Најважније из лекције
Закон одржања енергије: \( E = E_k + E_p = \text{const} \) (када нема трења).
Амплитудни положај: \( v = 0 \implies E_k = 0 \), енергија је искључиво потенцијална (\( E = E_p \)).
Равнотежни положај: \( h = 0 \) (или \( x = 0 \)) \( \implies E_p = 0 \), енергија је искључиво кинетичка (\( E = E_k \)), а брзина је максимална (\( v_{\text{max}} = \sqrt{2gh} \)).
Периодичност: Током једне осцилације енергија се 2 пута потпуно претвори из потенцијалне у кинетичку и 2 пута обрнуто.
Пригушење: У реалним условима услед отпора средине механичка енергија прелази у топлоту, те се амплитуда смањује до потпуног заустављања.
Амплитудни положај: \( v = 0 \implies E_k = 0 \), енергија је искључиво потенцијална (\( E = E_p \)).
Равнотежни положај: \( h = 0 \) (или \( x = 0 \)) \( \implies E_p = 0 \), енергија је искључиво кинетичка (\( E = E_k \)), а брзина је максимална (\( v_{\text{max}} = \sqrt{2gh} \)).
Периодичност: Током једне осцилације енергија се 2 пута потпуно претвори из потенцијалне у кинетичку и 2 пута обрнуто.
Пригушење: У реалним условима услед отпора средине механичка енергија прелази у топлоту, те се амплитуда смањује до потпуног заустављања.
Механичка енергија осцилатора представља збир његове кинетичке и потенцијалне енергије.
Џул (\( \text{J} \))
\[ E = E_k + E_p \]
\( E \) – укупна механичка енергија, \( E_k \) – кинетичка енергија, \( E_p \) – потенцијална енергија
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2, \quad E_{p\text{ (грав)}} = m g h \]
Закон одржања механичке енергије: У затвореном (изолованом) систему, када се занемаре отпор средине и сила трења, укупна механичка енергија осцилатора је стална (\( E = \text{const} \)). Притом кинетичка енергија прелази у потенцијалну и обрнуто.
Ако тело има укупну механичку енергију \( 15 \text{ J} \), колика је његова потенцијална енергија у тренутку када му је кинетичка енергија \( 9 \text{ J} \)?
На основу закона одржања:
\[ E = E_k + E_p \implies E_p = E - E_k = 15 \text{ J} - 9 \text{ J} = 6 \text{ J} \]
Одговор: Потенцијална енергија износи \( 6 \text{ J} \).
Током осциловања клатна врши се непрекидна трансформација гравитационе потенцијалне енергије у кинетичку енергију и обратно.
Куглица се за тренутак зауставља (\( v = 0 \)) на максималној висини \( h \). Кинетичка енергија је једнака нули, а потенцијална је максимална:
\[ E_k = 0, \quad E_p = m g h \implies E = E_p \]
Висина се смањује, а брзина расте: потенцијална енергија се претвара у кинетичку енергију.
Висина куглице у односу на референтни ниво је нула (\( h = 0 \)), па је \( E_p = 0 \). Брзина је максимална (\( v = v_{\text{max}} \)), па је целокупна енергија претворена у кинетичку:
\[ E_p = 0, \quad E_k = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \implies E = E_k \]
Куглица по инерцији наставља кретање, висина расте, а брзина се смањује: кинетичка енергија се поново претвара у потенцијалну.
Током једног периода осциловања (\( T \)) потенцијална енергија се два пута претвори у кинетичку и кинетичка два пута у потенцијалну. Потпуна трансформација се врши у свакој четвртини периода (\( \frac{T}{4} \)).
\[ m g h = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \implies v_{\text{max}} = \sqrt{2 g h} \]
Брзина којом клатно пролази кроз равнотежни положај једнака је брзини тела при слободном паду са висине \( h \).
Куглица клатна изведена је на висину \( h = 0{,}05 \text{ m} \) изнад равнотежног положаја и пуштена. Коликом брзином пролази кроз равнотежни положај (\( g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \))?
\[ v_{\text{max}} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}05 \text{ m}} = \sqrt{1} = 1 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Брзина куглице у равнотежном положају износи \( 1 \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Код хоризонталног осцилатора на опрузи нема промене гравитационе потенцијалне енергије, већ се мења еластична потенцијална енергија деформације.
| Положај осцилатора | Брзина и деформација | Енергетско стање |
|---|---|---|
| Амплитудни положај (\( x = \pm x_0 \)) | Деформација је максимална, брзина \( v = 0 \) | \( E_k = 0 \), \( E_p = E_{p\text{,max}} = E \) |
| Равнотежни положај (\( x = 0 \)) | Опруга је недеформисана, брзина је максимална (\( v = v_{\text{max}} \)) | \( E_p = 0 \), \( E_k = E_{k\text{,max}} = E \) |
При сабијању или истезању опруге врши се рад који се акумулира као еластична потенцијална енергија. Након пуштања, опруга убрзава тело ка равнотежном положају, претварајући ту енергију у кинетичку енергију кретања.
Непригушено осциловање – теоријско осциловање у идеалним условима без отпора средине и трења. Укупна механичка енергија и амплитуда остају сталне током времена.
Пригушено осциловање – реално осциловање код кога тело врши рад на савладавању силе трења и отпора средине, услед чега се механичка енергија постепено смањује, амплитуда опада и тело се на крају зауставља.
Клатно које осцилује у ваздуху осциловаће знатно дуже него исто клатно потопљено у воду, јер је отпор воде много већи, па се механичка енергија знатно брже губи (трансформише у топлоту).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Укупна механичка енергија осцилатора износи \( 20 \text{ J} \). Колика је његова кинетичка енергија у тренутку проласка кроз равнотежни положај (отпор занемарљив)?
У равнотежном положају потенцијална енергија је једнака нули (\( E_p = 0 \)), па је целокупна механичка енергија претворена у кинетичку енергију.
\[ E_k = E = 20 \text{ J} \]
Одговор: Кинетичка енергија износи \( 20 \text{ J} \).
Задатак 2 (средњи): Куглица математичког клатна масе \( 0{,}2 \text{ kg} \) пуштена је са висине \( h = 0{,}2 \text{ m} \) у односу на равнотежни ниво. Колика је максимална кинетичка енергија и брзина куглице при проласку кроз равнотежни положај? (\( g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \))
Максимална потенцијална енергија на почетку:
\[ E_p = m g h = 0{,}2 \text{ kg} \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}2 \text{ m} = 0{,}4 \text{ J} \]
Према Закону одржања механичке енергије:
\[ E_{k\text{,max}} = E_p = 0{,}4 \text{ J} \]
Брзина у равнотежном положају:
\[ v_{\text{max}} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}2 \text{ m}} = \sqrt{4} = 2 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Максимална кинетичка енергија је \( 0{,}4 \text{ J} \), а максимална брзина је \( 2 \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Задатак 3 (напредни): Математичко клатно изврши 4 пуне осцилације.
а) Колико се пута у току овог кретања потенцијална енергија у потпуности претворила у кинетичку?
б) Колико пута је брзина клатна била једнака нули ако рачунамо и почетни тренутак пуштања из амплитудног положаја?
а) Колико се пута у току овог кретања потенцијална енергија у потпуности претворила у кинетичку?
б) Колико пута је брзина клатна била једнака нули ако рачунамо и почетни тренутак пуштања из амплитудног положаја?
а) У току једне пуне осцилације (\( T \)) клатно два пута пролази кроз равнотежни положај (потенцијална енергија прелази у кинетичку 2 пута). За 4 пуне осцилације то се дешава:
\[ 4 \cdot 2 = 8 \text{ пута} \]
б) Брзина је једнака нули у сваком амплитудном положају (2 пута по свакој пуној осцилацији) плус у почетном тренутку пуштања:
\[ 1 + (4 \cdot 2) = 9 \text{ пута} \]
Одговор: а) 8 пута; б) 9 пута.
