Најважније из лекције
Топлотно зрачење: Електромагнетни таласи које тела емитују на рачун унутрашње енергије. За систем важи енергетски биланс \( a_R + a_A + a_T = 1 \).
Закони зрачења АЦТ:
Закони зрачења АЦТ:
- Кирхофов: \( \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = e_\lambda^{act} \) (добар апсорбер је и добар емитер).
- Штефан–Болцманов: \( E = \sigma T^4 \) (зрачена снага расте са четвртим степеном температуре).
- Винов: \( \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \) (са порастом температуре, врх зрачења клизи ка краћим таласним дужинама).
- Планков: \( E = h\nu \), зрачење се емитује у квантима чиме је уклоњена ултравиолетна катастрофа.
- Фотоефекат: \( h\nu = A_i + T_{\text{max}} \), црвена граница \( \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A_i} \).
- Карактеристике фотона: маса мировања \( m_0 = 0 \), енергија \( E = h\nu \), импулс \( p = \frac{h}{\lambda} \).
- Притисак светлости: \( p = (1 + R)\frac{I}{c} \).
- Комптонов ефекат: \( \Delta\lambda = 2\lambda_C \sin^2 \frac{\theta}{2} \), потврђује судар фотона и електрона као еластичан судар две честице.
Топлотно зрачење је емисија електромагнетних таласа са површине тела на рачун његове унутрашње енергије. За разлику од провођења (кондукције) и струјања (конвекције), топлотно зрачење се простире и кроз вакуум.
Када електромагнетно зрачење падне на неко тело, укупна снага зрачења \( P_U \) се дели на рефлектовани (\( P_R \)), апсорбовани (\( P_A \)) и пропуштени део (\( P_T \)):
\[ P_U = P_R + P_A + P_T \implies a_R + a_A + a_T = 1 \]
где су \( a_R \), \( a_A \) и \( a_T \) коефицијенти рефлексије, апсорпције и транспаренције.
\[ E = \frac{W}{\Delta S \Delta t} = \frac{P}{\Delta S} \]
\( E \) – укупна (интегрална) емисиона моћ: енергија коју тело емитује са јединичне површине у јединици времена (јединица: \(\text{W}/\text{m}^2\)).
\[ e_\lambda = \frac{\Delta W}{\Delta S \Delta t \Delta \lambda} \]
\( e_\lambda \) – спектрална емисиона моћ: емисиона моћ у уском интервалу таласних дужина \( (\lambda, \lambda + \Delta \lambda) \).
\[ A = \frac{W_A}{W_U}, \quad a_\lambda = \frac{W_{\lambda A}}{W_{\lambda U}} \]
\( A \) – апсорпциона моћ тела; \( a_\lambda \) – спектрална апсорпциона моћ.
Апсолутно црно тело (АЦТ) је идеализовано тело које потпуно апсорбује целокупно електромагнетно зрачење које падне на њега, без обзира на таласну дужину и упадни угао. Његова апсорпциона моћ је максимална и износи \( A_{act} = 1 \).
Добар лабораторијски модел апсолутно црног тела представља шупља сфера са малим отвором. Зрачење које уђе кроз отвор вишеструко се рефлектује о унутрашње зидове и практично у потпуности апсорбује пре него што би могло да изађе напоље.
Кирхофов закон зрачења: Однос спектралне емисионе моћи и спектралне апсорпционе моћи исти је за сва тела на истој температури, зависи само од таласне дужине и температуре, и једнак је спектралној емисионој моћи апсолутно црног тела:
\[ \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = f(\lambda, T) = e_\lambda^{act} \]
Из Кирхофовог закона следи да су тела која добро апсорбују зрачење на одређеној таласној дужини истовремено и добри емитери на тој истој таласној дужини.
Штефан–Болцманов закон: Укупна емисиона моћ апсолутно црног тела сразмерна је четвртом степену његове апсолутне температуре:
\[ E = \sigma T^4 \]
Штефан–Болцманова константа износи: \( \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \).
Винов закон померања: Таласна дужина \( \lambda_{\text{max}} \) на којој апсолутно црно тело емитује максималну количину енергије обрнуто је сразмерна његовој апсолутној температури:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \]
Винова константа износи: \( b = 2{,}9 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\cdot\text{K} \).
Повишењем температуре тела, максимум спектралне емисионе моћи се помера ка краћим таласним дужинама (вишим фреквенцијама), а укупна израчена енергија (површина испод криве \( e_\lambda(\lambda) \)) нагло расте.
Класична физика није могла да објасни спектар зрачења апсолутно црног тела: Рејли–Џинсов закон је предвиђао бесконачну енергију на малим таласним дужинама („ултравиолетна катастрофа”), док Винов закон зрачења није важио за велике таласне дужине.
Планкова квантна хипотеза (1900): Атоми и молекули зидова црног тела не емитују и не апсорбују енергију непрекидно, већ у дискретним износима – квантима енергије.
\[ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \]
Енергија једног кванта (фотона), где је \( h = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s} \) Планкова константа, \( \nu \) фреквенција, а \( c \) брзина светлости.
Планков закон зрачења: Тачно описује спектралну емисиону моћ апсолутно црног тела у целом распону таласних дужина:
\[ e_\lambda = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}} - 1} \]
За мале таласне дужине (\( \lambda \to 0 \)) Планков закон прелази у Винов закон зрачења, а за велике таласне дужине (\( \lambda \to \infty \)) прелази у Рејли–Џинсов закон.
Фотоелектрични ефекат (фотоефекат) је појава емисије електрона са површине метала под дејством електромагнетног зрачења.
1. Постоји црвена граница фотоефекта (минимална фреквенција \( \nu_{\text{min}} \), односно максимална таласна дужина \( \lambda_{\text{max}} \)) испод које фотоефекат не настаје.
2. Емисија електрона је тренутна, без мерљивог кашњења чак и при веома малим интензитетима светлости.
3. Максимална кинетичка енергија емитованих електрона и зауставни напон \( U_z \) зависе искључиво од фреквенције упадне светлости, а не од њеног интензитета.
4. Струја засићења сразмерна је интензитету упадне светлости (броју фотона који падају у јединици времена).
2. Емисија електрона је тренутна, без мерљивог кашњења чак и при веома малим интензитетима светлости.
3. Максимална кинетичка енергија емитованих електрона и зауставни напон \( U_z \) зависе искључиво од фреквенције упадне светлости, а не од њеног интензитета.
4. Струја засићења сразмерна је интензитету упадне светлости (броју фотона који падају у јединици времена).
\[ h\nu = A_i + T_{\text{max}} \]
Ајнштајнова једначина фотоефекта: Енергија упадног фотона троши се на излазни рад \( A_i \) и максималну кинетичку енергију избијеног електрона \( T_{\text{max}} \).
\[ \nu_{\text{min}} = \frac{A_i}{h}, \quad \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A_i}, \quad e U_z = T_{\text{max}} \]
Релације за црвену границу фотоефекта и зауставни напон.
Фотон је квант електромагнетног зрачења. Увек се креће брзином светлости \( c \), а маса мировања му је једнака нули (\( m_0 = 0 \)).
\[ E_f = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \quad p_f = \frac{E_f}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \]
Векторски запис импулса фотона: \( \vec{p}_f = \hbar \vec{k} \), где је \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) редукована Планкова константа, а \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) таласни број.
Притисак светлости: Настаје услед предаје импулса фотона осветљеној површини:
\[ p = (1 + R)\frac{I}{c} \]
где је \( I \) интензитет светлости, а \( R \) коефицијент рефлексије површине:
- За потпуну апсорпцију (\( R = 0 \)): \( p = \frac{I}{c} \)
- За потпуну рефлексију (\( R = 1 \)): \( p = \frac{2I}{c} \)
Комптонов ефекат је појава расејања краткоталасног електромагнетног зрачења (рендгенских или гама-зрака) на слободним (слабо везаним) електронима супстанце, при чему долази до повећања таласне дужине расејаног зрачења.
\[ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = 2\lambda_C \sin^2 \frac{\theta}{2} \]
где је \( \theta \) угао расејања фотона, а \( \lambda_C \) Комптонова таласна дужина електрона.
\[ \lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2{,}426 \cdot 10^{-12} \, \text{m} = 2{,}426 \, \text{pm} \]
Максимална промена таласне дужине добија се при расејању уназад (\( \theta = 180^\circ \)): \( \Delta\lambda_{\text{max}} = 2\lambda_C \approx 4{,}85 \, \text{pm} \). Електрон не може потпуно да апсорбује слободан фотон услед истовременог важења закона одржања енергије и импулса.
Корпускуларно-таласни дуализам: Електромагнетно зрачење поседује истовремено и таласна и честична својства. Таласна својства (интерференција, дифракција) долазе до изражаја на већим таласним дужинама, док честична својства (фотоефекат, Комптонов ефекат) доминирају на малим таласним дужинама и високим енергијама.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Максимум спектралне емисионе моћи зрачења једне звезде налази се на таласној дужини \( \lambda_{\text{max}} = 580 \, \text{nm} \). Сматрајући да звезда зрачи као апсолутно црно тело, израчунајте температуру њене површине.
Према Виновом закону померања:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \implies T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}} \]
Уврштавањем вредности:
\[ T = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\cdot\text{K}}{580 \cdot 10^{-9} \, \text{m}} = 5000 \, \text{K} \]
Одговор: Температура површине звезде је \( 5000 \, \text{K} \).
Задатак 2 (средњи): Излазни рад електрона из цинка износи \( A_i = 3{,}7 \, \text{eV} \). Површина цинка је осветљена ултраљубичастим зрачењем таласне дужине \( \lambda = 200 \, \text{nm} \). Одредити:
а) максималну кинетичку енергију избијених фотоелектрона у електронволтима (\(\text{eV}\)),
б) вредност зауставног напона \( U_z \).
(Узети: \( h = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s} \), \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \), \( 1 \, \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \))
а) максималну кинетичку енергију избијених фотоелектрона у електронволтима (\(\text{eV}\)),
б) вредност зауставног напона \( U_z \).
(Узети: \( h = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s} \), \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \), \( 1 \, \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \))
Енергија упадног фотона је:
\[ E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{200 \cdot 10^{-9}} \, \text{J} = 9{,}945 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \]
У електронволтима:
\[ E_f = \frac{9{,}945 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \, \text{eV} \approx 6{,}215 \, \text{eV} \]
а) Из Ајнштајнове једначине фотоефекта:
\[ T_{\text{max}} = E_f - A_i = 6{,}215 \, \text{eV} - 3{,}7 \, \text{eV} = 2{,}515 \, \text{eV} \]
б) Зауставни напон је повезан са максималном кинетичком енергијом релацијом \( e U_z = T_{\text{max}} \):
\[ U_z = \frac{T_{\text{max}}}{e} = \frac{2{,}515 \, \text{eV}}{e} = 2{,}515 \, \text{V} \]
Одговор: Кинетичка енергија фотоелектрона је \( 2{,}515 \, \text{eV} \), а зауставни напон је \( 2{,}515 \, \text{V} \).
Задатак 3 (средњи): Колико пута се повећа укупна емисиона моћ апсолутно црног тела ако се његова апсолутна температура повећа са \( T_1 = 1500 \, \text{K} \) на \( T_2 = 3000 \, \text{K} \)? Како се при томе мења таласна дужина \( \lambda_{\text{max}} \)?
Према Штефан–Болцмановом закону:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = \left(\frac{3000}{1500}\right)^4 = 2^4 = 16 \]
Укупна емисиона моћ се повећава 16 пута.
Према Виновом закону померања: \[ \frac{\lambda_{\text{max},2}}{\lambda_{\text{max},1}} = \frac{b / T_2}{b / T_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{1500}{3000} = \frac{1}{2} \] Таласна дужина максималне емисионе моћи се смањи за 2 пута.
Одговор: Емисиона моћ расте 16 пута, а \( \lambda_{\text{max}} \) се преполови.
Према Виновом закону померања: \[ \frac{\lambda_{\text{max},2}}{\lambda_{\text{max},1}} = \frac{b / T_2}{b / T_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{1500}{3000} = \frac{1}{2} \] Таласна дужина максималне емисионе моћи се смањи за 2 пута.
Одговор: Емисиона моћ расте 16 пута, а \( \lambda_{\text{max}} \) се преполови.
Задатак 4 (тежак): Рендгенски фотон таласне дужине \( \lambda = 2{,}4 \, \text{pm} \) расејава се на слободном електрону који мирује под углом од \( \theta = 60^\circ \). Одредити таласну дужину расејаног фотона \( \lambda' \) и кинетичку енергију коју је при судару примио електрон. (\( \lambda_C = 2{,}42 \, \text{pm} \))
1. Промена таласне дужине услед Комптоновог расејања:
\[ \Delta\lambda = 2\lambda_C \sin^2\frac{\theta}{2} = 2 \cdot 2{,}42 \, \text{pm} \cdot \sin^2 30^\circ = 2 \cdot 2{,}42 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2{,}42}{2} = 1{,}21 \, \text{pm} \]
Таласна дужина након расејања:
\[ \lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 2{,}4 \, \text{pm} + 1{,}21 \, \text{pm} = 3{,}61 \, \text{pm} \]
2. Кинетичка енергија предата електрону једнака је разлици енергија фотона пре и после расејања:
\[ T_e = E - E' = hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = hc\frac{\lambda' - \lambda}{\lambda \lambda'} \]
\[ T_e = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \frac{1{,}21 \cdot 10^{-12}}{(2{,}4 \cdot 10^{-12}) \cdot (3{,}61 \cdot 10^{-12})} \approx 2{,}77 \cdot 10^{-14} \, \text{J} \approx 173 \, \text{keV} \]
Одговор: Таласна дужина расејаног фотона је \( 3{,}61 \, \text{pm} \), а кинетичка енергија електрона износи око \( 173 \, \text{keV} \).
