Најважније из лекције
Научни запис: \( A \cdot 10^n \) (\( 1 \le A < 10 \)). Пример: \( 0,0045 = 4,5 \cdot 10^{-3} \).
Заокругљивање са цифром 5: Када се одбацује само 5, парна претходна цифра се не мења (\( 1,85 \to 1,8 \)), а непарна се повећава (\( 1,75 \to 1,8 \)). Ако иза 5 постоји цифра већа од нуле, увек се повећава (\( 1,8501 \to 1,9 \)).
Тачност и прецизност: Тачност мери одступање од стварне вредности (\( \Delta x = |x - \mu| \)), а прецизност међусобно слагање више мерења.
Значајне цифре и интервал: Садрже све сигурне цифре и једну несигурну; крајње децималне нуле су значајне. Резултат се приказује као \( (x \pm \Delta x)\text{ јединица} \).
Поновљена мерења: Резултат се изражава као \( (\overline{x} \pm \sigma)\text{ јединица} \), где је \( \overline{x} \) аритметичка средина, а \( \sigma \) стандардна девијација.
Приказ података: Табеле морају имати наслов и јединице; полигони се користе за праћење континуираних промена, хистограми за поређење узорака, а кружни дијаграми за процентни удео.
Заокругљивање са цифром 5: Када се одбацује само 5, парна претходна цифра се не мења (\( 1,85 \to 1,8 \)), а непарна се повећава (\( 1,75 \to 1,8 \)). Ако иза 5 постоји цифра већа од нуле, увек се повећава (\( 1,8501 \to 1,9 \)).
Тачност и прецизност: Тачност мери одступање од стварне вредности (\( \Delta x = |x - \mu| \)), а прецизност међусобно слагање више мерења.
Значајне цифре и интервал: Садрже све сигурне цифре и једну несигурну; крајње децималне нуле су значајне. Резултат се приказује као \( (x \pm \Delta x)\text{ јединица} \).
Поновљена мерења: Резултат се изражава као \( (\overline{x} \pm \sigma)\text{ јединица} \), где је \( \overline{x} \) аритметичка средина, а \( \sigma \) стандардна девијација.
Приказ података: Табеле морају имати наслов и јединице; полигони се користе за праћење континуираних промена, хистограми за поређење узорака, а кружни дијаграми за процентни удео.
Веома велики или веома мали бројеви записују се у стандардном научном облику:
\[ A \cdot 10^n \]
где је \( A \) број у интервалу \( 1 \le A < 10 \), а \( n \) је цео број (изложилац степена или експонент).
Правила померања децималног зареза:
- Померањем децималног зареза улево, вредност броја \( A \) се смањује, па се експонент \( n \) повећава.
- Померањем децималног зареза удесно, вредност броја \( A \) се повећава, па се експонент \( n \) смањује.
Операције са степенима базе 10:
• Множење (експоненти се сабирају): \[ (A \cdot 10^a) \cdot (B \cdot 10^b) = (A \cdot B) \cdot 10^{a + b} \] • Дељење (експоненти се одузимају): \[ \frac{A \cdot 10^a}{B \cdot 10^b} = \left(\frac{A}{B}\right) \cdot 10^{a - b} \]
• Множење (експоненти се сабирају): \[ (A \cdot 10^a) \cdot (B \cdot 10^b) = (A \cdot B) \cdot 10^{a + b} \] • Дељење (експоненти се одузимају): \[ \frac{A \cdot 10^a}{B \cdot 10^b} = \left(\frac{A}{B}\right) \cdot 10^{a - b} \]
• \( 0,123 \cdot 10^{-3} = 1,23 \cdot 10^{-4} \) (зарез померен удесно, експонент смањен за 1)
• \( 456,7 \cdot 10^{-7} = 4,567 \cdot 10^{-5} \) (зарез померен улево за два места, експонент повећан за 2)
• \( (1,2 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,3 \cdot 10^2) = 1,2 \cdot 2,3 \cdot 10^{-3+2} = 2,76 \cdot 10^{-1} \)
• \( 456,7 \cdot 10^{-7} = 4,567 \cdot 10^{-5} \) (зарез померен улево за два места, експонент повећан за 2)
• \( (1,2 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,3 \cdot 10^2) = 1,2 \cdot 2,3 \cdot 10^{-3+2} = 2,76 \cdot 10^{-1} \)
Представите број \( 0,00025 \) у научном облику \( A \cdot 10^n \).
Померамо децимални зарез за 4 места удесно како бисмо добили број између 1 и 10:
\[ 0,00025 = 2,5 \cdot 10^{-4} \]
При заокругљивању резултата посматра се прва цифра која се одбацује:
- Цифра је мања од 5: претходна цифра остаје непромењена (нпр. \( 1,82 \to 1,8 \)).
- Цифра је већа од 5: претходна цифра се увећава за један (нпр. \( 1,87 \to 1,9 \)).
- Цифра је једнака 5, а иза ње следе искључиво нуле:
- ако је претходна цифра непарна, увећава се за 1 (нпр. \( 1,75 \to 1,8 \));
- ако је претходна цифра парна, не мења се (нпр. \( 1,85 \to 1,8 \)).
- Цифра је једнака 5, а иза ње постоји бар једна цифра различита од нуле: претходна цифра се увећава за 1 (нпр. \( 1,8502 \to 1,9 \)).
Заокругљивање на две децимале:
• \( 0,125 \to 0,12 \) (иза 5 су нуле, а 2 је парна цифра)
• \( 14,255 \to 14,26 \) (иза 5 нема других цифара, а 5 испред је непарна цифра)
• \( 1,12502 \to 1,13 \) (иза 5 постоји цифра већа од нуле: 2)
• \( 0,125 \to 0,12 \) (иза 5 су нуле, а 2 је парна цифра)
• \( 14,255 \to 14,26 \) (иза 5 нема других цифара, а 5 испред је непарна цифра)
• \( 1,12502 \to 1,13 \) (иза 5 постоји цифра већа од нуле: 2)
Заокруглите број \( 18,905 \) на две децимале.
Цифра коју одбацујемо је 5 (иза ње нема других цифара). Цифра испред ње је 0, што се третира као паран број, па се не мења.
Резултат: \( 18,90 \)
Резултат: \( 18,90 \)
Тачност мерења показује колико је измерена вредност блиска правој („стварној”) вредности мерене величине.
Прецизност мерења показује међусобно слагање резултата вишеструких мерења исте величине изведених под истим условима.
Апсолутна грешка мерења (\( \Delta x \)):
\[ \Delta x = |x - \mu| \]
\( x \) – измерена вредност, \( \mu \) – тачна (права) вредност мерене величине.
Релативна грешка мерења (\( \xi_x \)):
\[ \xi_x = \frac{\Delta x}{\mu} \cdot 100\% \]
Изражава се у процентима и описује удео грешке у односу на праву вредност.
Ако је стварна маса узорка \( \mu = 12,2512\text{ g} \), а измерена вредност \( x = 12,2513\text{ g} \):
• Апсолутна грешка: \( \Delta x = |12,2513 - 12,2512| = 0,0001\text{ g} \)
• Релативна грешка: \( \xi_x = \frac{0,0001}{12,2512} \cdot 100\% \approx 8,16 \cdot 10^{-4}\% \)
• Апсолутна грешка: \( \Delta x = |12,2513 - 12,2512| = 0,0001\text{ g} \)
• Релативна грешка: \( \xi_x = \frac{0,0001}{12,2512} \cdot 100\% \approx 8,16 \cdot 10^{-4}\% \)
Значајне цифре чине све поуздане (сигурне) цифре директног мерења и једна последња процењена (несигурна) цифра.
Несигурност директног очитавања мерне скале обично износи половину најмањег подељка мерног инструмента.
Нуле на крају децималног броја су значајне цифре јер указују на прецизност коришћеног инструмента и не смеју се изостављати. На пример, \( 20,00\text{ g} \) означава мерење прецизности до \( 0,01\text{ g} \), док \( 20\text{ g} \) означава прецизност само до целог грама.
Интервал поузданости (поверења):
\[ (x \pm \Delta x)\text{ јединица} \]
Ако је мензуром са најмањим подељком од \( 0,1\text{ cm}^3 \) измерена запремина тачно на ознаци 7, мерна несигурност је \( 0,05\text{ cm}^3 \), а резултат се правилно записује као:
\[ (7,00 \pm 0,05)\text{ cm}^3 \]
Када права вредност није позната, изводи се серија поновљених мерења (\( n \)), а највероватнија вредност одређује се као аритметичка средина (средња вредност \( \overline{x} \)).
\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n} \]
Расипање резултата око средње вредности изражава се стандардном девијацијом по следећим корацима:
- Израчуна се средња вредност серије мерења: \( \overline{x} \).
- Одреди се појединачно одступање сваког мерења: \( |x_i - \overline{x}| \).
- Израчуна се квадрат сваког одступања: \( (x_i - \overline{x})^2 \).
- Саберу се сви квадрати одступања: \( \sum (x_i - \overline{x})^2 \).
- Збир се подели са \( n - 1 \), где је \( n \) укупан број мерења.
- Израчуна се квадратни корен добијеног количника: \[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} \]
За измерене вредности \( 12,1\text{ g} \), \( 12,2\text{ g} \), \( 12,2\text{ g} \), \( 12,3\text{ g} \):
\[ \overline{x} = \frac{12,1 + 12,2 + 12,2 + 12,3}{4} = 12,2\text{ g} \]
Елементи исправно приказане табеле:
- Редни број и јасан, дескриптиван наслов.
- Заглавље са називима величина и одговарајућим мерним јединицама.
- Једнака прецизност (број децималних места) података добијених истим инструментом.
Врсте графичких приказа:
- Полигон (линијски дијаграм): погодан за приказивање континуиране зависности једне величине од друге (нпр. промена температуре или губитак масе током времена).
- Хистограм (стубичасти дијаграм): користи се за упоређивање вредности међу различитим независним узорцима.
- Кружни дијаграм („пита”): приказује уделе појединачних компонената у укупном саставу (100%).
Сваки график мора имати наслов, јасно означене осе са физичким величинама и мерним јединицама (SI), као и правилно одабрану размеру.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Заокруглите на једну децималу следеће бројеве:
а) \( 0,09 \)
б) \( 1,2835 \)
в) \( 1,55 \)
г) \( 22,3501 \)
а) \( 0,09 \)
б) \( 1,2835 \)
в) \( 1,55 \)
г) \( 22,3501 \)
а) Иза прве децимале је 9 (веће од 5) \(\to 0,1\).
б) Иза прве децимале је 8 (веће од 5) \(\to 1,3\).
в) Иза прве децимале је 5 без даљих цифара; пошто је испред непарна цифра (5), она се увећава \(\to 1,6\).
г) Иза прве децимале је 5, након чега следи цифра различита од нуле (1), па се цифра испред увећава \(\to 22,4\).
б) Иза прве децимале је 8 (веће од 5) \(\to 1,3\).
в) Иза прве децимале је 5 без даљих цифара; пошто је испред непарна цифра (5), она се увећава \(\to 1,6\).
г) Иза прве децимале је 5, након чега следи цифра различита од нуле (1), па се цифра испред увећава \(\to 22,4\).
Задатак 2 (средњи): Очитана вредност запремине течности на бирети чији је најмањи подељак \( 0,1\text{ cm}^3 \) износи тачно \( 8,5\text{ cm}^3 \).
а) Колика је несигурност мерења овом биретом?
б) Како правилно гласи запис резултата у облику интервала поузданости?
а) Колика је несигурност мерења овом биретом?
б) Како правилно гласи запис резултата у облику интервала поузданости?
а) Несигурност мерења је половина најмањег подељка:
\[ \Delta V = \frac{0,1\text{ cm}^3}{2} = 0,05\text{ cm}^3 \]
б) Пошто несигурност има две децимале, и очитани резултат мора имати две децимале (додаје се нула као значајна цифра):
\[ (8,50 \pm 0,05)\text{ cm}^3 \]
Задатак 3 (средњи): Израчунајте апсолутну и релативну грешку мерења масе узорка ако је стварна маса \( \mu = 2,5000\text{ g} \), а мерењем техничком вагом добијена вредност \( x = 2,4850\text{ g} \).
1. Апсолутна грешка:
\[ \Delta x = |x - \mu| = |2,4850 - 2,5000| = 0,0150\text{ g} \]
2. Релативна грешка:
\[ \xi_x = \frac{\Delta x}{\mu} \cdot 100\% = \frac{0,0150\text{ g}}{2,5000\text{ g}} \cdot 100\% = 0,60\% \]
Задатак 4 (тежак): Четири узастопна мерења масе узорка супстанце дала су резултате: \( 1,21\text{ g} \), \( 1,22\text{ g} \), \( 1,25\text{ g} \) и \( 1,28\text{ g} \).
а) Одредите средњу вредност \( \overline{x} \).
б) Израчунајте стандардну девијацију \( \sigma \) и прикажите резултат у облику \( \overline{x} \pm \sigma \).
а) Одредите средњу вредност \( \overline{x} \).
б) Израчунајте стандардну девијацију \( \sigma \) и прикажите резултат у облику \( \overline{x} \pm \sigma \).
а) Средња вредност (\( n = 4 \)):
\[ \overline{x} = \frac{1,21 + 1,22 + 1,25 + 1,28}{4} = \frac{4,96}{4} = 1,24\text{ g} \]
б) Стандардна девијација:
1. Одступања: \( |1,21 - 1,24| = 0,03 \); \( |1,22 - 1,24| = 0,02 \); \( |1,25 - 1,24| = 0,01 \); \( |1,28 - 1,24| = 0,04 \).
2. Квадрати одступања: \( 0,0009; 0,0004; 0,0001; 0,0016 \).
3. Збир квадрата: \( 0,0009 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0016 = 0,0030 \).
4. Дељење са \( n - 1 = 3 \): \( \frac{0,0030}{3} = 0,0010 \).
5. Квадратни корен: \( \sigma = \sqrt{0,0010} \approx 0,0316\text{ g} \approx 0,03\text{ g} \).
Коначни запис: \( (1,24 \pm 0,03)\text{ g} \)
1. Одступања: \( |1,21 - 1,24| = 0,03 \); \( |1,22 - 1,24| = 0,02 \); \( |1,25 - 1,24| = 0,01 \); \( |1,28 - 1,24| = 0,04 \).
2. Квадрати одступања: \( 0,0009; 0,0004; 0,0001; 0,0016 \).
3. Збир квадрата: \( 0,0009 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0016 = 0,0030 \).
4. Дељење са \( n - 1 = 3 \): \( \frac{0,0030}{3} = 0,0010 \).
5. Квадратни корен: \( \sigma = \sqrt{0,0010} \approx 0,0316\text{ g} \approx 0,03\text{ g} \).
Коначни запис: \( (1,24 \pm 0,03)\text{ g} \)
