Најважније из лекције
Хидростатика: Притисак на дубини \(h\) рачуна се као \(p = p_a + \rho g h\). Паскалов закон омогућава пренос притиска (\(\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}\)), док Архимедов закон дефинише потисак једнак тежини истиснуте течности (\(F_{\text{pot}} = \rho V g\)).
Једначина континуитета: За нестишљиве флуиде \(S_1 v_1 = S_2 v_2 = q_V = \text{const.}\) - мањи попречни пресек узрокује већу брзину.
Бернулијева једначина: \(p + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.}\) - на истој висини, већа брзина струјања флуида значи мањи статички притисак (основа за силу узгона крила авиона, Вентуријеву цев и распршиваче).
Торичелијева теорема: Брзина истицања кроз бочни отвор износи \(v = \sqrt{2gh}\).
Једначина континуитета: За нестишљиве флуиде \(S_1 v_1 = S_2 v_2 = q_V = \text{const.}\) - мањи попречни пресек узрокује већу брзину.
Бернулијева једначина: \(p + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.}\) - на истој висини, већа брзина струјања флуида значи мањи статички притисак (основа за силу узгона крила авиона, Вентуријеву цев и распршиваче).
Торичелијева теорема: Брзина истицања кроз бочни отвор износи \(v = \sqrt{2gh}\).
Флуиди су материјална тела која немају сталан облик већ га прилагођавају облику суда у коме се налазе (течности и гасови). Основне физичке величине којима се описују јесу густина, притисак и брзина.
Густина флуида (\(\rho\)) представља однос масе и запремине флуида.
\[ \rho = \frac{\Delta m}{\Delta V} \]
\(\rho\) - густина \([\text{kg/m}^3]\), \(\Delta m\) - маса \([\text{kg}]\), \(\Delta V\) - запремина \([\text{m}^3]\)
Притисак (\(p\)) јесте однос интензитета нормалне силе и површине на коју та сила делује.
\[ p = \frac{F}{S} \implies F = p \cdot S \]
\(p\) - притисак \([\text{Pa} = \text{N/m}^2]\), \(F\) - сила притиска \([\text{N}]\), \(S\) - површина \([\text{m}^2]\)
Подела флуида према стишљивости:
- Нестишљиви (идеални) флуиди: густина је константна (\(\rho = \text{const.}\)).
- Приближно нестишљиви флуиди: течности (\(\rho \approx \text{const.}\)).
- Стишљиви флуиди: гасови, лако мењају запремину и густину под дејством спољашњих сила (\(\rho \neq \text{const.}\)).
Колика сила притиска делује на дно акваријума површине \(0{,}4\text{ m}^2\) ако је притисак воде на дну \(2500\text{ Pa}\)?
\(F = p \cdot S = 2500\text{ Pa} \cdot 0{,}4\text{ m}^2 = 1000\text{ N}\).
Хидростатика је део физике који проучава флуиде у стању мировања. У флуиду у мировању брзина свих делића једнака је нули, а притисак у свакој тачки делује подједнако у свим правцима.
Атмосферски притисак (\(p_a\)) настаје услед тежине ваздушног стуба Земљине атмосфере. На нивоу мора у нормалним условима износи \(p_a \approx 101{,}33\text{ kPa}\), а опада са порастом надморске висине.
Хидростатички притисак је притисак који врши стуб нестишљиве течности услед сопствене тежине на дубини \(h\).
\[ p_{\text{hidr}} = \rho g h \]
\[ p_{\text{ukupno}} = p_a + \rho g h \]
\(\rho\) - густина течности, \(g\) - гравитационо убрзање (\(\approx 9{,}81\text{ m/s}^2\)), \(h\) - дубина стуба течности
Хидростатички парадокс: Притисак на дну суда испуњеног течношћу зависи искључиво од густине течности и дубине (висине стуба), а не зависи од облика или укупне запремине суда.
Израчунати хидростатички притисак воде (\(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\)) на дубини од \(5\text{ m}\) (узети \(g = 9{,}81\text{ m/s}^2\)).
\(p = \rho g h = 1000\text{ kg/m}^3 \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2 \cdot 5\text{ m} = 49050\text{ Pa} \approx 49{,}05\text{ kPa}\).
Паскалов закон: Спољашњи притисак који делује на затворени нестишљиви флуид преноси се подједнако у свим правцима кроз читаву запремину флуида.
\[ \Delta p = \text{const.} \]
Хидраулична преса је уређај састављен од два спојена цилиндра различитих попречних пресека (\(S_1\) и \(S_2\)) испуњена нестишљивом течношћу. На основу Паскаловог закона притисак испод оба клипа је једнак:
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
Дејством мале силе \(F_1\) на мали клип \(S_1\) добија се вишеструко већа сила \(F_2\) на великом клипу \(S_2\).
На мањи клип хидрауличне дизалице површине \(10\text{ cm}^2\) делује сила од \(200\text{ N}\). Колику силу развија већи клип чија је површина \(500\text{ cm}^2\)?
\(F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 200\text{ N} \cdot \frac{500\text{ cm}^2}{10\text{ cm}^2} = 200\text{ N} \cdot 50 = 10\,000\text{ N} = 10\text{ kN}\).
Сила потиска (\(F_{\text{pot}}\)) је резултујућа сила притисака којом флуид делује одоздо нагоре на тело потопљено у њега.
Архимедов закон: На свако тело уроњено у флуид делује сила потиска усмерена вертикално навише, која је по интензитету једнака тежини телом истиснутог флуида.
\[ F_{\text{pot}} = \rho_{\text{fluida}} \cdot V_{\text{pot}} \cdot g \]
\(\rho_{\text{fluida}}\) - густина флуида, \(V_{\text{pot}}\) - запремина потопљеног дела тела, \(g\) - гравитационо убрзање
Услови пливања, лебдења и тоњења тела:
- \(m_{\text{tela}} g > F_{\text{pot}} \iff \rho_{\text{tela}} > \rho_{\text{fluida}}\): Тело тоне на дно.
- \(m_{\text{tela}} g = F_{\text{pot}} \iff \rho_{\text{tela}} = \rho_{\text{fluida}}\): Тело лебди унутар флуида на било којој дубини.
- \(m_{\text{tela}} g < F_{\text{pot}} \iff \rho_{\text{tela}} < \rho_{\text{fluida}}\): Тело плива (израња све док тежина истиснуте течности не постане једнака тежини тела).
Тело запремине \(0{,}02\text{ m}^3\) потпуно је потопљено у воду (\(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\)). Колики је интензитет силе потиска (\(g = 10\text{ m/s}^2\))?
\(F_{\text{pot}} = \rho \cdot V \cdot g = 1000\text{ kg/m}^3 \cdot 0{,}02\text{ m}^3 \cdot 10\text{ m/s}^2 = 200\text{ N}\).
Идеални флуид је теоријски модел флуида који је потпуно нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и невискозан (нема унутрашњег трења међу слојевима).
Стационарно струјање је струјање код кога се брзина, притисак и густина делића флуида у било којој фиксној тачки простора не мењају током времена.
Проток флуида карактерише количину флуида која протекне кроз попречни пресек струјне цеви у јединици времена:
Запремински проток:
\[ q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S \cdot v \quad \left[ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \right] \]
Масени проток:
\[ q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v \quad \left[ \frac{\text{kg}}{\text{s}} \right] \]
Једначина континуитета: При стационарном струјању масени проток дуж струјне цеви је константан (\(q_m = \text{const.}\)). За нестишљиве флуиде константан је и запремински проток:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 = \text{const.} \]
На местима где је попречни пресек цеви мањи (сужење), брзина струјања флуида је већа, а струјне линије су гушће.
Вода протиче кроз цев попречног пресека \(40\text{ cm}^2\) брзином од \(1{,}5\text{ m/s}\). Колика је брзина воде у суженом делу цеви пресека \(10\text{ cm}^2\)?
Применом једначине континуитета:
\[ v_2 = \frac{S_1 \cdot v_1}{S_2} = \frac{40\text{ cm}^2 \cdot 1{,}5\text{ m/s}}{10\text{ cm}^2} = 4 \cdot 1{,}5\text{ m/s} = 6\text{ m/s} \]
Бернулијева једначина представља закон одржања механичке енергије примењен на стационарно струјање идеалног нестишљивог флуида.
\[ p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.} \]
За ма које две тачке дуж исте струјне линије:
\[ p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \]
Чланови Бернулијеве једначине:
- \(p\) - статички притисак (притисак флуида на зидове струјне цеви),
- \(\rho g h\) - висински (хидростатички) притисак (услед висинске разлике \(h\)),
- \(\frac{1}{2}\rho v^2\) - динамички притисак (услед брзине кретања флуида).
За струјање кроз хоризонталну цев (\(h_1 = h_2\)):
\[ p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 = \text{const.} \]
Закључак: На местима где је брзина струјања флуида већа, статички притисак је мањи, и обрнуто.
Кроз хоризонталну цев струји вода. У широком делу брзина је \(2\text{ m/s}\), а статички притисак \(180\text{ kPa}\). Колики је статички притисак у ужем делу где је брзина \(4\text{ m/s}\) (\(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\))?
\(p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}\)
\(p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1000}{2}(2^2 - 4^2)\text{ Pa}\)
\(p_2 = 180\,000 + 500 \cdot (4 - 16) = 180\,000 - 6\,000 = 174\,000\text{ Pa} = 174\text{ kPa}\).
\(p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1000}{2}(2^2 - 4^2)\text{ Pa}\)
\(p_2 = 180\,000 + 500 \cdot (4 - 16) = 180\,000 - 6\,000 = 174\,000\text{ Pa} = 174\text{ kPa}\).
Торичелијева теорема: Брзина истицања течности кроз мали отвор на бочном зиду отвореног суда, који се налази на дубини \(h\) испод слободне површине:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Брзина је једнака брзини коју би тело имало при слободном паду са исте висине \(h\).
Сила узгона на крилу авиона: Крило је профилисано тако да ваздух прелази дужи пут преко горње површине, па струји већом брзином него испод крила (\(v_{\text{gore}} > v_{\text{dole}}\)). Према Бернулијевој једначини, притисак изнад крила је мањи (\(p_{\text{gore}} < p_{\text{dole}}\)), што ствара резултујућу силу узгона усмерену навише.
Вентуријева цев: Служи за мерење протока флуида преко мерења висинске разлике \(h\) стуба течности у U-цеви:
\[ q_V = C \sqrt{\frac{h}{\rho}} \]
где је \(C = S_1 \sqrt{\frac{2\rho_c g}{\left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2 - 1}}\) геометријска константа уређаја.
Распршивач и водена пумпа: Велика брзина струјања флуида кроз сужење ствара подпритисак (усисавање) којим се спољни флуид увлачи у главни ток.
Снага ветра и ветрењаче: Максимална теоријска снага ваздушне струје брзине \(v\) кроз површину \(S\) износи:
\[ P_{\text{max}} = \frac{1}{2}\rho S v^3 \]
Реална снага ветрењаче са коефицијентом корисног дејства \(\eta\) је: \(P = \eta \frac{1}{2}\rho S v^3\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Из отвореног резервоара са водом кроз мали отвор на дубини \(h = 1{,}8\text{ m}\) испод слободне површине истиче млаз воде. Колика је брзина истицања воде (\(g = 10\text{ m/s}^2\))?
Применом Торичелијеве теореме:
\[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 1{,}8\text{ m}} = \sqrt{36} = 6\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина истицања воде износи \(6\text{ m/s}\).
Задатак 2 (Средњи): Комад метала има масу \(5{,}4\text{ kg}\) и запремину \(2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3\). Да ли ће овај комад метала потонути или пливати у води (\(\rho_v = 1000\text{ kg/m}^3\)), и колика је тежина тог комада када се потпуно потопи у воду (\(g = 10\text{ m/s}^2\))?
1. Одређујемо густину метала:
\[ \rho_m = \frac{m}{V} = \frac{5{,}4\text{ kg}}{2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3} = 2700\text{ kg/m}^3 \]
Пошто је \(\rho_m > \rho_v\) (\(2700\text{ kg/m}^3 > 1000\text{ kg/m}^3\)), тело тоне.
2. Рачунамо тежину у ваздуху и силу потиска: \[ Q = m g = 5{,}4\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 54\text{ N} \] \[ F_{\text{pot}} = \rho_v V g = 1000\text{ kg/m}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 \cdot 10\text{ m/s}^2 = 20\text{ N} \] Привидна тежина у води је: \[ Q' = Q - F_{\text{pot}} = 54\text{ N} - 20\text{ N} = 34\text{ N} \] Одговор: Метал тоне, а његова тежина у води износи \(34\text{ N}\).
2. Рачунамо тежину у ваздуху и силу потиска: \[ Q = m g = 5{,}4\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 54\text{ N} \] \[ F_{\text{pot}} = \rho_v V g = 1000\text{ kg/m}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 \cdot 10\text{ m/s}^2 = 20\text{ N} \] Привидна тежина у води је: \[ Q' = Q - F_{\text{pot}} = 54\text{ N} - 20\text{ N} = 34\text{ N} \] Одговор: Метал тоне, а његова тежина у води износи \(34\text{ N}\).
Задатак 3 (Средњи): Кроз хоризонталну цев кружног пресека пречника \(D_1 = 10\text{ cm}\) протиче вода брзином \(v_1 = 1\text{ m/s}\). Цев се потом сужава на пречник \(D_2 = 5\text{ cm}\). Одредити:
а) брзину воде \(v_2\) у ужем делу цеви,
б) запремински проток воде \(q_V\).
а) брзину воде \(v_2\) у ужем делу цеви,
б) запремински проток воде \(q_V\).
Површине попречних пресека су сразмерне квадрату пречника: \(S = \frac{D^2 \pi}{4}\).
а) Из једначине континуитета \(S_1 v_1 = S_2 v_2\): \[ v_2 = v_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = v_1 \cdot \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1\text{ m/s} \cdot \left(\frac{10}{5}\right)^2 = 1 \cdot 4 = 4\text{ m/s} \] б) Запремински проток: \[ S_1 = \frac{(0{,}1\text{ m})^2 \cdot 3{,}14}{4} = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \] \[ q_V = S_1 v_1 = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \cdot 1\text{ m/s} = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s} = 7{,}85\text{ l/s} \] Одговор: Брзина у ужем делу је \(4\text{ m/s}\), а запремински проток је \(7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s}\).
а) Из једначине континуитета \(S_1 v_1 = S_2 v_2\): \[ v_2 = v_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = v_1 \cdot \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1\text{ m/s} \cdot \left(\frac{10}{5}\right)^2 = 1 \cdot 4 = 4\text{ m/s} \] б) Запремински проток: \[ S_1 = \frac{(0{,}1\text{ m})^2 \cdot 3{,}14}{4} = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \] \[ q_V = S_1 v_1 = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \cdot 1\text{ m/s} = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s} = 7{,}85\text{ l/s} \] Одговор: Брзина у ужем делу је \(4\text{ m/s}\), а запремински проток је \(7{,}85 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s}\).
Задатак 4 (Тежак): Ветар дува брзином \(v = 12\text{ m/s}\) управно на ротор ветрењаче полупречника \(R = 5\text{ m}\). Густина ваздуха је \(\rho = 1{,}2\text{ kg/m}^3\), а коефицијент корисног дејства ветрењаче је \(\eta = 0{,}35\). Колика је корисна електрична снага коју развија ова ветрењача (\(\pi \approx 3{,}14\))?
1. Површина коју описују лопатице ротора:
\[ S = R^2 \pi = (5\text{ m})^2 \cdot 3{,}14 = 25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5\text{ m}^2 \]
2. Максимална снага ваздушне струје:
\[ P_{\text{max}} = \frac{1}{2} \rho S v^3 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}2\text{ kg/m}^3 \cdot 78{,}5\text{ m}^2 \cdot (12\text{ m/s})^3 \]
\[ P_{\text{max}} = 0{,}6 \cdot 78{,}5 \cdot 1728 = 81\,388{,}8\text{ W} \approx 81{,}39\text{ kW} \]
3. Корисна снага ветрењаче:
\[ P = \eta \cdot P_{\text{max}} = 0{,}35 \cdot 81\,388{,}8\text{ W} \approx 28\,486\text{ W} \approx 28{,}5\text{ kW} \]
Одговор: Корисна снага ветрењаче износи приближно \(28{,}5\text{ kW}\).
