Најважније из лекције
Закони зрачења црног тела: Штефан-Болцманов закон (\(E = \sigma T^4\)), Винов закон померања (\(\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}\)) и Планков квантни закон зрачења основе су квантне теорије светлости.
Фотоелектрични ефекат: Објашњава се фотонском природом светлости (\(h\nu = A_i + E_k\)); зауставни напон \(e V_z = E_k\) не зависи од јачине већ од фреквенције светлости.
Комптонов ефекат: Расејање фотона на електрону праћено је повећањем таласне дужине (\(\Delta\lambda = 2\lambda_C \sin^2 \frac{\theta}{2}\)), што директно доказује честични импулс фотона (\(p = \frac{h}{\lambda}\)).
Корпускуларно-таласни дуализам: Светлост је јединствен физички ентитет који истовремено поседује и таласне (\(\nu, \lambda\)) и честичне (\(E, p\)) особине, при чему су оне нераскидиво повезане преко Планкове константе (\(E = h\nu\), \(p = \frac{h}{\lambda}\)).
Фотоелектрични ефекат: Објашњава се фотонском природом светлости (\(h\nu = A_i + E_k\)); зауставни напон \(e V_z = E_k\) не зависи од јачине већ од фреквенције светлости.
Комптонов ефекат: Расејање фотона на електрону праћено је повећањем таласне дужине (\(\Delta\lambda = 2\lambda_C \sin^2 \frac{\theta}{2}\)), што директно доказује честични импулс фотона (\(p = \frac{h}{\lambda}\)).
Корпускуларно-таласни дуализам: Светлост је јединствен физички ентитет који истовремено поседује и таласне (\(\nu, \lambda\)) и честичне (\(E, p\)) особине, при чему су оне нераскидиво повезане преко Планкове константе (\(E = h\nu\), \(p = \frac{h}{\lambda}\)).
Емисиона и апсорпциона моћ: Укупна емисиона моћ тела \(E = \frac{P}{\Delta S}\) представља снагу израчену по јединици површине, док је спектрална емисиона моћ \(e_\lambda = \frac{\Delta W}{\Delta S \Delta t \Delta \lambda}\). Апсорпциона моћ \(A = \frac{W_A}{W_U}\) представља однос апсорбоване и укупне упадне енергије.
Апсолутно црно тело потпуно апсорбује целокупно упадно електромагнетно зрачење свих таласних дужина (\(A_{\text{act}} = 1\)).
Кирхофов закон: Однос спектралне емисионе и апсорпционе моћи исти је за сва тела на истој температури и једнак је емисионој моћи апсолутно црног тела:
\[ \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = e_\lambda^{\text{act}} = f(\lambda, T) \]
Штефан-Болцманов закон:
\[ E = \sigma T^4 \quad \left(\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4}\right) \]
Укупна емисиона моћ апсолутно црног тела пропорционална је четвртом степену апсолутне температуре.
Винов закон померања:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \quad \left(b \approx 2{,}90 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\cdot\text{K}\right) \]
Таласна дужина којој одговара максимум спектралне емисионе моћи обрнуто је пропорционална апсолутној температури.
Планков закон зрачења:
\[ e_\lambda = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}} - 1} \]
Описује спектар зрачења апсолутно црног тела на основу квантне хипотезе о дискретним порцијама енергије \(E = h\nu\).
Фотоелектрични ефекат је појава емисије електрона са површине материјала (најчешће метала) под дејством електромагнетног зрачења.
Ајнштајнова једначина фотоефекта:
\[ h\nu = A_i + E_k \quad \text{односно} \quad h\nu = A_i + \frac{m_e v_{\text{max}}^2}{2} \]
Енергија упадног фотона троши се на излазни рад \(A_i\) (рад потребан за ослобађање електрона) и на максималну кинетичку енергију емитованог електрона \(E_k\).
Црвена граница фотоефекта: Најмања фреквенција \(\nu_{\text{min}}\), односно највећа таласна дужина \(\lambda_{\text{max}}\) која још увек може изазвати фотоефекат:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A_i}, \quad \nu_{\text{min}} = \frac{A_i}{h} \]
Зауставни напон (\(V_z\)): Најмања вредност инверзног напона при којој фотоструја опада на нулу. Директно одређује кинетичку енергију најбржих фотоелектрона:
\[ e V_z = E_{k,\text{max}} \]
Зауставни напон зависи искључиво од фреквенције светлости и излазног рада материјала, а не зависи од интензитета светлости.
Фотон: Елементарна честица (квант) електромагнетног зрачења. Његова маса мировања је једнака нули (\(m_0 = 0\)), а креће се брзином светлости \(c\).
Енергија и импулс фотона:
\[ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad p_f = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \]
Притисак светлости:
\[ p = (1 + R)\frac{I}{c} \]
где је \(I\) интензитет светлости, а \(R\) коефицијент рефлексије површине (\(R = 0\) за потпуну апсорпцију, \(R = 1\) за потпуну рефлексију).
Комптонов ефекат: Појава расејања краткоталасног електромагнетног зрачења (рендгенско и \(\gamma\)-зрачење) на слободним или слабо везаним електронима, при чему долази до повећања таласне дужине расејаног фотона.
Промена таласне дужине (Комптонов помак):
\[ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = 2\lambda_C \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) \]
где је \(\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2{,}42 \cdot 10^{-12} \, \text{m} = 2{,}42 \, \text{pm}\) Комптонова таласна дужина електрона, а \(\theta\) угао расејања.
Промена таласне дужине \(\Delta\lambda\) зависи само од угла расејања \(\theta\), а не зависи од супстанце на којој се расејање врши. Максимално повећање је \(\Delta\lambda_{\text{max}} = 2\lambda_C\) за расејање уназад (\(\theta = 180^\circ\)).
Дуализам: Светлост и електромагнетно зрачење истовремено поседују и таласна и честична (корпускуларна) својства. Опис зависи од процеса и услова у којима се зрачење посматра.
Испољавање особина у спектру:
- Веће таласне дужине (радио-таласи, инфрацрвено): испољавају доминантно таласне особине (интерференција, дифракција, поларизација).
- Мале таласне дужине (рендгенско, гама зрачење): испољавају доминантно честичне особине (фотоелектрични ефекат, Комптонов ефекат).
- Видљива светлост: налази се између ових области и лако испољава обе врсте својстава.
Веза честичних и таласних карактеристика:
\[ E = h\nu = \hbar\omega, \qquad \vec{p}_f = \hbar \vec{k} = \frac{h}{\lambda}\vec{e}_k \]
Планкова константа \(h\) (односно редукована константа \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)) директно повезује енергију и импулс (честичне величине) са фреквенцијом и таласним вектором (таласне величине).
Што је већи број фотона који учествује у креирању слике, то је расподела сличнија непрекидним предвиђањима класичне таласне физике. Због огромног броја фотона у макроскопским појавама, квантна структура светлости дуго није била уочена.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Израчунати енергију и импулс фотона видљиве светлости таласне дужине \(\lambda = 600 \, \text{nm}\). (\(h \approx 6{,}63 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}\)).
Енергија фотона рачуна се по формули:
\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s} \cdot 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{600 \cdot 10^{-9} \, \text{m}} = 3{,}315 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \approx 2{,}07 \, \text{eV} \]
Импулс фотона:
\[ p_f = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}}{600 \cdot 10^{-9} \, \text{m}} = 1{,}105 \cdot 10^{-27} \, \text{kg}\cdot\text{m/s} \]
Задатак 2 (Средње): Излазни рад електрона из неког метала износи \(A_i = 2{,}4 \, \text{eV}\). Одредити црвену границу фотоефекта \(\lambda_{\text{max}}\) за тај метал и максималну кинетичку енергију емитованих електрона ако се површина обасја фотонима енергије \(E = 4{,}0 \, \text{eV}\).
1. Претварање излазног рада у џуле: \(A_i = 2{,}4 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{J} = 3{,}84 \cdot 10^{-19} \, \text{J}\).
Црвена граница фотоефекта је: \[ \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A_i} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3{,}84 \cdot 10^{-19}} \approx 5{,}18 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 518 \, \text{nm} \] 2. Према Ајнштајновој једначини, кинетичка енергија је: \[ E_k = h\nu - A_i = 4{,}0 \, \text{eV} - 2{,}4 \, \text{eV} = 1{,}6 \, \text{eV} = 2{,}56 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \]
Црвена граница фотоефекта је: \[ \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A_i} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3{,}84 \cdot 10^{-19}} \approx 5{,}18 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 518 \, \text{nm} \] 2. Према Ајнштајновој једначини, кинетичка енергија је: \[ E_k = h\nu - A_i = 4{,}0 \, \text{eV} - 2{,}4 \, \text{eV} = 1{,}6 \, \text{eV} = 2{,}56 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \]
Задатак 3 (Тешко): Фотон рендгенског зрачења таласне дужине \(\lambda = 0{,}02 \, \text{nm}\) расејава се на слободном електрону под углом од \(\theta = 90^\circ\). Одредити таласну дужину расејаног фотона \(\lambda'\) и кинетичку енергију коју је при судару предао електрону.
1. Промена таласне дужине услед Комптоновог ефекта за \(\theta = 90^\circ\) (\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)):
\[ \Delta\lambda = 2\lambda_C \sin^2(45^\circ) = 2 \cdot 2{,}42 \, \text{pm} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 2{,}42 \, \text{pm} = 0{,}00242 \, \text{nm} \]
Таласна дужина након расејања:
\[ \lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 0{,}02 \, \text{nm} + 0{,}00242 \, \text{nm} = 0{,}02242 \, \text{nm} = 22{,}42 \, \text{pm} \]
2. Кинетичка енергија предата електрону једнака је разлици енергија фотона пре и после судара:
\[ E_k = E - E' = hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda \lambda'} \]
\[ E_k = (6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8) \cdot \frac{0{,}00242 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02 \cdot 10^{-9}) \cdot (0{,}02242 \cdot 10^{-9})} \approx 1{,}073 \cdot 10^{-15} \, \text{J} \approx 6{,}7 \, \text{keV} \]
