Најважније из лекције
Равномерно променљиво праволинијско кретање:
- Убрзање: \( a = \frac{v - v_0}{t} \) (код убрзаног кретања \( a > 0 \); код успореног \( a < 0 \)).
- Брзина у тренутку \( t \): \( v = v_0 + at \). Ако креће из мировања (\( v_0 = 0 \)): \( v = at \).
- Пређени пут: \( s = v_0 t + \frac{at^2}{2} \). Ако креће из мировања: \( s = \frac{at^2}{2} \).
- Веза без времена: \( v^2 - v_0^2 = 2as \). Ако креће из мировања: \( v^2 = 2as \).
- Средња брзина: \( v_s = \frac{s_u}{t_u} \), а само за равномерно променљиво важи и \( v_s = \frac{v_0 + v}{2} \).
- Кључно за задатке: „Полази из мировања” значи \( v_0 = 0 \); „зауставља се” значи \( v = 0 \); брзину у \( \text{km/h} \) обавезно поделити са \( 3{,}6 \) да би се добила вредност у \( \text{m/s} \).
Равномерно променљиво праволинијско кретање је кретање по правој линији при коме се брзина тела у једнаким временским интервалима мења за једнаке износе (убрзава или успорава).
| Физичка величина | Ознака | Мерна јединица | Ознака јединице |
|---|---|---|---|
| Почетна брзина | \( v_0 \) | метар у секунди | \( \text{m/s} \) |
| Тренутна или крајња брзина | \( v \) | метар у секунди | \( \text{m/s} \) |
| Убрзање (акцелерација) | \( a \) | метар у секунди на квадрат | \( \text{m/s}^2 \) |
| Пређени пут | \( s \) | метар | \( \text{m} \) |
| Време кретања | \( t \) | секунда | \( \text{s} \) |
| Средња брзина | \( v_s \) | метар у секунди | \( \text{m/s} \) |
Брзина изражена у \( \text{km/h} \) претвара се у \( \text{m/s} \) дељењем са \( 3{,}6 \):
\[ 1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{3{,}6} \text{ m/s} \]
На пример: \( 72 \text{ km/h} = \frac{72}{3{,}6} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s} \).
Убрзање (акцелерација) представља промену брзине у јединици времена.
\[ a = \frac{v - v_0}{t - t_0} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
Када кретање посматрамо од почетног тренутка \( t_0 = 0 \): \( a = \frac{v - v_0}{t} \)
- Убрзано кретање (\( v > v_0 \)): Брзина се повећава током времена, а убрзање има позитивну вредност (\( a > 0 \)).
- Успорено кретање (\( v < v_0 \)): Брзина се смањује током времена. Убрзање има негативан предзнак (\( a < 0 \)), што означава успорење.
Ако тело за \( 2\text{ s} \) промени брзину са \( 8\text{ m/s} \) на \( 10\text{ m/s} \):
\[ a = \frac{10\text{ m/s} - 8\text{ m/s}}{2\text{ s}} = \frac{2\text{ m/s}}{2\text{ s}} = 1\text{ m/s}^2 \]
Зависно од тога које су физичке величине познате у задатку, користимо одговарајућу кинематичку једначину:
1. Брзина у функцији времена:
\[ v = v_0 + at \]
Код успореног кретања убрзање је негативно: \( v = v_0 - |a|t \).
2. Пређени пут у функцији времена:
\[ s = v_0 t + \frac{at^2}{2} \]
3. Веза брзине и пута (без времена):
\[ v^2 - v_0^2 = 2as \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{v_0^2 + 2as} \]
Овај образац се користи када у задатку није задато нити се тражи време \( t \).
- Полазак из стања мировања: \( v_0 = 0 \) \[ v = at, \quad s = \frac{at^2}{2}, \quad v^2 = 2as \]
- Заустављање тела: крајња брзина је \( v = 0 \).
Авион креће из мировања и креће се праволинијски са убрзањем \( a = 1{,}1\text{ m/s}^2 \) док не достигне брзину полетања од \( 80\text{ m/s} \). Колика мора бити минимална дужина писте?
Пошто је \( v_0 = 0 \), користимо везу брзине и пута без времена:
\[ v^2 = 2as \implies s = \frac{v^2}{2a} \]
\[ s = \frac{(80\text{ m/s})^2}{2 \cdot 1{,}1\text{ m/s}^2} = \frac{6400}{2{,}2}\text{ m} \approx 2909{,}09\text{ m} \]
Општа формула (за свако променљиво кретање):
\[ v_s = \frac{s_u}{t_u} \]
\( s_u \) је укупан пређени пут, а \( t_u \) је укупно време кретања.
Специјална формула (искључиво за равномерно променљиво кретање):
\[ v_s = \frac{v_0 + v}{2} \]
Средња брзина једнака је аритметичкој средини почетне и крајње брзине.
Ако аутомобил кочи од \( v_0 = 20\text{ m/s} \) до потпуног заустављања (\( v = 0 \)):
\[ v_s = \frac{20\text{ m/s} + 0}{2} = 10\text{ m/s} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Аутомобил полази са семафора из стања мировања и равномерно убрзава убрзањем од \( 2\text{ m/s}^2 \) током времена од \( 6\text{ s} \). Одреди крајњу брзину аутомобила и пређени пут за то време.
Познато: \( v_0 = 0 \), \( a = 2\text{ m/s}^2 \), \( t = 6\text{ s} \).
1. Брзина: \[ v = v_0 + at = 0 + 2\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ s} = 12\text{ m/s} \] 2. Пређени пут: \[ s = \frac{at^2}{2} = \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (6\text{ s})^2}{2} = 36\text{ m} \] Одговор: Крајња брзина је \( 12\text{ m/s} \), а пређени пут је \( 36\text{ m} \).
1. Брзина: \[ v = v_0 + at = 0 + 2\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ s} = 12\text{ m/s} \] 2. Пређени пут: \[ s = \frac{at^2}{2} = \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (6\text{ s})^2}{2} = 36\text{ m} \] Одговор: Крајња брзина је \( 12\text{ m/s} \), а пређени пут је \( 36\text{ m} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Возило се креће брзином од \( 72\text{ km/h} \). Испред препреке возач почиње да кочи равномерно успорено и заустави се за \( 5\text{ s} \). Израчунај:
а) Убрзање током кочења,
б) Дужину зауставног пута.
а) Убрзање током кочења,
б) Дужину зауставног пута.
Познато: \( v_0 = 72\text{ km/h} = \frac{72}{3{,}6}\text{ m/s} = 20\text{ m/s} \), \( v = 0 \), \( t = 5\text{ s} \).
а) Убрзање: \[ a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{0 - 20\text{ m/s}}{5\text{ s}} = -4\text{ m/s}^2 \] Знак минус показује да се тело креће успорено (успорење је \( 4\text{ m/s}^2 \)).
б) Зауставни пут: \[ s = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 20\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} + \frac{(-4\text{ m/s}^2) \cdot (5\text{ s})^2}{2} = 100\text{ m} - 50\text{ m} = 50\text{ m} \] (Исти резултат се добија и преко средње брзине: \( s = v_s \cdot t = \frac{20 + 0}{2} \cdot 5 = 50\text{ m} \)).
а) Убрзање: \[ a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{0 - 20\text{ m/s}}{5\text{ s}} = -4\text{ m/s}^2 \] Знак минус показује да се тело креће успорено (успорење је \( 4\text{ m/s}^2 \)).
б) Зауставни пут: \[ s = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 20\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} + \frac{(-4\text{ m/s}^2) \cdot (5\text{ s})^2}{2} = 100\text{ m} - 50\text{ m} = 50\text{ m} \] (Исти резултат се добија и преко средње брзине: \( s = v_s \cdot t = \frac{20 + 0}{2} \cdot 5 = 50\text{ m} \)).
Задатак 3 (Тежи ниво): Тело се из стања мировања креће равномерно убрзано. Током једне посматране секунде (\( t_p = 1\text{ s} \)) тело пређе пут од \( 5\text{ m} \), крећући се убрзањем \( a = 2\text{ m/s}^2 \). Колики пут је тело прешло од почетка кретања до почетка те посматране секунде?
1. Одређивање почетне брзине \( v_{0p} \) за ту посматрану секунду:
\[ s_p = v_{0p} t_p + \frac{at_p^2}{2} \implies v_{0p} = \frac{s_p - \frac{at_p^2}{2}}{t_p} \]
\[ v_{0p} = \frac{5\text{ m} - \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (1\text{ s})^2}{2}}{1\text{ s}} = \frac{5 - 1}{1} = 4\text{ m/s} \]
2. Одређивање пута пређеног од почетка кретања:
Крајња брзина кретања пре те секунде је управо \( v = v_{0p} = 4\text{ m/s} \), а почетна брзина на самом почетку је била \( v_0 = 0 \):
\[ v^2 - v_0^2 = 2as \implies s = \frac{v^2}{2a} \]
\[ s = \frac{(4\text{ m/s})^2}{2 \cdot 2\text{ m/s}^2} = \frac{16}{4}\text{ m} = 4\text{ m} \]
Одговор: Тело је до почетка те секунде прешло пут од \( 4\text{ m} \).
Задатак 4 (Тежи ниво): Два тркачка аутомобила полазе истовремено из стања мировања са исте стартне линије. Први аутомобил има два пута веће убрзање од другог (\( a_1 = 2a_2 \)).
а) Колико пута је дужи пут првог аутомобила у односу на други у тренутку када први пређе циљну линију (исто време \( t \))?
б) Колико пута је више времена потребно другом аутомобилу да стигне до циља у односу на први (исти пут \( s \))?
а) Колико пута је дужи пут првог аутомобила у односу на други у тренутку када први пређе циљну линију (исто време \( t \))?
б) Колико пута је више времена потребно другом аутомобилу да стигне до циља у односу на први (исти пут \( s \))?
а) За исто време (\( t_1 = t_2 = t \)), уз \( v_0 = 0 \):
\[ s_1 = \frac{a_1 t^2}{2}, \quad s_2 = \frac{a_2 t^2}{2} \implies \frac{s_1}{s_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{2a_2}{a_2} = 2 \]
Први аутомобил прелази \( 2 \) пута дужи пут од другог.
б) За исти пређени пут (\( s_1 = s_2 = s \)), из \( s = \frac{at^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \): \[ \frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{2s}{a_2}}}{\sqrt{\frac{2s}{a_1}}} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \] Другом аутомобилу је потребно око \( 1{,}41 \) пута (тј. \( \sqrt{2} \)) више времена.
б) За исти пређени пут (\( s_1 = s_2 = s \)), из \( s = \frac{at^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \): \[ \frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{2s}{a_2}}}{\sqrt{\frac{2s}{a_1}}} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \] Другом аутомобилу је потребно око \( 1{,}41 \) пута (тј. \( \sqrt{2} \)) више времена.
