Најважније из лекције
Енергија мировања: Свако тело масе \(m\) поседује енергију \(E_0 = mc^2\). Маса и енергија су еквивалентне.
Укупна релативистичка енергија и импулс: \(E = E_0 + T = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), док је импулс \(\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{E}{c^2}\vec{v}\).
Основна инваријантна веза: \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\) омогућава повезивање енергије и импулса без експлицитног рачунања брзине честице.
Закони одржања: За изолован систем честица строго важе закон одржања укупног релативистичког импулса (\(\sum \vec{p}_i = \text{const.}\)) и закон одржања укупне енергије (\(\sum (E_{0i} + T_i) = \text{const.}\)), док се маса може претварати у кинетичку енергију и обратно.
Укупна релативистичка енергија и импулс: \(E = E_0 + T = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), док је импулс \(\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{E}{c^2}\vec{v}\).
Основна инваријантна веза: \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\) омогућава повезивање енергије и импулса без експлицитног рачунања брзине честице.
Закони одржања: За изолован систем честица строго важе закон одржања укупног релативистичког импулса (\(\sum \vec{p}_i = \text{const.}\)) и закон одржања укупне енергије (\(\sum (E_{0i} + T_i) = \text{const.}\)), док се маса може претварати у кинетичку енергију и обратно.
Енергија мировања (\(E_0\)) је унутрашња енергија коју свако тело поседује искључиво на основу своје масе \(m\), независно од кретања или интеракције са другим телима.
\[ E_0 = mc^2 \]
\(m\) – маса тела (честице), \(c\) – брзина светлости у вакууму (\(c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\))
Електрон-волт (\(\text{eV}\)) је јединица за енергију у физици честица. Једнака је кинетичкој енергији коју електрон добије убрзавањем кроз разлику потенцијала од \(1\text{ V}\):
\[ 1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J}, \quad 1\text{ keV} = 10^3\text{ eV}, \quad 1\text{ MeV} = 10^6\text{ eV}, \quad 1\text{ GeV} = 10^9\text{ eV}, \quad 1\text{ TeV} = 10^{12}\text{ eV} \]
Енергије мировања најчешћих субатомских честица:
\[ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Честица} & \textbf{Ознака} & \textbf{Енергија мировања } (E_0) \\ \hline \text{Електрон} & e^- & 511\text{ keV} \approx 0{,}511\text{ MeV} \\ \hline \text{Протон} & p^+ & 938{,}27\text{ MeV} \\ \hline \text{Неутрон} & n & 939{,}57\text{ MeV} \\ \hline \end{array} \]
У релативистичкој физици закон одржања масе не важи као самосталан закон. Маса и енергија се могу трансформисати једна у другу: део масе може прећи у кинетичку енергију, а из енергије могу настати нове честице са сопственим масама.
Укупна релативистичка енергија честице која се креће брзином \(v\) је збир њене енергије мировања и кинетичке енергије:
\[ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = E_0 + T \]
\(E\) – укупна енергија, \(E_0 = mc^2\) – енергија мировања, \(T\) – кинетичка енергија
\[ T = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) = E - E_0 \]
Кинетичка енергија честице у специјалној теорији релативности
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{E}{c^2}\vec{v} \]
Релативистички импулс честице
Веза између укупне енергије, енергије мировања и импулса:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2c^2 \implies p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \]
Веза између импулса и кинетичке енергије:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \]
За честицу чија је укупна енергија знатно већа од енергије мировања (\(E \gg E_0\)), њена брзина је изузетно блиска брзини светлости, па важи апроксимација:
\[ 1 - \frac{v}{c} \approx \frac{E_0^2}{2E^2} \]
Закон одржања импулса: Укупан импулс изолованог физичког система честица је константан у времену.
\[ \sum_{i=1}^n \vec{p}_i = \text{const.} \iff \sum_{i=1}^n \frac{m_i \vec{v}_i}{\sqrt{1 - \frac{v_i^2}{c^2}}} = \text{const.} \]
Ако се честица пре распада налазила у стању мировања (\(\vec{p}_{\text{пре}} = 0\)), након спонтаног распада на две честице, њихови импулси морају бити једнаких интензитета, истог правца и супротних смерова:
\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0 \implies p_1 = p_2 \]
Закон одржања укупне енергије: Укупна енергија изолованог система честица једнака је збиру свих енергија мировања и свих кинетичких енергија свих честица у систему и она остаје непромењена током времена.
\[ \sum_{i=1}^n E_i = \sum_{i=1}^n E_{0i} + \sum_{i=1}^n T_i = \text{const.} \]
Код распада нестабилне честице која мирује (\(M \to m_1 + m_2\)):
- Поставити закон одржања импулса: \(p_1 = p_2 = p\).
- Изразити укупну енергију пре распада: \(E_{\text{пре}} = E_{0M} = M c^2\).
- Изразити укупну енергију након распада: \(E_{\text{после}} = E_1 + E_2 = (E_{01} + T_1) + (E_{02} + T_2)\).
- Изједначити енергије пре и после процеса: \(E_{0M} = E_{01} + E_{02} + T_1 + T_2\).
Задаци за вежбање
1. (Лаки ниво) Изразити енергију мировања електрона (\(E_0 = 511\text{ keV}\)) у џулима (\(\text{J}\)).
Поступак:
Знамо да је \(1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J}\), а \(1\text{ keV} = 10^3\text{ eV}\). \[ E_0 = 511\text{ keV} = 511 \cdot 10^3\text{ eV} = 5{,}11 \cdot 10^5 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} \] \[ E_0 = 8{,}176 \cdot 10^{-14}\text{ J} \] Одговор: Енергија мировања електрона износи \(8{,}18 \cdot 10^{-14}\text{ J}\).
Знамо да је \(1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J}\), а \(1\text{ keV} = 10^3\text{ eV}\). \[ E_0 = 511\text{ keV} = 511 \cdot 10^3\text{ eV} = 5{,}11 \cdot 10^5 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} \] \[ E_0 = 8{,}176 \cdot 10^{-14}\text{ J} \] Одговор: Енергија мировања електрона износи \(8{,}18 \cdot 10^{-14}\text{ J}\).
2. (Средњи ниво) Нека честица се креће брзином \(v\) тако да јој је кинетичка енергија једнака енергији мировања (\(T = E_0\)). Одредити:
а) Брзину честице \(v\) у функцији брзине светлости \(c\);
б) Релативистички импулс честице изражен преко \(E_0\) и \(c\).
а) Брзину честице \(v\) у функцији брзине светлости \(c\);
б) Релативистички импулс честице изражен преко \(E_0\) и \(c\).
Поступак:
а) Укупна енергија је \(E = E_0 + T = E_0 + E_0 = 2E_0\).
Како је \(E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), следи: \[ \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2E_0 \implies \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \] Квадрирањем: \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c \]
б) Користећи везу \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\): \[ p^2c^2 = E^2 - E_0^2 = (2E_0)^2 - E_0^2 = 4E_0^2 - E_0^2 = 3E_0^2 \] \[ p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c} \] Одговор: Брзина честице је \(v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c\), а импулс \(p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c}\).
а) Укупна енергија је \(E = E_0 + T = E_0 + E_0 = 2E_0\).
Како је \(E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), следи: \[ \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2E_0 \implies \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \] Квадрирањем: \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c \]
б) Користећи везу \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\): \[ p^2c^2 = E^2 - E_0^2 = (2E_0)^2 - E_0^2 = 4E_0^2 - E_0^2 = 3E_0^2 \] \[ p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c} \] Одговор: Брзина честице је \(v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c\), а импулс \(p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c}\).
3. (Напредни ниво) Нестабилни позитивни пион (\(\pi^+\)) енергије мировања \(E_{0\pi} = 140\text{ MeV}\) мирује у лабораторијском систему референце, а затим се спонтано распада на мион (\(\mu^+\)) чија је енергија мировања \(E_{0\mu} = 106\text{ MeV}\) и неутрино (\(\nu\)) чију енергију мировања занемарујемо (\(E_{0\nu} \approx 0\)). Израчунати кинетичку енергију насталог неутрина \(T_\nu\).
Поступак:
1. Из закона одржања импулса, пошто пион мирује (\(p_\pi = 0\)): \[ p_\nu = p_\mu = p \] За честицу занемарљиве масе (неутрино): \(E_\nu = T_\nu = pc \implies p^2c^2 = T_\nu^2\).
2. За мион важи: \[ E_\mu^2 = E_{0\mu}^2 + p^2c^2 = E_{0\mu}^2 + T_\nu^2 \implies E_\mu = \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} \]
3. Из закона одржања укупне енергије: \[ E_{0\pi} = E_\mu + E_\nu = \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} + T_\nu \] \[ \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} = E_{0\pi} - T_\nu \] Квадрирањем обе стране: \[ E_{0\mu}^2 + T_\nu^2 = E_{0\pi}^2 - 2E_{0\pi}T_\nu + T_\nu^2 \] \[ 2E_{0\pi}T_\nu = E_{0\pi}^2 - E_{0\mu}^2 \implies T_\nu = \frac{E_{0\pi}^2 - E_{0\mu}^2}{2E_{0\pi}} \]
4. Заменом бројних вредности: \[ T_\nu = \frac{140^2 - 106^2}{2 \cdot 140} = \frac{19600 - 11236}{280} = \frac{8364}{280} \approx 29{,}87\text{ MeV} \] Одговор: Кинетичка енергија неутрина износи приближно \(29{,}87\text{ MeV}\).
1. Из закона одржања импулса, пошто пион мирује (\(p_\pi = 0\)): \[ p_\nu = p_\mu = p \] За честицу занемарљиве масе (неутрино): \(E_\nu = T_\nu = pc \implies p^2c^2 = T_\nu^2\).
2. За мион важи: \[ E_\mu^2 = E_{0\mu}^2 + p^2c^2 = E_{0\mu}^2 + T_\nu^2 \implies E_\mu = \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} \]
3. Из закона одржања укупне енергије: \[ E_{0\pi} = E_\mu + E_\nu = \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} + T_\nu \] \[ \sqrt{E_{0\mu}^2 + T_\nu^2} = E_{0\pi} - T_\nu \] Квадрирањем обе стране: \[ E_{0\mu}^2 + T_\nu^2 = E_{0\pi}^2 - 2E_{0\pi}T_\nu + T_\nu^2 \] \[ 2E_{0\pi}T_\nu = E_{0\pi}^2 - E_{0\mu}^2 \implies T_\nu = \frac{E_{0\pi}^2 - E_{0\mu}^2}{2E_{0\pi}} \]
4. Заменом бројних вредности: \[ T_\nu = \frac{140^2 - 106^2}{2 \cdot 140} = \frac{19600 - 11236}{280} = \frac{8364}{280} \approx 29{,}87\text{ MeV} \] Одговор: Кинетичка енергија неутрина износи приближно \(29{,}87\text{ MeV}\).
