Најважније из лекције
Електростатика описује статичка наелектрисања и њихове међусобне интеракције:
- Наелектрисање: Квантовано (\(q = n \cdot e\), где је \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C}\)) и одржава се у изолованом систему.
- Кулонова сила: \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\); делује дуж праве која спаја наелектрисања (истоимена се одбијају, разноимена привлаче).
- Електрично поље: Векторска величина \(\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p}\), која за тачкасто наелектрисање износи \(E = k \frac{|q|}{r^2}\). Линије силе извиру из \(+\) и увиру у \(-\).
- Потенцијал и напон: \(\varphi = \frac{E_p}{q} = k \frac{q}{r}\); рад поља је \(A = qU = q(\varphi_1 - \varphi_2)\); веза у хомогеном пољу је \(E = \frac{U}{d}\).
- Проводници и диелектрици: Унутар проводника у равнотежи \(E = 0\) и \(\varphi = \text{const}\); диелектрик слаби спољашње поље \(\varepsilon_r\) пута услед поларизације (\(E_d = E / \varepsilon_r\)).
- Кондензатори: Капацитет \(C = \frac{q}{U} = \varepsilon \frac{S}{d}\). Паралелно везивање: \(C_e = \sum C_i\); редно везивање: \(\frac{1}{C_e} = \sum \frac{1}{C_i}\).
- Енергија поља: \(E_p = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}qU\), са запреминском густином \(w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2\).
Електростатика је део физике који проучава наелектрисана тела која мирују и појаве у вези са њима.
Количина наелектрисања (\(q\)) је физичка величина којом се мери наелектрисаност тела.
Јединица количине наелектрисања је кулон \([\text{C}]\).
Елементарно наелектрисање (\(e\)) представља апсолутну вредност наелектрисања протона или електрона:
\[ e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \]
\[ q = n \cdot e \quad (n \in \mathbb{N}) \]
Количина наелектрисања сваког тела је квантована (једнака целобројном умношку елементарног наелектрисања). Наелектрисању од \(1\text{ C}\) одговара \(6,25 \cdot 10^{18}\) елементарних наелектрисања.
Закон одржања наелектрисања: Укупан број позитивних и негативних елементарних наелектрисања у затвореном систему остаје непромењен. Наелектрисање се не може ни створити ни уништити, већ само прелази са једног тела на друго.
Проводници садрже слободне носиоце наелектрисања (слободне електроне) и добро проводе наелектрисање, док изолатори (диелектрици) не садрже слободне носиоце и не проводе наелектрисање.
Наелектрисаност тела се региструје помоћу електроскопа (листићи од лаког метала се размичу услед истоименог наелектрисања) и електрометра (поседује казаљку и скалу за мерење).
Тачкасто наелектрисање је наелектрисано тело чије се димензије могу занемарити у односу на међусобно растојање између тела.
Истоимена наелектрисања се одбијају, а разноимена се привлаче. Равномерно наелектрисана сферна тела понашају се као тачкаста наелектрисања концентрисана у њиховим центрима.
\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
\(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) – електростатичка константа у вакууму
\(\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)\) – диелектрична пропустљивост вакуума
\(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) – диелектрична пропустљивост средине (\(\varepsilon_r\) је релативна диелектрична пропустљивост)
\(\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)\) – диелектрична пропустљивост вакуума
\(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) – диелектрична пропустљивост средине (\(\varepsilon_r\) је релативна диелектрична пропустљивост)
Принцип суперпозиције: Ако на једно наелектрисање делује више других наелектрисаних тела, укупна сила једнака је векторском збиру свих појединачних сила:
\[ \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n \]
Ако се растојање између два тачкаста наелектрисања удвостручи (\(r' = 2r\)), Кулонова сила се смањи 4 пута (\(F' = F/4\)).
Електрично поље је простор око наелектрисаног тела преко којег се преноси узајамно електростатичко деловање.
\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p} \]
\(\vec{E}\) – јачина електричног поља; \(q_p\) – мало позитивно пробно наелектрисање.
Јединица јачине електричног поља је њутн по кулону \([\text{N}/\text{C}]\) или волт по метру \([\text{V}/\text{m}]\).
\[ E = k \frac{|q|}{r^2} \]
Интензитет електричног поља тачкастог наелектрисања \(q\) на удаљености \(r\).
Линије силе су замишљене линије чија тангента у свакој тачки одређује правац вектора поља:
- Извиру из позитивног наелектрисања, а увиру у негативно.
- Густина линија силе је пропорционална јачини електричног поља.
- Кроз једну тачку поља пролази само једна линија силе.
Хомогено електрично поље има исти интензитет, правац и смер у свим тачкама (линије силе су паралелне и на једнаким растојањима, нпр. између две супротно наелектрисане плоче).
\[ \Phi = E S \cos\alpha \]
\(\Phi\) – флукс електричног поља кроз површину \(S\); \(\alpha\) – угао између нормале на површину и вектора \(\vec{E}\). Јединица је \([\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}]\).
Електростатичка сила је конзервативна – рад силе при премештању наелектрисања зависи само од почетног и крајњег положаја, а не од облика путање:
\[ A = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2} \]
\[ E_p = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r} = k \frac{q_1 q_2}{r} \]
Електростатичка потенцијална енергија два тачкаста наелектрисања на растојању \(r\) (узима се да је \(E_p = 0\) у бесконачности).
Електрични потенцијал (\(\varphi\)) је скаларна величина једнака потенцијалној енергији јединичног позитивног наелектрисања у датој тачки:
\[ \varphi = \frac{E_p}{q_p} = k \frac{q}{r} \]
Јединица електричног потенцијала је волт \([1\text{ V} = 1\text{ J}/1\text{ C}]\).
Еквипотенцијалне површине су површине чије све тачке имају исти потенцијал. Линије силе електричног поља су увек нормалне на еквипотенцијалне површине. За тачкасто наелектрисање то су концентричне сфере.
\[ U = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A}{q} \implies A = q U \]
Електрични напон (\(U\)) једнак је разлици потенцијала између две тачке у пољу.
\[ E = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}, \quad \text{у хомогеном пољу: } E = \frac{U}{d} \]
Веза између јачине електричног поља и напона. Вектор \(\vec{E}\) је увек усмерен од тачака вишег ка тачкама нижег потенцијала.
Електрични дипол чине два једнака наелектрисања супротног знака (\(+q\) и \(-q\)) на сталном растојању \(l\).
\[ \vec{p} = q\vec{l} \]
\(\vec{p}\) – диполни момент; вектор \(\vec{l}\) је усмерен од негативног (\(-q\)) ка позитивном наелектрисању (\(+q\)).
У хомогеном спољашњем пољу, спрег сила закреће дипол тако да се његов диполни момент постави у смеру линија поља.
Диелектрик (изолатор) у пољу: Спољашње електрично поље доводи до поларизације диелектрика (преоријентације или стварања дипола). Индуковано поље унутар диелектрика \(\vec{E}_{ind}\) има супротан смер од спољашњег поља, па слаби укупно поље:
\[ E_d = E - E_{ind} = \frac{E}{\varepsilon_r} \]
Проводник у пољу: Под дејством спољашњег поља долази до електростатичке индукције (прерасподеле слободних електрона):
- Јачина електричног поља унутар проводника једнака је нули (\(E = 0\)).
- Све тачке унутар и на површини проводника имају исти потенцијал (\(\varphi = \text{const}\)).
- Наелектрисање проводника налази се искључиво на његовој спољашњој површини.
Електрични капацитет (\(C\)) је мера способности проводника или кондензатора да акумулира наелектрисање при одређеном потенцијалу/напону:
\[ C = \frac{q}{\varphi} \quad \text{односно} \quad C = \frac{q}{U} \]
Јединица је фарад \([1\text{ F} = 1\text{ C}/1\text{ V}]\). Често се користе \(1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\text{ F}\), \(1\text{ nF} = 10^{-9}\text{ F}\), \(1\text{ pF} = 10^{-12}\text{ F}\).
\[ C = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \]
Капацитет равног (плочастог) кондензатора са плочама површине \(S\) на растојању \(d\).
Везивање кондензатора:
| Врста везе | Особине кола | Еквивалентни капацитет (\(C_e\)) |
|---|---|---|
| Паралелна веза | \(U = \text{const}\) \(q = q_1 + q_2 + \dots + q_n\) |
\[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \] |
| Редна веза | \(q = \text{const}\) \(U = U_1 + U_2 + \dots + U_n\) |
\[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \] |
\[ E_p = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{q^2}{2 C} \]
Енергија наелектрисаног кондензатора једнака је извршеном раду при његовом пуњењу (одговара површини испод линеарног графика \(U(q)\)).
\[ w = \frac{E_p}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 \]
Запреминска густина енергије хомогеног електричног поља (\(V = S \cdot d\)). Јединица је \([\text{J}/\text{m}^3]\).
Пошто је поље унутар проводне шупљине једнако нули (\(E = 0\)), метална тела пружају потпуну заштиту од спољашњих електростатичких пражњења (Фарадејев кавез). Због тога аутомобил представља сигуран заклон приликом удара грома.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво):
Колика Кулонова сила делује између два тачкаста наелектрисања од \(q_1 = +2\text{ }\mu\text{C}\) и \(q_2 = -4\text{ }\mu\text{C}\) у ваздуху ако се налазе на међусобном растојању од \(r = 30\text{ cm}\)? Да ли се тела привлаче или одбијају? (\(k \approx 9 \cdot 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\))
Подаци: \(q_1 = 2 \cdot 10^{-6}\text{ C}\), \(q_2 = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}\) (по апсолутној вредности), \(r = 0,3\text{ m}\).
Применом Кулоновог закона: \[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{(0,3)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-12}}{0,09} = 0,8\text{ N} \] Пошто су наелектрисања супротног знака, сила је привлачна.
Применом Кулоновог закона: \[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{(0,3)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-12}}{0,09} = 0,8\text{ N} \] Пошто су наелектрисања супротног знака, сила је привлачна.
Задатак 2 (Средњи ниво):
Два кондензатора капацитета \(C_1 = 3\text{ }\mu\text{F}\) и \(C_2 = 6\text{ }\mu\text{F}\) везана су редно и прикључена на извор напона од \(U = 120\text{ V}\). Израчунати еквивалентни капацитет ове везе и количину наелектрисања на сваком кондензатору.
1. Еквивалентни капацитет код редне везе:
\[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_e = 2\text{ }\mu\text{F} \]
2. Код редне везе наелектрисање на свим кондензаторима је исто:
\[ q = q_1 = q_2 = C_e \cdot U = 2 \cdot 10^{-6}\text{ F} \cdot 120\text{ V} = 240\text{ }\mu\text{C} = 2,4 \cdot 10^{-4}\text{ C} \]
Задатак 3 (Тежи ниво):
Раван плочасти кондензатор површине плоча \(S = 0,02\text{ m}^2\) и растојања између плоча \(d = 2\text{ mm}\) испуњен је диелектриком релативне диелектричне пропустљивости \(\varepsilon_r = 5\). Кондензатор је напуњен до напона од \(U = 400\text{ V}\). Одредити:
- капацитет кондензатора,
- јачину хомогеног електричног поља унутар кондензатора,
- укупну енергију електростатичког поља акумулирану у кондензатору.
Подаци: \(S = 0,02\text{ m}^2\), \(d = 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}\), \(\varepsilon_r = 5\), \(U = 400\text{ V}\).
а) Капацитет плочастог кондензатора: \[ C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \cdot \frac{0,02}{2 \cdot 10^{-3}} = 44,25 \cdot 10^{-12} \cdot 10 = 4,425 \cdot 10^{-10}\text{ F} = 442,5\text{ pF} \] б) Јачина хомогеног електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{400\text{ V}}{2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 2 \cdot 10^5\text{ V/m} \] в) Енергија електричног поља у кондензатору: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot (4,425 \cdot 10^{-10}\text{ F}) \cdot (400\text{ V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4,425 \cdot 10^{-10} \cdot 1,6 \cdot 10^5 = 3,54 \cdot 10^{-5}\text{ J} = 35,4\text{ }\mu\text{J} \]
а) Капацитет плочастог кондензатора: \[ C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \cdot \frac{0,02}{2 \cdot 10^{-3}} = 44,25 \cdot 10^{-12} \cdot 10 = 4,425 \cdot 10^{-10}\text{ F} = 442,5\text{ pF} \] б) Јачина хомогеног електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{400\text{ V}}{2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 2 \cdot 10^5\text{ V/m} \] в) Енергија електричног поља у кондензатору: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot (4,425 \cdot 10^{-10}\text{ F}) \cdot (400\text{ V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4,425 \cdot 10^{-10} \cdot 1,6 \cdot 10^5 = 3,54 \cdot 10^{-5}\text{ J} = 35,4\text{ }\mu\text{J} \]
