Најважније из лекције
Елементарна наелектрисања: Квантованост \( q = n \cdot e \), при чему је \( e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \). Укупна количина наелектрисања у изолованом систему је очувана.
Кулонов закон: Сила \( F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \) описује привлачење разноимених и одбијање истоимених наелектрисања.
Електрично поље и потенцијал: Јачина поља \( \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p} \) (за тачкасто наелектрисање \( E = k\frac{q}{r^2} \)); потенцијал \( \varphi = \frac{E_p}{q} = k\frac{q}{r} \); напон \( U = \varphi_1 - \varphi_2 \); у хомогеном пољу \( E = \frac{U}{d} \).
Материјали у пољу: Код диелектрика долази до поларизације и слабљења поља (\( E_d = E/\varepsilon_r \)); код проводника се јавља електростатичка индукција, при чему је у равнотежи \( E = 0 \) унутар проводника, а његова површина је еквипотенцијална.
Кондензатори: Равни кондензатор \( C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \). При паралелној вези капацитети се сабирају (\( C_e = \sum C_i \)), а при редној вези сабирају се реципрочне вредности (\( \frac{1}{C_e} = \sum \frac{1}{C_i} \)).
Енергија поља: \( E_p = \frac{1}{2} C U^2 \); запреминска густина енергије је \( w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \).
Кулонов закон: Сила \( F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \) описује привлачење разноимених и одбијање истоимених наелектрисања.
Електрично поље и потенцијал: Јачина поља \( \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p} \) (за тачкасто наелектрисање \( E = k\frac{q}{r^2} \)); потенцијал \( \varphi = \frac{E_p}{q} = k\frac{q}{r} \); напон \( U = \varphi_1 - \varphi_2 \); у хомогеном пољу \( E = \frac{U}{d} \).
Материјали у пољу: Код диелектрика долази до поларизације и слабљења поља (\( E_d = E/\varepsilon_r \)); код проводника се јавља електростатичка индукција, при чему је у равнотежи \( E = 0 \) унутар проводника, а његова површина је еквипотенцијална.
Кондензатори: Равни кондензатор \( C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \). При паралелној вези капацитети се сабирају (\( C_e = \sum C_i \)), а при редној вези сабирају се реципрочне вредности (\( \frac{1}{C_e} = \sum \frac{1}{C_i} \)).
Енергија поља: \( E_p = \frac{1}{2} C U^2 \); запреминска густина енергије је \( w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \).
Електростатика је део физике који проучава наелектрисана тела која мирују и појаве повезане са њима.
Количина наелектрисања (\(q\)) је физичка величина којом се мери наелектрисаност тела.
Кулон (\(\text{C}\)).
Елементарно наелектрисање (\(e\)) представља најмању количину наелектрисања у природи. То је апсолутна вредност наелектрисања електрона односно протона:
\[ e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \]
\[ q = n \cdot e \quad (n \in \mathbb{N}) \]
Наелектрисање сваког тела је квантовано - целобројни умножак елементарног наелектрисања.
Закон одржања наелектрисања: Укупна количина наелектрисања (алгебарски збир позитивних и негативних елементарних наелектрисања) у изолованом систему остаје непромењена при свим физичким процесима.
Проводници садрже слободне носиоце наелектрисања (у металима слободне електроне) и лако проводе наелектрисање. Изолатори (диелектрици) немају слободна наелектрисања и не проводе електрицитет.
Електроскоп омогућава утврђивање наелектрисаности тела преко размицања листића под дејством одбојне силе истоимених наелектрисања. Електрометар поседује скалу са казаљком и омогућава квантитативно процењивање количине наелектрисања.
Колико елементарних наелектрисања садржи количина наелектрисања од \( 1 \text{ C} \)?
Из релације \( q = n \cdot e \) следи:
\[ n = \frac{q}{e} = \frac{1 \text{ C}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}} \approx 6,25 \cdot 10^{18} \]
Одговор: Наелектрисању од \( 1 \text{ C} \) одговара око \( 6,25 \cdot 10^{18} \) елементарних наелектрисања.
Тачкасто наелектрисање је наелектрисано тело чије се димензије могу занемарити у односу на растојање до других тела са којима интерагује.
Кулонов закон: Интензитет електростатичке силе којом међусобно делују два тачкаста наелектрисања у вакууму директно је сразмеран производу количина њихових наелектрисања, а обрнуто сразмеран квадрату њиховог међусобног растојања:
\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Константа пропорционалности за вакуум (ваздух): \( k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \)
Диелектрична пропустљивост вакуума: \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2} \)
Правац и смер Кулонове силе: Правац силе поклапа се са правом која спаја та тачкаста наелектрисања. Истоимена наелектрисања се одбијају (смер сила је од другог тела), а разноимена се привлаче (смер сила је ка другом телу).
У материјалној средини сила је мања за фактор релативне диелектричне пропустљивости средине \( \varepsilon_r \):
\[ \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 \implies F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{k}{\varepsilon_r}\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Равномерно наелектрисана проводна кугла делује на околна наелектрисања исто као тачкасто наелектрисање исте количине постављено у њеном центру.
Електрично поље је посебан облик материје који постоји у простору око наелектрисаних тела и посредством којег се преноси електростатичко узајамно деловање.
Јачина електричног поља (\(\vec{E}\)) је векторска величина једнака количнику Кулонове силе која делује на позитивно пробно наелектрисање \( q_p \) унето у дату тачку и вредности тог наелектрисања:
\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p} \]
Њутн по кулону (\(\text{N/C}\)) или волт по метру (\(\text{V/m}\)).
Јачина поља тачкастог наелектрисања:
\[ E = k \frac{|q|}{r^2} \]
Поље је усмерено радијално од позитивног наелектрисања (извире), односно ка негативном наелектрисању (увире).
Линије силе: Замишљене линије чије се тангенте у свакој тачки поклапају са вектором јачине поља. Густина линија силе је сразмерна јачини поља.
Хомогено електрично поље је поље које у свим тачкама има исти интензитет, правац и смер (линије силе су паралелне и једнако размакнуте).
Електрични флукс (\(\Phi\)):
\[ \Phi = E S \cos\alpha \]
где је \( S \) површина, а \( \alpha \) угао између вектора поља \( \vec{E} \) и нормале на површину \( \vec{S} \). Јединица: \( [\Phi] = \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}} \).
Електростатичка сила је конзервативна сила - рад при премештању наелектрисања у електричном пољу не зависи од облика путање, већ само од почетног и крајњег положаја:
\[ A = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2} \]
Потенцијална енергија два тачкаста наелектрисања:
\[ E_p = k \frac{q_1 q_2}{r} \]
За истоимена наелектрисања \( E_p > 0 \) (одбојна интеракција), а за разноимена \( E_p < 0 \) (привлачна интеракција).
Електрични потенцијал (\(\varphi\)) је скаларна величина једнака количнику потенцијалне енергије пробног наелектрисања у датој тачки и самог тог наелектрисања:
\[ \varphi = \frac{E_p}{q} \]
Потенцијал поља тачкастог наелектрисања:
\[ \varphi = k \frac{q}{r} \]
Мерна јединица је Волт (\( 1\text{ V} = 1\text{ J}/1\text{ C} \)).
Електрични напон (\(U\)) представља разлику потенцијала између две тачке у пољу и једнак је извршеном раду по јединици наелектрисања:
\[ U = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A}{q} \implies A = q U \]
Веза јачине поља и напона:
\[ E = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta x} \quad \xrightarrow{\text{хомогено поље}} \quad E = \frac{U}{d} \]
Еквипотенцијалне површине су површи на којима све тачке имају исти потенцијал (\(\varphi = \text{const}\)). Линије силе су у свакој тачки нормалне на еквипотенцијалну површину.
Електрични дипол је систем од два једнака тачкаста наелектрисања супротног знака (\(+q\) и \(-q\)) на сталном растојању \(l\).
Диполни момент (\(\vec{p}\)):
\[ \vec{p} = q \vec{l} \]
Вектор \( \vec{p} \) је усмерен од негативног ка позитивном наелектрисању. У спољашњем хомогеном пољу на дипол делује спрег сила који га заокреће тако да се оса дипола постави у смеру линија поља.
У спољашњем пољу долази до поларизације диелектрика (преоријентације молекулских дипола), стварајући унутрашње индуковано поље \( \vec{E}_{ind} \) супротно спољашњем. Јачина резултујућег поља унутар диелектрика опада:
\[ E_d = E - E_{ind} = \frac{E}{\varepsilon_r} \]
Под дејством спољашњег поља долази до електростатичке индукције (прерасподеле слободних електрона). Након успостављања равнотеже:
- Јачина електричног поља унутар проводника једнака је нули (\( E = 0 \)).
- Све тачке проводника су на истом потенцијалу (\( \varphi = \text{const} \)), тј. проводник је еквипотенцијално тело.
- Вишак наелектрисања се распоређује искључиво по спољашњој површини проводника.
Електрични капацитет (\(C\)) је способност проводника или система проводника да акумулира наелектрисање при одређеном потенцијалу/напону.
Фарад (\(\text{F}\)), где је \( 1 \text{ F} = 1 \text{ C/V} \).
Капацитет усамљеног проводника: \( C = \frac{q}{\varphi} \)
Капацитет кондензатора: \( C = \frac{q}{U} \)
Капацитет кондензатора: \( C = \frac{q}{U} \)
Капацитет плочастог кондензатора:
\[ C = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \]
где је \( S \) површина плоча, а \( d \) растојање између њих.
Паралелно везивање кондензатора:
Напон је исти на свим кондензаторима (\( U = \text{const} \)), а укупно наелектрисање је \( q = \sum q_i \): \[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
Напон је исти на свим кондензаторима (\( U = \text{const} \)), а укупно наелектрисање је \( q = \sum q_i \): \[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
Редно везивање кондензатора:
Наелектрисање је исто на свим кондензаторима (\( q = \text{const} \)), а укупан напон је \( U = \sum U_i \): \[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
Наелектрисање је исто на свим кондензаторима (\( q = \text{const} \)), а укупан напон је \( U = \sum U_i \): \[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
Енергија наелектрисаног кондензатора:
\[ E_p = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{q^2}{2 C} \]
Запреминска густина енергије (\(w\)) представља енергију електричног поља садржану у јединици запремине:
\[ w = \frac{E_p}{V} \]
Запреминска густина енергије хомогеног поља:
\[ w = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 \]
Јединица: \( [w] = \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \).
Пошто је унутар шупљег проводника електрично поље једнако нули (\( E = 0 \)), унутрашњост је заштићена од спољашњих електричних поља (принцип Фарадејевог кавеза). Аутомобили и металне конструкције пружају сигурну заштиту од удара грома.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело поседује негативно наелектрисање од \( q = -8 \cdot 10^{-15} \text{ C} \). Колико вишка електрона се налази на овом телу?
Користимо формулу за квантованост наелектрисања:
\[ q = n \cdot (-e) \implies n = \frac{|q|}{e} \]
\[ n = \frac{8 \cdot 10^{-15} \text{ C}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}} = 5 \cdot 10^4 = 50\,000 \]
Одговор: На телу се налази \( 50\,000 \) сувишних електрона.
Задатак 2 (средњи): Два једнака тачкаста наелектрисања \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \text{ C} \) налазе се у вакууму на међусобном растојању од \( r = 6 \text{ cm} \).
а) Коликом силом интерагују ова два тела?
б) Колика је јачина електричног поља на средини дужи која их спаја?
а) Коликом силом интерагују ова два тела?
б) Колика је јачина електричног поља на средини дужи која их спаја?
Растојање претварамо у метре: \( r = 0,06 \text{ m} \).
а) Интензитет Кулонове силе: \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-8} \text{ C})^2}{(0,06 \text{ m})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-16}}{3,6 \cdot 10^{-3}} = 10^{-3} \text{ N} = 1 \text{ mN} \] Пошто су истоимена, сила је одбојна.
б) На средини дужи растојања до оба наелектрисања су једнака (\( r/2 \)), па су интензитети поља \( E_1 \) и \( E_2 \) једнаки. Будући да су оба наелектрисања позитивна, њихови вектори поља имају супротне смерове: \[ \vec{E}_{uk} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \implies E_{uk} = E_1 - E_2 = 0 \] Одговор: а) Сила је одбојна и износи \( 1 \text{ mN} \); б) Јачина електричног поља је \( 0 \text{ N/C} \).
а) Интензитет Кулонове силе: \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-8} \text{ C})^2}{(0,06 \text{ m})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-16}}{3,6 \cdot 10^{-3}} = 10^{-3} \text{ N} = 1 \text{ mN} \] Пошто су истоимена, сила је одбојна.
б) На средини дужи растојања до оба наелектрисања су једнака (\( r/2 \)), па су интензитети поља \( E_1 \) и \( E_2 \) једнаки. Будући да су оба наелектрисања позитивна, њихови вектори поља имају супротне смерове: \[ \vec{E}_{uk} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \implies E_{uk} = E_1 - E_2 = 0 \] Одговор: а) Сила је одбојна и износи \( 1 \text{ mN} \); б) Јачина електричног поља је \( 0 \text{ N/C} \).
Задатак 3 (средњи): Плочасти кондензатор површине плоча \( S = 100 \text{ cm}^2 \) има растојање између плоча \( d = 4,425 \text{ mm} \). Простор између плоча испуњен је вакуумом (\( \varepsilon_r = 1 \)). Кондензатор је прикључен на напон од \( U = 200 \text{ V} \). Израчунати:
а) Електрични капацитет кондензатора;
б) Наелектрисање на његовим облогама;
в) Јачину електричног поља између плоча.
а) Електрични капацитет кондензатора;
б) Наелектрисање на његовим облогама;
в) Јачину електричног поља између плоча.
Подаци: \( S = 100 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2 \), \( d = 4,425 \cdot 10^{-3} \text{ m} \), \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{F}}{\text{m}} \).
а) Капацитет: \[ C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{10^{-2}}{4,425 \cdot 10^{-3}} = 2 \cdot 10^{-11} \text{ F} = 20 \text{ pF} \] б) Наелектрисање: \[ q = C \cdot U = 20 \cdot 10^{-12} \text{ F} \cdot 200 \text{ V} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ C} = 4 \text{ nC} \] в) Јачина поља у хомогеном делу: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{200 \text{ V}}{4,425 \cdot 10^{-3} \text{ m}} \approx 45\,198 \text{ V/m} \] Одговор: а) \( C = 20 \text{ pF} \); б) \( q = 4 \text{ nC} \); в) \( E \approx 45,2 \text{ kV/m} \).
а) Капацитет: \[ C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{10^{-2}}{4,425 \cdot 10^{-3}} = 2 \cdot 10^{-11} \text{ F} = 20 \text{ pF} \] б) Наелектрисање: \[ q = C \cdot U = 20 \cdot 10^{-12} \text{ F} \cdot 200 \text{ V} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ C} = 4 \text{ nC} \] в) Јачина поља у хомогеном делу: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{200 \text{ V}}{4,425 \cdot 10^{-3} \text{ m}} \approx 45\,198 \text{ V/m} \] Одговор: а) \( C = 20 \text{ pF} \); б) \( q = 4 \text{ nC} \); в) \( E \approx 45,2 \text{ kV/m} \).
Задатак 4 (тежак): Кондензатори капацитета \( C_2 = 2\,\mu\text{F} \) и \( C_3 = 4\,\mu\text{F} \) везани су паралелно, а затим је та група везана редно са кондензатором капацитета \( C_1 = 3\,\mu\text{F} \).
а) Одредити еквивалентни капацитет ове мешовите везе;
б) Израчунати укупну акумулирану енергију у систему ако се коло прикључи на напон од \( U = 60 \text{ V} \).
а) Еквивалентни капацитет паралелне гране:
\[ C_{23} = C_2 + C_3 = 2\,\mu\text{F} + 4\,\mu\text{F} = 6\,\mu\text{F} \]
Еквивалентни капацитет целог кола (редна веза \( C_1 \) и \( C_{23} \)):
\[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{3\,\mu\text{F}} + \frac{1}{6\,\mu\text{F}} = \frac{2 + 1}{6\,\mu\text{F}} = \frac{3}{6\,\mu\text{F}} = \frac{1}{2\,\mu\text{F}} \implies C_e = 2\,\mu\text{F} \]
б) Укупна енергија батерије кондензатора: \[ E_p = \frac{1}{2} C_e U^2 = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ F}) \cdot (60 \text{ V})^2 = 10^{-6} \cdot 3600 = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ J} = 3,6 \text{ mJ} \] Одговор: а) \( C_e = 2\,\mu\text{F} \); б) \( E_p = 3,6 \text{ mJ} \).
а) Одредити еквивалентни капацитет ове мешовите везе;
б) Израчунати укупну акумулирану енергију у систему ако се коло прикључи на напон од \( U = 60 \text{ V} \).
б) Укупна енергија батерије кондензатора: \[ E_p = \frac{1}{2} C_e U^2 = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ F}) \cdot (60 \text{ V})^2 = 10^{-6} \cdot 3600 = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ J} = 3,6 \text{ mJ} \] Одговор: а) \( C_e = 2\,\mu\text{F} \); б) \( E_p = 3,6 \text{ mJ} \).
