C_{\mu V} = \frac{i}{2}R \), \( C_{\mu p} = C_{\mu V} + R \). Пуасонов коефицијент \( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} > 1 \), па је адијабата стрмија од изотерме (\( pV^\gamma = \text{const.} \)).
Други и Трећи принцип: Сви спонтани процеси доводе до пораста ентропије (\( \Delta S \ge 0 \)). У равнотежи је ентропија максимална. Апсолутна нула (\( 0 \, \text{K} \)) се не може постићи.
Топлотне машине: ККД износи \( \eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{|Q_2|}{Q_1} \). Карноов максимални ККД је \( \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \). Машине за хлађење остварују супротан смер преноса топлоте уз уложени спољашњи рад.
Унутрашња енергија (\( U \)) једнака је збиру свих кинетичких енергија хаотичног топлотног кретања и потенцијалних енергија међусобних интеракција свих честица у систему.
Јединица за унутрашњу енергију у СИ систему је џул (\( \text{J} \)).
Термодинамички системи према размени са околином деле се на:
- Отворен систем: размењује и енергију и супстанцу (честице) са околином.
- Затворен систем: размењује само енергију с околином, али не и супстанцу.
- Изолован систем: не размењује ни енергију ни супстанцу с околином.
\[ U = N \bar{E}_k = \frac{i}{2} N k T = \frac{i}{2} n R T \]
\( i \) – број степени слободе честице (\( i = 3 \) за једноатомски гас, \( i = 5 \) за двоатомски гас); \( n \) – количина супстанце у моловима; \( R = 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) – универзална гасна константа.
Унутрашња енергија идеалног гаса зависи искључиво од његове температуре и количине супстанце (потенцијална енергија честица идеалног гаса је нула).
Промена унутрашње енергије (\( \Delta U = U_k - U_p \)) је функција стања - зависи само од почетног и крајњег стања система, а не од пута или врсте термодинамичког процеса којим је систем прешао из једног стања у друго.
Израчунајте унутрашњу енергију 2 мола једноатомског идеалног гаса на температури од \( 300 \, \text{K} \).
Користимо формулу за једноатомски гас (\( i = 3 \)):
\[ U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} \cdot 2 \, \text{mol} \cdot 8,314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 300 \, \text{K} = 7482,6 \, \text{J} \approx 7,48 \, \text{kJ} \]
Топлотна размена је процес преношења енергије са система на околину (или с једног тела на друго) услед разлике у температурама, без вршења механичког рада.
Количина топлоте (\( Q \)) је количина енергије размењена при топлотној размени. Јединица је џул (\( \text{J} \)).
Конвенција знака:
- \( Q > 0 \) – систем прима (апсорбује) топлоту од околине;
- \( Q < 0 \) – систем предаје (емитује) топлоту околини.
Топлота спонтано увек прелази са тела више температуре на тело ниже температуре, без обзира на укупну количину унутрашње енергије коју та тела поседују. Када се температуре изједначе, наступа топлотна равнотежа (\( Q = 0 \)).
Видови преноса топлоте:
- Топлотно провођење (кондукција): пренос топлоте директним микроскопским сударима честица без преношења масе (доминантно код чврстих тела).
- Струјање (конвекција): пренос топлоте макроскопским кретањем самих делова флуида (течности и гасова).
- Зрачење (радиација): пренос енергије путем електромагнетних таласа; једини вид преноса који се може одвијати и кроз вакуум.
\[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \]
\( \lambda \) – коефицијент топлотне проводљивости (\( [\lambda] = \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \)); \( S \) – површина попречног пресека; \( L \) – дебљина/дужина проводника; \( \Delta T \) – температурна разлика; \( t \) – време провођења.
Супстанце са високим коефицијентом \( \lambda \) су топлотни проводници (нпр. бакар, алуминијум), док су оне са малим \( \lambda \) топлотни изолатори (нпр. ваздух, стиропор, стаклена вуна). За вакуум је \( \lambda = 0 \).
Гас врши механички рад када се шири или сабија услед деловања притиска на покретне границе суда (нпр. клип).
\[ A = p \Delta V = p (V_2 - V_1) \quad (\text{за изобарски процес}) \]
Знак механичког рада гаса:
- Ширење (експанзија): \( \Delta V > 0 \implies A > 0 \) (гас врши рад над околином);
- Сабијање (компресија): \( \Delta V < 0 \implies A < 0 \) (околина врши рад над гасом);
- Изохорски процес: \( \Delta V = 0 \implies A = 0 \) (нема вршења механичког рада).
На \( pV \) дијаграму, рад гаса у било ком процесу бројно је једнак површини испод криве процеса. Рад није функција стања, већ зависи од врсте процеса (пута) којим гас пролази.
Гас се изобарски шири при сталном притиску од \( 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \) са запремине од \( 2 \, \text{l} \) на \( 6 \, \text{l} \). Колики рад изврши гас?
Претварамо запремину у \( \text{m}^3 \): \( \Delta V = (6 - 2) \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 = 4 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \).
\[ A = p \Delta V = 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 = 600 \, \text{J} \]
Први принцип термодинамике представља закон одржања енергије примењен на топлотне појаве: количина топлоте доведена затвореном систему троши се на повећање његове унутрашње енергије и на вршење рада над околином.
\[ Q = \Delta U + A \quad \iff \quad \Delta U = Q - A \]
Примена Првог принципа на карактеристичне процесе:
| Процес | Услов | Специфичност | Облик Првог принципа |
|---|---|---|---|
| Изолован систем | \( Q = 0, A = 0 \) | Нема размене с околином | \( \Delta U = 0 \implies U = \text{const.} \) |
| Изохорски | \( V = \text{const.} \) | \( \Delta V = 0 \implies A = 0 \) | \( Q = \Delta U \) |
| Изобарски | \( p = \text{const.} \) | \( A = p \Delta V \) | \( Q = \Delta U + p \Delta V \) |
| Изотермски | \( T = \text{const.} \) | \( \Delta T = 0 \implies \Delta U = 0 \) | \( Q = A \) |
| Кружни (циклус) | \( \text{Крајње} = \text{Почетно} \) | \( \Delta U = 0 \) | \( Q = A \) (рад је површина унутар петље) |
При изотермском ширењу идеалног гаса, сва доведена топлота (\( Q \)) комплетно се претвара у механички рад (\( A \)), док се унутрашња енергија не мења (\( \Delta U = 0 \)).
Топлотни капацитет (\( C \)): количина топлоте потребна да се температура тела повећа за \( 1 \, \text{K} \). \( [C] = \frac{\text{J}}{\text{K}} \).
\[ C = \frac{Q}{\Delta T} \]
Специфични топлотни капацитет (\( c \)): капацитет по јединици масе (\( 1 \, \text{kg} \)). \( [c] = \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \).
\[ c = \frac{Q}{m \Delta T} \implies C = c m \]
Моларни топлотни капацитет (\( C_{\mu} \)): количина топлоте за загревање \( 1 \, \text{mol} \) гаса за \( 1 \, \text{K} \). \( [C_{\mu}] = \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \).
\[ C_{\mu} = \frac{Q}{n \Delta T} = c M \]
Степени слободе (\( i \)): број независних могућности кретања честице.
- Једноатомски гасови (He, Ne, Ar): само транслаторно кретање у три правца \( \implies i = 3 \).
- Двоатомски гасови (\( \text{H}_2, \text{O}_2, \text{N}_2 \)): 3 транслације + 2 ротације \( \implies i = 5 \).
Моларни капацитети идеалног гаса:
\[ C_{\mu V} = \frac{i}{2} R \qquad \text{и} \qquad C_{\mu p} = C_{\mu V} + R = \frac{i + 2}{2} R \]
Општа формула за промену унутрашње енергије: \( \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \).
| Врста гаса | Степени слободе (\( i \)) | \( C_{\mu V} \) | \( C_{\mu p} \) | Пуасонов коефицијент \( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} \) |
|---|---|---|---|---|
| Једноатомски | 3 | \( \frac{3}{2} R \approx 12,47 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) | \( \frac{5}{2} R \approx 20,78 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) | \( \frac{5}{3} \approx 1,67 \) |
| Двоатомски | 5 | \( \frac{5}{2} R \approx 20,78 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) | \( \frac{7}{2} R \approx 29,10 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \) | \( \frac{7}{5} = 1,40 \) |
Адијабатски процес је процес у коме систем не размењује топлоту са околином (\( Q = 0 \)). Остварује се у топлотно изолованим судовима или при изузетно брзим процесима (нпр. код пнеуматског упаљача, ширења звучних таласа).
\[ Q = 0 \implies A = -\Delta U \]
\[ p V^{\gamma} = \text{const.} \quad (\text{Пуасонова једначина адијабате}) \]
Температурне последице адијабатског процеса:
- Адијабатско сабијање: околина врши рад над гасом (\( A < 0 \)) \( \implies \Delta U > 0 \implies \) гас се загрева (\( T \uparrow \)).
- Адијабатско ширење: гас врши рад над околином (\( A > 0 \)) \( \implies \Delta U < 0 \implies \) гас се хлади (\( T \downarrow \)).
На \( pV \) дијаграму крива адијабате (\( p \sim V^{-\gamma} \)) је стрмија од изотерме (\( p \sim V^{-1} \)) јер је \( \gamma > 1 \).
Реални гасови: Код реалних гасова међумолекулске интеракције и сопствена запремина молекула нису занемарљиви. Међутим, при нормалним (стандардним) условима температуре и притиска, реални гасови се понашају врло приближно као идеални.
Неповратни (иреверзибилни) процеси су процеси који се спонтано одвијају само у једном смеру (мешање течности, ерозија, пренос топлоте са топлог на хладно тело). Сви спонтани реални процеси у природи су неповратни.
Повратни (реверзибилни) процеси су идеализовани процеси који се одвијају бесконачно споро (кроз низ равнотежних међустања) тако да се систем може вратити у почетно стање истим путем без промена у околини.
Други принцип термодинамике: Одређује смер спонтаних процеса:
- Клаузијусова формулација: Топлота спонтано прелази искључиво с тела више на тело ниже температуре.
- Томпсон-Планкова формулација: Немогуће је конструисати perpetuum mobile друге врсте (машину која би сву доведену топлоту у потпуности претворила у механички рад у кружном процесу без губитака).
Ентропија (\( S \)): физичка величина која бројчано представља меру неуређености (хаоса) система. Јединица: \( [S] = \frac{\text{J}}{\text{K}} \).
Ентропијски и статистички смисао Другог принципа:
- Сваки систем спонтано тежи преласку из стања мање вероватноће (већа уређеност) у стање веће вероватноће (мања уређеност, већи хаос).
- У изолованом систему, ентропија увек расте при неповратним процесима, а остаје константна при повратним процесима: \( \Delta S \ge 0 \).
- У стању термодинамичке равнотеже, ентропија достиже своју максималну вредност (\( \Delta S = 0 \)).
Трећи принцип термодинамике (Нернстова теорема): Када температура система тежи апсолутној нули, промена ентропије тежи нули:
\[ \Delta S \to 0 \quad \text{када} \quad T \to 0 \, \text{K} \]
Последица: Није могуће било којим коначним термодинамичким поступком охладити систем до температуре апсолутне нуле (\( 0 \, \text{K} \)).
Топлотна машина је уређај који топлотну енергију у кружном процесу делимично претвара у механички рад. Састоји се од грејача (температура \( T_G \)), радног тела (гас/пара) и хладњака (температура \( T_X \)).
Рад у циклусу и коефицијент корисног дејства (\( \eta \)):
\[ A = |Q_1| - |Q_2| \qquad \implies \qquad \eta = \frac{A}{|Q_1|} = \frac{|Q_1| - |Q_2|}{|Q_1|} = 1 - \frac{|Q_2|}{|Q_1|} \]
Пошто увек мора постојати предата топлота хладњаку (\( |Q_2| > 0 \)), коефицијент је увек \( 0 < \eta < 1 \) (односно \( 0\% < \eta < 100\% \)).
Карноов циклус је теоријски идеалан повратни циклус састављен из 4 процеса:
- Изотермско ширење на температури грејача \( T_G \) (прима \( Q_1 \));
- Адијабатско ширење (хлађење са \( T_G \) на \( T_X \));
- Изотермско сабијање на температури хладњака \( T_X \) (предаје \( Q_2 \));
- Адијабатско сабијање (загревање са \( T_X \) на \( T_G \)).
Карноова теорема и максимални ККД:
\[ \eta_C = \frac{T_G - T_X}{T_G} = 1 - \frac{T_X}{T_G} \]
Ниједна топлотна машина не може имати већи коефицијент корисног дејства од Карноове машине која ради између истих температура грејача и хладњака: \( \eta \le \eta_C \).
Машине за хлађење (фрижидер, клима, топлотна пумпа): раде по обрнутом циклусу. Улагањем спољашњег рада (\( A \)) топлота се одузима од хладњака (\( Q_X \)) и предаје грејачу (\( Q_G \)):
\[ |Q_G| = |Q_X| + |A| \]
Реалне топлотне машине (бензински мотори \( \eta \approx 30\% \), дизел мотори \( \eta \approx 38\% \), парне турбине \( \eta \approx 40\% \)) имају додатне губитке услед трења и несавршене изолације (\( A = Q_1 - |Q_2| - E^* \)), а отпадна топлота узрокује топлотно загађење околине.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Затвореном гасу у цилиндру доведена је количина топлоте од \( 850 \, \text{J} \). При томе је гас извршио механички рад од \( 350 \, \text{J} \) подижући клип. Колика је промена унутрашње енергије гаса?
Примењујемо Први принцип термодинамике:
\[ Q = \Delta U + A \implies \Delta U = Q - A \]
\[ \Delta U = 850 \, \text{J} - 350 \, \text{J} = 500 \, \text{J} \]
Одговор: Унутрашња енергија гаса повећала се за \( 500 \, \text{J} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Идеална Карноова топлотна машина ради између грејача температуре \( 500 \, \text{K} \) и хладњака температуре \( 300 \, \text{K} \). Машина у сваком циклусу прими од грејача количину топлоте од \( 1500 \, \text{J} \). Одредити:
а) коефицијент корисног дејства машине;
б) корисни механички рад који машина изврши у једном циклусу;
в) количину топлоте предату хладњаку.
а) коефицијент корисног дејства машине;
б) корисни механички рад који машина изврши у једном циклусу;
в) количину топлоте предату хладњаку.
а) Коефицијент корисног дејства:
\[ \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} = 1 - \frac{300 \, \text{K}}{500 \, \text{K}} = 1 - 0,6 = 0,4 \quad (40\%) \]
б) Извршени рад:
\[ A = \eta \cdot Q_1 = 0,4 \cdot 1500 \, \text{J} = 600 \, \text{J} \]
в) Топлота предата хладњаку:
\[ |Q_2| = Q_1 - A = 1500 \, \text{J} - 600 \, \text{J} = 900 \, \text{J} \]
Задатак 3 (Тежи ниво): Кроз раван бетонски зид дебљине \( L = 0,25 \, \text{m} \) и површине \( S = 12 \, \text{m}^2 \) проводи се топлота. Температура унутрашње површине зида је \( T_1 = 22^\circ\text{C} \), а спољашње \( T_2 = -3^\circ\text{C} \). Коефицијент топлотне проводљивости бетона је \( \lambda = 0,8 \, \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \). Колика количина топлоте прође кроз зид за време од \( 2 \, \text{h} \)?
Разлика температура износи:
\[ \Delta T = 22 - (-3) = 25 \, \text{K} \]
Време у секундама:
\[ t = 2 \, \text{h} = 2 \cdot 3600 \, \text{s} = 7200 \, \text{s} \]
Примењујемо формулу за топлотно провођење:
\[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t = 0,8 \, \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \cdot 12 \, \text{m}^2 \cdot \frac{25 \, \text{K}}{0,25 \, \text{m}} \cdot 7200 \, \text{s} \]
\[ Q = 0,8 \cdot 12 \cdot 100 \cdot 7200 \, \text{J} = 6\,912\,000 \, \text{J} \approx 6,91 \, \text{MJ} \]
Одговор: Кроз зид прође приближно \( 6,91 \, \text{MJ} \) топлоте.
