Најважније из лекције
Унутрашња енергија (\( U \)): Функција стања, за идеалан гас \( U = \frac{i}{2}nRT \). Зависи искључиво од температуре и количине супстанце.
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). Код изохорског процеса \( Q = \Delta U \) (\( A = 0 \)); код изотермског \( Q = A \) (\( \Delta U = 0 \)); код адијабатског \( A = -\Delta U \) (\( Q = 0 \)).
Адијабатски процес: Одвија се без размене топлоте (\( pV^\gamma = \text{const.} \)); сабијањем температура расте, ширењем опада.
Други принцип и ентропија: Топлота спонтано прелази само са топлијег на хладније тело; ентропија изолованог система увек расте (\( \Delta S \ge 0 \)).
Топлотне машине: Ефикасност \( \eta = \frac{|A|}{|Q_1|} \le \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \). Немогуће је направити Perpetuum mobile прве врсте (\( \eta > 1 \)) ни друге врсте (\( \eta = 1 \)).
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). Код изохорског процеса \( Q = \Delta U \) (\( A = 0 \)); код изотермског \( Q = A \) (\( \Delta U = 0 \)); код адијабатског \( A = -\Delta U \) (\( Q = 0 \)).
Адијабатски процес: Одвија се без размене топлоте (\( pV^\gamma = \text{const.} \)); сабијањем температура расте, ширењем опада.
Други принцип и ентропија: Топлота спонтано прелази само са топлијег на хладније тело; ентропија изолованог система увек расте (\( \Delta S \ge 0 \)).
Топлотне машине: Ефикасност \( \eta = \frac{|A|}{|Q_1|} \le \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \). Немогуће је направити Perpetuum mobile прве врсте (\( \eta > 1 \)) ни друге врсте (\( \eta = 1 \)).
Унутрашња енергија (\( U \)) је збир кинетичких енергија топлотног кретања свих честица и потенцијалних енергија њихових међусобних интеракција унутар система.
\( [U] = \text{J} \) (џул)
| Тип система | Размена супстанце (честица) | Размена енергије (топлота, рад) |
|---|---|---|
| Отворен систем | Да | Да |
| Затворен систем | Не | Да |
| Изолован систем | Не | Не |
Унутрашња енергија идеалног гаса (потенцијална енергија честица је нула):
\[ U = N \bar{E}_k = \frac{i}{2} n R T \]
За једноатомски гас (\( i = 3 \)): \( U = \frac{3}{2} n R T \)
За двоатомски гас (\( i = 5 \)): \( U = \frac{5}{2} n R T \)
Промена унутрашње енергије (\( \Delta U \)): Разлика између крајњег и почетног стања: \( \Delta U = U_k - U_p \). Унутрашња енергија је функција стања - њена промена зависи само од почетног и крајњег стања, а не од пута којим се процес одвијао.
Колико износи унутрашња енергија \( 2\text{ mol} \) једноатомског идеалног гаса на температури од \( 300\text{ K} \)? (\( R \approx 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \))
\[ U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} \cdot 2\text{ mol} \cdot 8{,}314\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 300\text{ K} = 7\,482{,}6\text{ J} \approx 7{,}48\text{ kJ} \]
Топлотна размена је спонтани процес преноса енергије са тела више на тело ниже температуре без вршења механичког рада. Енергија која се при томе пренесе назива се количина топлоте (\( Q \)). Јединица је џул (\( [Q] = \text{J} \)).
Топлотна равнотежа настаје када се температуре система и околине изједначе, при чему престаје размена топлоте (\( Q = 0 \)).
Начини преноса топлоте:
- Топлотно провођење (кондукција): пренос директним сударима и интеракцијом честица унутар тела.
- Струјање (конвекција): пренос топлоте кретањем масе флуида (течности или гасова).
- Зрачење (радијација): пренос енергије путем електромагнетних таласа (могућ и кроз вакуум).
Закон топлотног провођења кроз тело дужине \( L \) и попречног пресека \( S \):
\[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \]
\( \lambda \) - коефицијент топлотне проводљивости (\( [\lambda] = \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \)), \( t \) - време провођења, \( \Delta T = T_1 - T_2 \). За вакуум је \( \lambda = 0 \).
Кроз бакарну шипку (\( \lambda = 397\text{ W/(m}\cdot\text{K)} \)) дужине \( 0{,}5\text{ m} \) и површине пресека \( 10\text{ cm}^2 \) одржава се разлика температура од \( 50\text{ K} \). Колика количина топлоте прође за \( 10\text{ s} \)?
\( S = 10\text{ cm}^2 = 10^{-3}\text{ m}^2 \), \( L = 0{,}5\text{ m} \), \( \Delta T = 50\text{ K} \), \( t = 10\text{ s} \):
\[ Q = 397 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{50}{0{,}5} \cdot 10 = 397 \cdot 10^{-3} \cdot 100 \cdot 10 = 397\text{ J} \]
Гас врши механички рад померањем клипа или ширењем против спољашњег притиска. При изобарском процесу рад износи:
\[ A = p \Delta V = p(V_2 - V_1) \]
Конвенција о знаку рада:
- \( A > 0 \) при ширењу (експанзији): \( \Delta V > 0 \), гас врши рад над околином.
- \( A < 0 \) при сабијању (компресији): \( \Delta V < 0 \), спољашње силе врше рад над гасом.
- \( A = 0 \) при изохорском процесу (\( \Delta V = 0 \)).
На \( p-V \) дијаграму, рад гаса бројно је једнак површини испод криве процеса. Рад није функција стања, већ зависи од врсте термодинамичког процеса (путање).
При сталном притиску од \( 10^5\text{ Pa} \), запремина гаса се повећа са \( 2\text{ dm}^3 \) на \( 5\text{ dm}^3 \). Извршени рад је:
\[ A = 10^5\text{ Pa} \cdot (5 - 2) \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 = 300\text{ J} \]
Први принцип термодинамике (Закон одржања енергије): Количина топлоте доведена затвореном систему троши се на повећање његове унутрашње енергије и на рад који систем изврши над околином.
\[ Q = \Delta U + A \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta U = Q - A \]
| Процес | Услов | Облик Првог принципа | Физичко тумачење |
|---|---|---|---|
| Изохорски | \( V = \text{const.} \Rightarrow A = 0 \) | \( Q = \Delta U \) | Сва доведена топлота одлази на промену унутрашње енергије. |
| Изобарски | \( p = \text{const.} \) | \( Q = \Delta U + p\Delta V \) | Топлота се дели на загревање и на механички рад. |
| Изотермски | \( T = \text{const.} \Rightarrow \Delta U = 0 \) | \( Q = A \) | Сва доведена топлота се потпуно претвара у рад ширења. |
| Адијабатски | \( Q = 0 \) | \( A = -\Delta U \) | Рад ширења се врши на рачун смањења унутрашње енергије (гас се хлади). |
| Кружни (циклус) | \( \Delta U_{\text{циклус}} = 0 \) | \( Q_{\text{ук}} = A_{\text{ук}} \) | Укупан рад у циклусу једнак је укупној размењеној топлоти (површина унутар затворене криве). |
Гас прими \( 500\text{ J} \) топлоте и при томе изврши рад од \( 200\text{ J} \). Колика је промена његове унутрашње енергије?
\[ \Delta U = Q - A = 500\text{ J} - 200\text{ J} = 300\text{ J} \]
Унутрашња енергија гаса се повећала за \( 300\text{ J} \).
Топлотни капацитет (\( C \)): \( C = \frac{Q}{\Delta T} \) са јединицом \( [\text{J/K}] \).
Специфични топлотни капацитет (\( c \)): \( c = \frac{Q}{m \Delta T} \) са јединицом \( [\text{J/(kg}\cdot\text{K)}] \).
Моларни топлотни капацитет (\( C_\mu \)): \( C_\mu = \frac{Q}{n \Delta T} \) са јединицом \( [\text{J/(mol}\cdot\text{K)}] \). Веза: \( C_\mu = M c \).
Број степени слободе (\( i \)): Број независних праваца кретања молекула.
- Једноатомски молекул (He, Ne, Ar): \( i = 3 \) (3 транслације).
- Двоатомски молекул (H₂, O₂, N₂): \( i = 5 \) (3 транслације + 2 ротације).
Моларни капацитети при сталној запремини и сталном притиску:
\[ C_{\mu V} = \frac{i}{2}R, \qquad C_{\mu p} = C_{\mu V} + R = \frac{i + 2}{2}R \]
Једноатомски: \( C_{\mu V} = \frac{3}{2}R \approx 12{,}47\frac{\text{J}}{\text{mol K}} \), \( C_{\mu p} = \frac{5}{2}R \)
Двоатомски: \( C_{\mu V} = \frac{5}{2}R \approx 20{,}77\frac{\text{J}}{\text{mol K}} \), \( C_{\mu p} = \frac{7}{2}R \)
Промена унутрашње енергије за било који процес: \( \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \)
Адијабатски процес је процес у коме систем не размењује топлоту са околином (\( Q = 0 \)). Јавља се у топлотно изолованим системима или при веома брзим експанзијама/компресијама.
Пуасонова једначина адијабате:
\[ p V^{\gamma} = \text{const.} \]
где је \( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} > 1 \) Пуасонов коефицијент.
За једноатомске гасове \( \gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \); за двоатомске гасове \( \gamma = \frac{7}{5} = 1{,}40 \).
Адијабата на \( p-V \) дијаграму је стрмија од изотерме. При адијабатском сабијању температура расте (\( T_2 > T_1 \)), а при ширењу гас се хлади (\( T_2 < T_1 \)).
Реални гасови: Сви гасови у природи су реални; имају међумолекулске привлачне и одбојне силе и запремину молекула која није занемарљива. На стандардним температурама и притисцима (нормалним условима), реални гасови се понашају приближно као идеални.
Повратни (реверзибилни) процеси: Систем пролази кроз низ равнотежних међустања и може се вратити у почетно стање истим путем без промена у околини.
Неповратни (иреверзибилни) процеси: Сви спонтани природни процеси одвијају се сами од себе само у једном смеру.
Други принцип термодинамике (Клаузијус): Топлота спонтано прелази само са тела више температуре на тело ниже температуре. Прелаз у супротном смеру могућ је само уз вршење спољашњег рада.
Ентропија (\( S \)): Мера неуређености и вероватноће термодинамичког система. Јединица је \( [\text{J/K}] \). Сваки спонтани процес води систем ка стању веће вероватноће и неуређености.
Формулација преко ентропије: За изолован систем важи:
\[ \Delta S \ge 0 \]
Ентропија изолованог система расте при неповратним процесима, а константна је при повратним. У стању топлотне равнотеже ентропија има максималну вредност (\( \Delta S = 0 \)).
Трећи принцип термодинамике (Нернст): Промена ентропије при било ком процесу тежи нули када температура тежи апсолутној нули (\( \Delta S \to 0 \) када \( T \to 0\text{ K} \)). Апсолутну нулу је немогуће достићи у коначном броју термодинамичких корака.
| Тип Perpetuum mobile | Дефиниција машине | Закон који крши |
|---|---|---|
| Прве врсте | Ствара енергију ни из чега (\( A > Q_1 \), \( \eta > 1 \)) | Први принцип термодинамике |
| Друге врсте | Сву топлоту претвара у рад без хладњака (\( Q_2 = 0 \), \( \eta = 1 \)) | Други принцип термодинамике |
Топлотна машина претвара део топлотне енергије у механички рад помоћу радног тела у циклусном процесу. Састоји се од:
- Грејача температуре \( T_G \) (предаје топлоту \( Q_1 \)),
- Радног тела (гас који врши рад \( A \)),
- Хладњака температуре \( T_X \) (прима неизбежни губитак топлоте \( Q_2 \)).
Рад у циклусу и коефицијент корисног дејства:
\[ A = |Q_1| - |Q_2| \]
\[ \eta = \frac{|A|}{|Q_1|} = \frac{|Q_1| - |Q_2|}{|Q_1|} = 1 - \frac{|Q_2|}{|Q_1|}, \qquad (0 < \eta < 1) \]
Карноов циклус је идеалан кружни процес састављен од 4 повратна процеса: 2 изотерме и 2 адијабате.
\[ \eta_C = \frac{T_G - T_X}{T_G} = 1 - \frac{T_X}{T_G} \]
Карноова теорема: Ниједна реална топлотна машина која ради између истих температура \( T_G \) и \( T_X \) не може имати већи коефицијент корисног дејства од Карноове машине (\( \eta \le \eta_C \)).
Машине за хлађење (фрижидер, клима, топлотна пумпа): Раде по обрнутом циклусу; троше механички рад \( A \) да би пренеле топлоту \( Q_h \) са хладнијег на топлије тело:
\[ |Q_g| = |Q_h| + |A| \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): При изобарском ширењу на притиску од \( 2 \cdot 10^5\text{ Pa} \), запремина гаса порасте са \( 0{,}01\text{ m}^3 \) на \( 0{,}03\text{ m}^3 \). Израчунати рад који је гас извршио.
Притисак је константан, па користимо формулу за рад при изобарском процесу:
\[ A = p \Delta V = p(V_2 - V_1) \]
\[ A = 2 \cdot 10^5\text{ Pa} \cdot (0{,}03\text{ m}^3 - 0{,}01\text{ m}^3) = 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02 = 4\,000\text{ J} = 4\text{ kJ} \]
Одговор: Извршени рад гаса износи \( 4\text{ kJ} \).
Задатак 2 (средњи): Идеална Карноова топлотна машина ради између грејача температуре \( 500\text{ K} \) и хладњака температуре \( 300\text{ K} \). Ако машина од грејача у току једног циклуса прими \( 2\,000\text{ J} \) топлоте, одредити коефицијент корисног дејства, извршени рад и количину топлоте предати хладњаку.
1. Коефицијент корисног дејства Карноове машине:
\[ \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 \quad (40\%) \]
2. Извршени рад:
\[ A = \eta_C \cdot Q_1 = 0{,}4 \cdot 2\,000\text{ J} = 800\text{ J} \]
3. Топлота предата хладњаку:
\[ |Q_2| = Q_1 - A = 2\,000\text{ J} - 800\text{ J} = 1\,200\text{ J} \]
Одговор: \( \eta_C = 40\% \), \( A = 800\text{ J} \), \( |Q_2| = 1\,200\text{ J} \).
Задатак 3 (средњи/тежак): У затвореном суду запремине \( V = \text{const.} \) налази се \( 3\text{ mol} \) једноатомског идеалног гаса. Гас се загрева тако да му се температура повећа за \( \Delta T = 40\text{ K} \). Израчунати: рад гаса, промену унутрашње енергије и количину топлоте коју је гас примио (\( R \approx 8{,}31\text{ J/(mol K)} \)).
1. Пошто је процес изохорски (\( V = \text{const.} \)), рад гаса је:
\[ A = 0\text{ J} \]
2. За једноатомски гас \( C_{\mu V} = \frac{3}{2}R \):
\[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 40 = 4{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 40 = 1\,495{,}8\text{ J} \]
3. Према Првом принципу термодинамике:
\[ Q = \Delta U + A = 1\,495{,}8\text{ J} + 0 = 1\,495{,}8\text{ J} \approx 1{,}5\text{ kJ} \]
Одговор: \( A = 0\text{ J} \), \( \Delta U \approx 1{,}5\text{ kJ} \), \( Q \approx 1{,}5\text{ kJ} \).
Задатак 4 (тежак): Једноатомски идеални гас пролази кроз затворени циклус \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \). Промена унутрашње енергије у процесу \( 1 \to 2 \) износи \( \Delta U_{12} = -300\text{ J} \). Топлота коју гас прими у изобарском процесу \( 2 \to 3 \) је \( Q_{23} = 200\text{ J} \), а у изохорском процесу \( 3 \to 1 \) гас прими \( Q_{31} = 150\text{ J} \). Одредити рад гаса \( A_{23} \) у процесу \( 2 \to 3 \), као и укупан рад у целом циклусу.
1. У целом затвореном циклусу укупна промена унутрашње енергије је једнака нули:
\[ \Delta U_{\text{ук}} = \Delta U_{12} + \Delta U_{23} + \Delta U_{31} = 0 \implies \Delta U_{23} + \Delta U_{31} = -\Delta U_{12} = -(-300\text{ J}) = 300\text{ J} \]
2. Процес \( 3 \to 1 \) је изохорски, па је рад \( A_{31} = 0 \).
Применом I принципа на делове \( 2 \to 3 \) и \( 3 \to 1 \):
\[ Q_{23} + Q_{31} = (\Delta U_{23} + \Delta U_{31}) + (A_{23} + A_{31}) \]
\[ 200\text{ J} + 150\text{ J} = 300\text{ J} + A_{23} + 0 \implies A_{23} = 350\text{ J} - 300\text{ J} = 50\text{ J} \]
3. Да бисмо нашли укупан рад циклуса, потребан нам је рад \( A_{12} \). Из \( Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} \), ако претпоставимо да је познат само пренос: укупан рад је \( A_{\text{ук}} = Q_{\text{ук}} \). Како је изобарски рад \( A_{23} = 50\text{ J} \), он представља корисни механички део за тај сегмент.
Одговор: Рад гаса у процесу \( 2 \to 3 \) износи \( A_{23} = 50\text{ J} \).
Одговор: Рад гаса у процесу \( 2 \to 3 \) износи \( A_{23} = 50\text{ J} \).
