Најважније из лекције
Статика флуида:
- Хидростатички притисак: \(p_h = \rho g h\); укупни притисак: \(p = p_a + \rho g h\).
- Паскалов закон: \(\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}\) (принцип хидрауличне пресе).
- Архимедов закон: \(F_{\text{pot}} = \rho_f V_{\text{pot}} g\); одређује да ли тело тоне (\(\rho_t > \rho_f\)), лебди (\(\rho_t = \rho_f\)) или плива (\(\rho_t < \rho_f\)).
- Запремински проток: \(q_V = S \cdot v = \text{const.}\) (једначина континуитета за нестишљиве флуиде: \(S_1 v_1 = S_2 v_2\)).
- Бернулијева једначина: \(p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.}\) (збир статичког, висинског и динамичког притиска је сталан).
- Последица: тамо где је брзина већа (ужи пресек), статички притисак је мањи (основа за силу узгона крила, распршиваче и Вентуријеву цев).
- Торичелијева брзина истицања: \(v = \sqrt{2gh}\).
Флуиди обухватају течности и гасове. Њихово стање и кретање описују се преко густине, притиска и брзине.
Густина флуида (\(\rho\)): Однос масе и запремине флуида.
\[ \rho = \frac{\Delta m}{\Delta V} \]
Јединица мере: \([\rho] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\)
Притисак (\(p\)): Однос нормалне силе и површине на коју та сила делује.
\[ p = \frac{F}{S} \implies F = p \cdot S \]
Јединица мере: \([p] = \text{Pa} = \frac{\text{N}}{\text{m}^2}\)
Класификација према стишљивости:
- Стишљиви флуиди: Гасови - лако мењају запремину и густину под утицајем спољашњих сила (\(\rho \neq \text{const.}\)).
- Нестишљиви флуиди: Течности - у већини практичних случајева њихова густина се не мења (\(\rho \approx \text{const.}\)).
- Идеални флуид: Теоријски модел флуида који је потпуно нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и невискозан (нема унутрашњег трења међу слојевима).
Хидростатика је део физике који проучава флуиде у стању мировања (равнотеже).
Атмосферски притисак (\(p_a\)): Настаје услед тежине ваздушног стуба Земљине атмосфере. На нивоу мора износи приближно \(p_a \approx 101{,}33\text{ kPa}\) и опада са порастом надморске висине (на сваких \(5600\text{ m}\) смањи се приближно за половину).
Хидростатички притисак: Притисак унутар течности на дубини \(h\) услед сопствене тежине течности:
\[ p_h = \rho g h \]
Укупни притисак на дубини \(h\) једнак је збиру спољашњег (атмосферског) и хидростатичког притиска:
\[ p = p_a + \rho g h \]
Хидростатички парадокс: Хидростатички притисак на дну суда зависи искључиво од густине течности и висине стуба (дубине), а не од облика суда или укупне количине течности у њему.
Паскалов закон: Спољашњи притисак који делује на затворени нестишљиви флуид преноси се подједнако у свим правцима кроз целу запремину флуида.
\[ \Delta p_1 = \Delta p_2 \implies \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \]
Хидраулична преса: Деловањем мале силе \(F_1\) на мали клип површине \(S_1\), на великом клипу површине \(S_2\) добија се знатно већа сила:
\[ F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
Архимедов закон: На свако тело потопљено у флуид делује сила потиска усмерена вертикално навише, чији је интензитет једнак тежини телом истиснутог флуида.
\[ F_{\text{pot}} = \rho_f \cdot V_{\text{pot}} \cdot g \]
где је \(\rho_f\) густина флуида, \(V_{\text{pot}}\) запремина потопљеног дела тела, а \(g\) гравитационо убрзање.
Услови плувања тела: У зависности од односа тежине тела \(Q = \rho_t V_t g\) и силе потиска \(F_{\text{pot}}\) (односно односа густине тела \(\rho_t\) и густине флуида \(\rho_f\)):
- \(\rho_t > \rho_f \implies Q > F_{\text{pot}}\): Тело тоне на дно.
- \(\rho_t = \rho_f \implies Q = F_{\text{pot}}\): Тело лебди унутар флуида на било којој дубини.
- \(\rho_t < \rho_f \implies Q < F_{\text{pot}}\): Тело израња и плива по површини (тако да је тежина тела једнака сили потиска за део који је уроњен).
Стационарно струјање: Струјање код кога се брзина, притисак и густина флуида у свакој тачки простора не мењају током времена.
Струјна линија: Усмерена линија чија је тангента у свакој тачки паралелна вектору брзине флуида. Сноп струјних линија чини струјну цев кроз чије зидове нема преласка флуида.
Запремински проток (\(q_V\)): Запремина флуида која протекне кроз попречни пресек у јединици времена:
\[ q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S \cdot v \]
Јединица мере: \([q_V] = \frac{\text{m}^3}{\text{s}}\)
Масени проток (\(q_m\)): Маса флуида која протекне кроз попречни пресек у јединици времена:
\[ q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho \cdot S \cdot v \]
Јединица мере: \([q_m] = \frac{\text{kg}}{\text{s}}\)
Једначина континуитета: При стационарном струјању, масени проток кроз било који попречни пресек струјне цеви је константан (закон одржања масе):
\[ \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 = \text{const.} \]
За нестишљиве флуиде (\(\rho = \text{const.}\)), запремински проток је константан дуж целе струјне цеви:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 = \text{const.} \]
Брзина флуида је обрнуто сразмерна површини попречног пресека цеви. На местима где је цев ужа, брзина струјања је већа, а струјне линије су гушће распоређене.
Бернулијева једначина представља закон одржања механичке енергије примењен на стационарно струјање идеалног нестишљивог флуида.
\[ p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.} \]
За било које две тачке дуж исте струјне цеви важи:
\[ p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \]
Чланови Бернулијеве једначине:
- \(p\) - статички притисак (притисак услед унутрашњег међусобног дејства честица флуида),
- \(\rho g h\) - висински (хидростатички) притисак (потенцијална енергија јединичне запремине),
- \(\frac{1}{2}\rho v^2\) - динамички притисак (кинетичка енергија јединичне запремине).
За хоризонталну цев (\(h_1 = h_2\)):
\[ p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \]
Бернулијев ефекат: На местима где је брзина струјања флуида већа (сужења), статички притисак је мањи, и обрнуто.
Торичелијева теорема: Брзина истицања течности кроз мали бочни отвор на отвореном суду, који се налази на дубини \(h\) испод слободне површине, једнака је брзини слободног пада са те висине:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Аеродинамички узгон: Због асиметричног облика крила авиона, ваздух изнад крила струји брже него испод крила. Према Бернулијевој једначини, статички притисак изнад крила је мањи од притиска испод, што ствара резултујућу силу усмерену навише (силу узгона).
Вентуријева цев: Уређај за мерење протока флуида на основу разлике статичких притисака између ширег и ужег дела цеви:
\[ q_V = C \cdot \sqrt{\frac{h}{\rho}} \]
Распршивач и водена пумпа: Велика брзина флуида у сужењу цеви ствара локални потпритисак (вакуум) који усисава течност или гас из суседне посуде.
Снага ветра: Максимална теоријска снага ваздушне струје површине \(S\) и брзине \(v\):
\[ P_{\text{max}} = \frac{1}{2} \rho S v^3 \implies P_{\text{vetrenjače}} = \eta \cdot \frac{\rho S v^3}{2} \]
Снага ветрогенератора расте са трећим степеном брзине ветра.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Кроз хоризонталну цев површине попречног пресека \(S_1 = 12\text{ cm}^2\) вода струји брзином \(v_1 = 2\text{ m/s}\). Колика је брзина воде у ужем делу цеви чији је попречни пресек \(S_2 = 3\text{ cm}^2\)?
Примењујемо једначину континуитета за нестишљиви флуид:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \]
\[ v_2 = \frac{S_1 v_1}{S_2} = \frac{12\text{ cm}^2 \cdot 2\text{ m/s}}{3\text{ cm}^2} = 8\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви износи \(8\text{ m/s}\).
Задатак 2 (Средњи): На мали клип хидрауличне пресе површине \(S_1 = 5\text{ cm}^2\) делује сила од \(F_1 = 150\text{ N}\). Колику силу \(F_2\) производи велики клип чија површина износи \(S_2 = 250\text{ cm}^2\)?
Према Паскаловом закону, притисци испод оба клипа су једнаки:
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
\[ F_2 = 150\text{ N} \cdot \frac{250\text{ cm}^2}{5\text{ cm}^2} = 150\text{ N} \cdot 50 = 7500\text{ N} = 7{,}5\text{ kN} \]
Одговор: Велики клип развија силу од \(7500\text{ N}\).
Задатак 3 (Средњи): На бочном зиду отвореног резервоара са водом налази се мали отвор на дубини од \(h = 3{,}2\text{ m}\) испод горње слободне површине воде. Израчунај брзину истицања воде кроз отвор (\(g = 10\text{ m/s}^2\)).
Према Торичелијевој теореми:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 3{,}2\text{ m}} = \sqrt{64\text{ m}^2/\text{s}^2} = 8\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина истицања воде износи \(8\text{ m/s}\).
Задатак 4 (Тежак): Кроз хоризонталну цев протиче вода густине \(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\). У ширем делу цеви пресека \(S_1 = 40\text{ cm}^2\) статички притисак је \(p_1 = 180\text{ kPa}\), а брзина струјања \(v_1 = 1\text{ m/s}\). Израчунај статички притисак \(p_2\) у суженом делу цеви где је пресек \(S_2 = 10\text{ cm}^2\).
1. корак: Одређивање брзине \(v_2\) помоћу једначине континуитета:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \frac{S_1 v_1}{S_2} = \frac{40\text{ cm}^2 \cdot 1\text{ m/s}}{10\text{ cm}^2} = 4\text{ m/s} \]
2. корак: Примена Бернулијеве једначине за хоризонталну цев (\(h_1 = h_2\)):
\[ p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \]
\[ p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) \]
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1}{2} \cdot 1000\text{ kg/m}^3 \cdot (1^2 - 4^2)\text{ m}^2/\text{s}^2 \]
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + 500 \cdot (1 - 16)\text{ Pa} = 180\,000 - 7500 = 172\,500\text{ Pa} = 172{,}5\text{ kPa} \]
Одговор: Статички притисак у ужем делу цеви је \(172{,}5\text{ kPa}\).
