Најважније из лекције
Фермијев гас и расподела: Електрони у металу су фермиони и подлежу Паулијевом принципу. На \( T=0\text{ K} \) сва стања до Фермијевог нивоа \( E_F \) су попуњена. Само електрони близу \( E_F \) учествују у топлотној проводности и провођењу струје.
Суперпроводљивост: На \( T < T_c \) специфична отпорност пада на нулу, магнетно поље се истискује из унутрашњости (Мајснеров ефекат), а наелектрисање преносе Куперови парови (бозони).
Зонска теорија: Разликује проводнике (\( E_g \approx 0 \)), полупроводнике (\( E_g \approx 1\text{ eV} \)) и диелектрике (\( E_g > 5\text{ eV} \)).
Полупроводници: Сопствени имају једнак број електрона и шупљина (\( n = p \)). Допирањем петовалентним атомима (донори) добија се \( n \)-тип (\( n \gg p \)), а тровалентним (акцептори) \( p \)-тип (\( p \gg n \)).
p-n спој и компоненте: Пропушта струју само при директној поларизацији (исправљачи, ЛЕД диоде). Зенерова диода стабилизује напон у режиму инверзног пробоја.
Транзистори: Трослојни елементи (npn, pnp) који у активном режиму раде као појачавачи струје (\( \beta = \Delta I_C / \Delta I_B \)), а у режимима засићења и закочења као електронски прекидачи.
Суперпроводљивост: На \( T < T_c \) специфична отпорност пада на нулу, магнетно поље се истискује из унутрашњости (Мајснеров ефекат), а наелектрисање преносе Куперови парови (бозони).
Зонска теорија: Разликује проводнике (\( E_g \approx 0 \)), полупроводнике (\( E_g \approx 1\text{ eV} \)) и диелектрике (\( E_g > 5\text{ eV} \)).
Полупроводници: Сопствени имају једнак број електрона и шупљина (\( n = p \)). Допирањем петовалентним атомима (донори) добија се \( n \)-тип (\( n \gg p \)), а тровалентним (акцептори) \( p \)-тип (\( p \gg n \)).
p-n спој и компоненте: Пропушта струју само при директној поларизацији (исправљачи, ЛЕД диоде). Зенерова диода стабилизује напон у режиму инверзног пробоја.
Транзистори: Трослојни елементи (npn, pnp) који у активном режиму раде као појачавачи струје (\( \beta = \Delta I_C / \Delta I_B \)), а у режимима засићења и закочења као електронски прекидачи.
Фермиони су честице са полуцелим спином (нпр. електрон са спином \(\frac{1}{2}\hbar\)) за које важи Паулијев принцип забране (два фермиона не могу бити у истом квантном стању).
Бозони су честице са целобројним спином (нпр. фотон са спином \(\hbar\)) за које не важи Паулијев принцип забране.
Фермијев гас је квантномеханички модел којим се описују слободни електрони унутар кристалне решетке метала као честице унутар потенцијалне јаме дубине излазног рада \( A_i \).
Фермијев ниво (\( E_F \)) је највиши попуњени енергијски ниво на апсолутној нули (\( T = 0\text{ K} \)). Код већине метала износи око \( 10\text{ eV} \).
\[ f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E - E_F}{kT}} + 1} \]
\( f(E) \) – вероватноћа попуњености нивоа енергије \( E \), \( E_F \) – Фермијева енергија, \( k \) – Болцманова константа, \( T \) – апсолутна температура.
Карактеристични случајеви Ферми–Диракове расподеле:
- За \( T \to 0\text{ K} \) и \( E < E_F \): \( f(E) = 1 \) (сви нивои испод \( E_F \) су потпуно попуњени).
- За \( T \to 0\text{ K} \) и \( E > E_F \): \( f(E) = 0 \) (нивои изнад \( E_F \) су потпуно празни).
- За \( E = E_F \) на било којој температури: \( f(E_F) = \frac{1}{2} \).
Класична теорија је предвиђала моларни топлотни капацитет слободних електрона од \( \frac{3}{2}R \), што је око 100 пута више од експериментално измереног. Квантна теорија то успешно објашњава: само електрони у уском енергијском појасу ширине око \( kT \) близу Фермијевог нивоа могу примати и предавати енергију и учествовати у провођењу електричне струје.
Електрони у кристалној решетки се описују Де Брољевим таласима. Електрична отпорност реалног проводника настаје услед расејања Де Брољевих таласа на топлотним осцилацијама чворова решетке и кристалним неправилностима.
Суперпроводљивост је појава при којој специфична електрична отпорност материјала нагло пада на нулу испод одређене критичне температуре (\( T_c \)). Открио ју је Камерлинг Онес 1911. године на живи (\( T_c = 4,19\text{ K} \)).
Мајснеров ефекат: Суперпроводни материјали на температурама \( T < T_c \) у потпуности истискују линије спољашњег магнетног поља из своје унутрашњости, понашајући се као идеални дијамагнетици, што омогућава појаву магнетне левитације.
БКШ теорија (Бардин–Купер–Шрифер): Суперпроводност настаје формирањем Куперових парова електрона услед интеракције са позитивним јонима кристалне решетке. Ови парови имају спин 0, понашају се као бозони (не подлежу Паулијевом принципу) и крећу се кроз решетку без губитка енергије.
Примене суперпроводника:
- Транспорт: Маглев возови (левитација и велике брзине без трења).
- Медицина: Уређаји за магнетну резонантну томографију (МРТ).
- Наука: Јаки суперпроводни магнети у акцелераторима честица (LHC у CERN-у).
При приближавању атома и формирању кристалне решетке долази до интеракције електрона са суседним језгрима, што доводи до „цепања” дискретних атомских нивоа у густе континуалне енергијске зоне. Највеће цепање трпе спољашњи (валентни) нивои.
Кључне енергијске зоне у чврстом телу:
- Валентна зона: попуњена електронима који су везани за атомско језгро.
- Забрањена зона (енергетски процеп \( E_g \)): опсег енергија које електрони не могу имати.
- Проводна зона: зона у којој се налазе слободни електрони одговорни за електричну струју.
| Тип материјала | Ширина забрањене зоне (\( E_g \)) | Карактеристике |
|---|---|---|
| Изолатори (диелектрици) | \( E_g > 5\text{ eV} \) | Проводна зона је практично празна на собној температури. |
| Полупроводници | \( E_g \approx 1\text{ eV} \) | Si (\( 1,14\text{ eV} \)), Ge (\( 0,67\text{ eV} \)). На собној температури електрони прелазе из валентне у проводну зону. |
| Проводници (метали) | \( E_g \approx 0\text{ eV} \) (преклапање) | Валентна и проводна зона се преклапају; велика концентрација слободних електрона. |
\[ E_{\text{min}} = h \nu_{\text{min}} = E_g \]
Минимална енергија фотона потребна за ексцитацију електрона преко забрањене зоне.
Сопствена проводљивост: Код чистог полупроводника (Si, Ge), довођењем топлотне или светлосне енергије валентни електрон прелази у проводну зону, остављајући за собом шупљину (упражњено место са позитивним ефективним наелектрисањем). Број електрона једнак је броју шупљина (\( n = p \)).
Примесна проводљивост (допирање): Додавање малих количина примеса (око 0,001%) чистој супстанци чиме се проводљивост повећава за преко \( 10^3 \) пута:
- \( n \)-тип полупроводника: Добија се додавањем петовалентних примеса – донора (P, As, Sb, Bi). Већински носиоци наелектрисања су електрони (\( n \gg p \)).
- \( p \)-тип полупроводника: Добија се додавањем тровалентних примеса – акцептора (B, Al, Ga, In). Већински носиоци наелектрисања су шупљине (\( p \gg n \)).
И \( p \)-тип и \( n \)-тип полупроводника су као целине електронеутрални.
p-n спој и запречни слој: Спајањем \( p \) и \( n \) полупроводника, дифузија и рекомбинација електрона и шупљина формирају област просторног товара (запречни слој) са унутрашњим електричним пољем које зауставља даљу дифузију.
Поларизација p-n споја:
- Директна поларизација (\( p \) на \( + \), \( n \) на \( - \)): Спољашње поље смањује ширину запречног слоја. Када напон савлада унутрашњи праг (око \( 0,7\text{ V} \) за Si), струја нагло расте.
- Инверзна поларизација (\( p \) на \( - \), \( n \) на \( + \)): Спољашње поље шири запречни слој; протиче само занемарљиво мала струја засићења (\( I_S \)) ношена мањинским носиоцима. При високом напону долази до пробоја.
\[ I_D = I_S \left( e^{\frac{q_e U_D}{kT}} - 1 \right) \]
\( I_D \) – струја кроз диоду, \( U_D \) – напон на диоди, \( I_S \) – инверзна струја засићења, \( q_e \) – наелектрисање електрона.
Специјални полупроводнички елементи:
- Исправљачке диоде: Пропуштају струју само у једном смеру, користе се за претварање наизменичног у једносмерни напон.
- Светлеће диоде (ЛЕД): При директној поларизацији рекомбинацијом електрона и шупљина долази до емисије фотона (светлости).
- Зенерове диоде: Раде у режиму инверзног пробоја при Зенеровом напону (\( U_Z \)) и служе као стабилизатори напона.
- Фотоотпорници: Полупроводнички елементи засновани на унутрашњем фотоефекту; осветљавањем им опада електрична отпорност.
Биполарни транзистор је полупроводничка трослојна компонента (\( npn \) или \( pnp \)) са три извода: емитор (E), база (B) и колектор (C). Емитор има знатно већу концентрацију примеса од колектора.
Режими рада биполарног транзистора:
- Активни режим (појачавачки): Спој емитор-база је директно поларисан, а спој база-колектор инверзно.
- Режим засићења (провођења): Оба p-n споја су директно поларисана.
- Режим закочења (блокирања): Оба p-n споја су инверзно поларисана.
\[ \beta = \left. \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} \right|_{U_{CE} = \text{const}} \]
\[ P_D = I_C \cdot U_{CE} \]
\[ R_i = \left. \frac{\Delta U_{CE}}{\Delta I_C} \right|_{I_B = \text{const}} \]
\( \beta \) – коефицијент струјног појачања, \( P_D \) – снага дисипације на транзистору, \( R_i \) – диференцијална излазна отпорност.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Колика је минимална фреквенција фотона потребна да би се изазвао прелазак електрона из валентне у проводну зону силицијума чија је ширина забрањене зоне \( E_g = 1,14\text{ eV} \)? Планкова константа износи \( h = 4,14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s} \).
Услов за прелазак валентног електрона у проводну зону је \( E_{\text{min}} = h\nu_{\text{min}} = E_g \).
\[ \nu_{\text{min}} = \frac{E_g}{h} = \frac{1,14\text{ eV}}{4,14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}} \approx 2,75 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \]
Одговор: Минимална фреквенција износи приближно \( 2,75 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \) (инфрацрвени део спектра).
Задатак 2 (Средњи ниво): При константном напону између колектора и емитора, струја базе транзистора се промени од \( 10\,\mu\text{A} \) до \( 25\,\mu\text{A} \), што изазове промену струје колектора од \( 1,2\text{ mA} \) до \( 3,0\text{ mA} \). Израчунати струјно појачање \( \beta \) и снагу дисипације на транзистору ако ради при напону \( U_{CE} = 4\text{ V} \) и струји колектора \( I_C = 3,0\text{ mA} \).
1. Струјно појачање:
\[ \Delta I_B = 25\,\mu\text{A} - 10\,\mu\text{A} = 15\,\mu\text{A} = 15 \cdot 10^{-6}\text{ A} \]
\[ \Delta I_C = 3,0\text{ mA} - 1,2\text{ mA} = 1,8\text{ mA} = 1,8 \cdot 10^{-3}\text{ A} \]
\[ \beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{1,8 \cdot 10^{-3}\text{ A}}{15 \cdot 10^{-6}\text{ A}} = 120 \]
2. Снага која се ослобађа на транзистору:
\[ P_D = I_C \cdot U_{CE} = 3,0 \cdot 10^{-3}\text{ A} \cdot 4\text{ V} = 12\text{ mW} \]
Одговор: Струјно појачање износи \( \beta = 120 \), а снага дисипације је \( 12\text{ mW} \).
Задатак 3 (Тежи ниво): Зенерова диода са стабилизационим напоном \( U_Z = 5,1\text{ V} \) везана је преко отпорника \( R_s = 345\,\Omega \) на извор једносмерног напона од \( U = 12\text{ V} \). Израчунати пад напона на отпорнику \( R_s \) и јачину струје која протиче кроз Зенерову диоду када на излазу кола нема потрошача.
1. Напон на отпорнику \( R_s \) једнак је разлици напона извора и Зенеровог напона стабилизације:
\[ U_R = U - U_Z = 12\text{ V} - 5,1\text{ V} = 6,9\text{ V} \]
2. Струја кроз редни отпорник (која је уједно и струја кроз диоду јер нема спољашњег оптерећења):
\[ I_Z = \frac{U_R}{R_s} = \frac{6,9\text{ V}}{345\,\Omega} = 0,02\text{ A} = 20\text{ mA} \]
Одговор: Пад напона на отпорнику је \( 6,9\text{ V} \), а струја кроз диоду износи \( 20\text{ mA} \).
