Најважније из лекције
Боров модел: Момент импулса (\(L = n\hbar\)), брзина (\(v_n \propto \frac{Z}{n}\)), полупречник (\(r_n \propto \frac{n^2}{Z}\)) и енергија (\(E_n = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot 13,6\text{ eV}\)) су квантовани. Прелази електрона дају линијски спектар према формули \(\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)\).
Вишеелектронски атоми: Стање електрона одређено је са 4 квантна броја \((n, l, m_l, m_s)\). Паулијев принцип искључења забрањује да два фермиона имају исто квантно стање, омогућавајући највише \(2(2l+1)\) електрона у подљусци и \(2n^2\) електрона у целој љусци.
Рендгенско зрачење: Састоји се од закочног зрачења са континуалним спектром и оштром границом \(\lambda_{min} = \frac{hc}{eU}\) и карактеристичног зрачења (линијског) које описује Мозлијев закон: \(\frac{1}{\lambda} = R(Z-\sigma)^2\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\).
Вишеелектронски атоми: Стање електрона одређено је са 4 квантна броја \((n, l, m_l, m_s)\). Паулијев принцип искључења забрањује да два фермиона имају исто квантно стање, омогућавајући највише \(2(2l+1)\) електрона у подљусци и \(2n^2\) електрона у целој љусци.
Рендгенско зрачење: Састоји се од закочног зрачења са континуалним спектром и оштром границом \(\lambda_{min} = \frac{hc}{eU}\) и карактеристичног зрачења (линијског) које описује Мозлијев закон: \(\frac{1}{\lambda} = R(Z-\sigma)^2\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\).
Први Боров постулат (стационарна стања): Електрони се око језгра крећу само по одређеним стационарним (незрачећим) путањама. Док се налази на таквој орбити, електрон не емитује електромагнетно зрачење.
Други Боров постулат (квантовање момента импулса): Момент импулса електрона на стационарној орбити може имати само дискретне вредности једнаке целобројном умношку редуковане Планкове константе \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\).
\[ L = m_e v r_n = n\hbar = n\frac{h}{2\pi} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \]
\(n\) – главни квантни број, \(m_e\) – маса електрона, \(v\) – брзина електрона, \(r_n\) – полупречник орбите.
Трећи Боров постулат (квантни прелази): Емисија или апсорпција зрачења дешава се само при преласку електрона из једног стационарног стања у друго. Енергија емитованог/апсорбованог фотона једнака је разлици енергија тих стања.
\[ h\nu = \frac{hc}{\lambda} = |E_n - E_m| \]
При преласку са вишег на нижи ниво фотон се емитује, а са нижег на виши ниво се апсорбује.
\[ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
Ридбергова формула за водоников атом (\(m > n\)). Ридбергова константа износи \(R \approx 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}\).
- Лајманова серија: прелази на ниво \(n = 1\) (\(m = 2, 3, \dots\)) – ултраљубичаста област;
- Балмерова серија: прелази на ниво \(n = 2\) (\(m = 3, 4, \dots\)) – видљива област;
- Пашенова серија: прелази на ниво \(n = 3\) (\(m = 4, 5, \dots\)) – инфрацрвена област;
- Брекетова серија: прелази на ниво \(n = 4\); Пфундова серија: прелази на ниво \(n = 5\).
Одредити максималну таласну дужину (\(\text{H}_\alpha\)) у Балмеровој серији водониковог спектра.
Максимална таласна дужина одговара прелазу са најмањом енергијом (са нивоа \(m = 3\) на ниво \(n = 2\)):
\[ \frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36}R \]
\[ \lambda_{max} = \frac{36}{5R} = \frac{36}{5 \cdot 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}} \approx 6,56 \cdot 10^{-7}\text{ m} = 656\text{ nm} \]
Електростатичка Кулонова сила обезбеђује центрипетално убрзање електрона: \(\frac{m_e v^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r_n^2}\). Комбиновањем са условом квантовања момента импулса (\(m_e v r_n = n\hbar\)) добијају се квантоване вредности брзине, радијуса и енергије.
\[ v_n = \frac{Z}{n} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = \frac{Z}{n} v_0 \]
где је \(v_0 \approx 2,2 \cdot 10^6\text{ m/s}\) брзина електрона у основном стању водоника (\(Z = 1, n = 1\)).
\[ r_n = \frac{n^2}{Z} \cdot \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} = \frac{n^2}{Z} r_0 \]
где је \(r_0 \approx 0,53 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 0,053\text{ nm}\) први Боров полупречник.
Кинетичка и потенцијална енергија повезане су релацијом \(T = -\frac{U}{2}\), па је укупна енергија:
\[ E_n = T + U = -T = -\frac{Z^2}{n^2} \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot 13,6\text{ eV} \]
где је \(E_0 = -13,6\text{ eV}\) енергија основног стања водониковог атома.
Знак минус означава да се електрон налази у везаном стању унутар потенцијалне јаме језгра. Када је \(n \to \infty\), тада је \(E = 0\) и електрон постаје слободан (јонизација).
Израчунати енергију и полупречник путање електрона у једноструко јонизованом атому хелијума (\(\text{He}^+, Z = 2\)) у другом побуђеном стању.
Друго побуђено стање одговара главном квантном броју \(n = 3\). За хелијум је \(Z = 2\).
Енергија: \[ E_3 = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot 13,6\text{ eV} = -\frac{2^2}{3^2} \cdot 13,6\text{ eV} = -\frac{4}{9} \cdot 13,6\text{ eV} \approx -6,04\text{ eV} \] Полупречник: \[ r_3 = \frac{n^2}{Z} r_0 = \frac{3^2}{2} \cdot 0,53 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 4,5 \cdot 0,53 \cdot 10^{-10}\text{ m} \approx 2,385 \cdot 10^{-10}\text{ m} \]
Енергија: \[ E_3 = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot 13,6\text{ eV} = -\frac{2^2}{3^2} \cdot 13,6\text{ eV} = -\frac{4}{9} \cdot 13,6\text{ eV} \approx -6,04\text{ eV} \] Полупречник: \[ r_3 = \frac{n^2}{Z} r_0 = \frac{3^2}{2} \cdot 0,53 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 4,5 \cdot 0,53 \cdot 10^{-10}\text{ m} \approx 2,385 \cdot 10^{-10}\text{ m} \]
Једноелектронска апроксимација: Посматра се кретање једног електрона у усредњеном електростатичком пољу језгра и свих осталих електрона. Стање електрона описује се са 4 квантна броја.
- Главни квантни број (\(n\)): \(n = 1, 2, 3, \dots\) одређује енергетски ниво (љуске: K, L, M, N, O...);
- Орбитални/споредни квантни број (\(l\)): \(l = 0, 1, 2, \dots, n-1\) одређује орбитални момент импулса (подљуске: s, p, d, f, g...);
- Магнетни квантни број (\(m_l\)): \(m_l = -l, \dots, 0, \dots, +l\) (укупно \(2l + 1\) вредности);
- Магнетни спински квантни број (\(m_s\)): \(m_s = \pm \frac{1}{2}\) (пројекција спина: \(S_z = m_s\hbar\)).
Паулијев принцип искључења: У једном атому се не могу наћи два електрона која имају исте вредности сва четири квантна броја \((n, l, m_l, m_s)\). Барем један квантни број мора бити различит.
Паулијев принцип важи за честице са полуцелим спином – фермионе (електрони, протони, неутрони), док за честице са целобројним спином – бозоне, овај принцип не важи.
\[ N_{l} = 2(2l + 1) \quad (\text{максималан број електрона у подљусци}) \]
\[ Z_{max} = \sum_{l=0}^{n-1} 2(2l + 1) = 2n^2 \quad (\text{максималан број електрона у љусци}) \]
| Главни квантни број (\(n\)) | Љуска | Могуће вредности \(l\) (подљуске) | Капацитет подљуски | Максималан број електрона (\(2n^2\)) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | K | 0 (s) | 2 | 2 |
| 2 | L | 0 (s), 1 (p) | 2, 6 | 8 |
| 3 | M | 0 (s), 1 (p), 2 (d) | 2, 6, 10 | 18 |
| 4 | N | 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f) | 2, 6, 10, 14 | 32 |
| 5 | O | 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g) | 2, 6, 10, 14, 18 | 50 |
Колико различитих квантних стања постоји у љусци са главним квантним бројем \(n = 3\)?
Максималан број стања (електрона) у љусци рачуна се по формули:
\[ Z_{max} = 2n^2 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \]
То су поднивои: 3s (2 електрона), 3p (6 електрона) и 3d (10 електрона).
Рендгенски зраци су високоенергетски електромагнетни таласи кратких таласних дужина (од \(10^{-2}\text{ nm}\) до \(10\text{ nm}\)), који настају када брзи електрони у вакуумској цеви (убрзани високим напоном \(U \sim 10^3 - 10^6\text{ V}\)) ударе у металну мету (антикатоду).
Настаје услед наглог успоравања (кочења) електрона у електричном пољу атомских језгара аноде. Најкраћа таласна дужина одговара случају када електрон целокупну кинетичку енергију преда једном фотону:
\[ eU = h\nu_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}} \implies \lambda_{min} = \frac{hc}{eU} \]
Гранична таласна дужина \(\lambda_{min}\) зависи искључиво од напона \(U\) на рендгенској цеви, а не од материјала аноде.
Упадни електрон избија електрон из унутрашње љуске атома мете (нпр. K или L). На упражњено место прелази електрон са вишег енергетског нивоа емитујући фотон тачно одређене таласне дужине карактеристичне за тај елемент.
\[ \frac{1}{\lambda} = R (Z - \sigma)^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
Мозлијев закон: \(Z\) – редни број елемента аноде, \(\sigma\) – константа екранирања (за K-серију \(\sigma \approx 1\), прелаз на \(n = 1\)).
Примена: Рендгенска дијагностика и компјутерска томографија (CT) у медицини, дефектоскопија материјала и контрола варова у индустрији.
Штетност: Због велике јонизујуће моћи ствара слободне радикале и може оштетити молекуле ДНК, због чега се излагање мора строго контролисати.
Штетност: Због велике јонизујуће моћи ствара слободне радикале и може оштетити молекуле ДНК, због чега се излагање мора строго контролисати.
Колики је напон на рендгенској цеви ако је минимална таласна дужина емитованог закочног зрачења \(\lambda_{min} = 0,025\text{ nm}\)?
Користећи формулу за граничну таласну дужину:
\[ U = \frac{hc}{e\lambda_{min}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}\text{ J s} \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \cdot 0,025 \cdot 10^{-9}\text{ m}} = \frac{1,988 \cdot 10^{-25}}{4 \cdot 10^{-27}}\text{ V} \approx 49,7\text{ kV} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колики је максималан број електрона у атому који могу имати главни квантни број \(n = 4\)?
Максималан број електрона на \(n\)-том енергетском нивоу (N љусци) је:
\[ Z_{max} = 2n^2 = 2 \cdot 4^2 = 2 \cdot 16 = 32 \]
Одговор: У N љусци може се наћи највише 32 електрона.
Задатак 2 (средњи): Колико се највише спектралних линија може појавити у емисионом спектру гасовитог водоника ако су његови атоми побуђени на четврти енергетски ниво (\(n = 4\))?
Укупан број могућих прелаза (спектралних линија) при деексцитацији са нивоа \(n\) на све ниже нивое рачуна се по комбинаторној формули:
\[ N = \frac{n(n - 1)}{2} \]
За \(n = 4\):
\[ N = \frac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \]
(То су прелази: \(4\to3, 4\to2, 4\to1, 3\to2, 3\to1, 2\to1\)).
Одговор: Емисиони спектар садржи укупно 6 спектралних линија.
Одговор: Емисиони спектар садржи укупно 6 спектралних линија.
Задатак 3 (средњи): На рендгенску цев прикључен је напон од \(40\text{ kV}\). Одредити максималну фреквенцију и минималну таласну дужину закочног рендгенског зрачења.
Максимална кинетичка енергија електрона претвара се у квант зрачења:
\[ E_{max} = eU = h\nu_{max} \implies \nu_{max} = \frac{eU}{h} = \frac{1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \cdot 40 \cdot 10^3\text{ V}}{6,626 \cdot 10^{-34}\text{ J s}} \approx 9,66 \cdot 10^{18}\text{ Hz} \]
Минимална таласна дужина:
\[ \lambda_{min} = \frac{c}{\nu_{max}} = \frac{3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{9,66 \cdot 10^{18}\text{ s}^{-1}} \approx 3,11 \cdot 10^{-11}\text{ m} = 31,1\text{ pm} \]
Задатак 4 (тежак): Израчунати таласну дужину карактеристичне \(K_\alpha\) спектралне линије коју емитује анода од молибдена (\(Z = 42\)), узимајући да је константа екранирања \(\sigma = 1\) и \(R = 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}\).
\(K_\alpha\) линија настаје преласком електрона са нивоа \(m = 2\) (L љуска) на ниво \(n = 1\) (K љуска).
Према Мозлијевом закону: \[ \frac{1}{\lambda} = R(Z - \sigma)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(42 - 1)^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \cdot 41^2 \cdot \frac{3}{4} \] \[ 41^2 = 1681 \implies \frac{1}{\lambda} = 1,097 \cdot 10^7 \cdot 1681 \cdot 0,75 \approx 1,383 \cdot 10^{10}\text{ m}^{-1} \] \[ \lambda = \frac{1}{1,383 \cdot 10^{10}\text{ m}^{-1}} \approx 7,23 \cdot 10^{-11}\text{ m} = 0,0723\text{ nm} = 72,3\text{ pm} \] Одговор: Таласна дужина \(K_\alpha\) линије износи приближно \(72,3\text{ pm}\).
Према Мозлијевом закону: \[ \frac{1}{\lambda} = R(Z - \sigma)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(42 - 1)^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \cdot 41^2 \cdot \frac{3}{4} \] \[ 41^2 = 1681 \implies \frac{1}{\lambda} = 1,097 \cdot 10^7 \cdot 1681 \cdot 0,75 \approx 1,383 \cdot 10^{10}\text{ m}^{-1} \] \[ \lambda = \frac{1}{1,383 \cdot 10^{10}\text{ m}^{-1}} \approx 7,23 \cdot 10^{-11}\text{ m} = 0,0723\text{ nm} = 72,3\text{ pm} \] Одговор: Таласна дужина \(K_\alpha\) линије износи приближно \(72,3\text{ pm}\).
