Најважније из лекције
Скуп \(N\) и \(N_0\): Природни бројеви чине бесконачан, уређен скуп \(N=\{1,2,3,\dots\}\). Додавањем нуле добијамо \(N_0\). Бројеви имају свог претходника и следбеника.
Декадне јединице и класе: Бројеви се групишу у класе: јединице, хиљаде, милиони (\(10^6\)), милијарде (\(10^9\)) и билиони (\(10^{12}\)).
Запис и читање: Бројеве читамо по класама слева надесно. Вредност цифре зависи од њене позиције у броју (месна вредност) и може се приказати у облику збира производа (нпр. \(25 = 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1\)).
Упоређивање: Већи је онај број који има више цифара. Ако је број цифара исти, упоређују се класе почевши од највеће.
Декадне јединице и класе: Бројеви се групишу у класе: јединице, хиљаде, милиони (\(10^6\)), милијарде (\(10^9\)) и билиони (\(10^{12}\)).
Запис и читање: Бројеве читамо по класама слева надесно. Вредност цифре зависи од њене позиције у броју (месна вредност) и може се приказати у облику збира производа (нпр. \(25 = 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1\)).
Упоређивање: Већи је онај број који има више цифара. Ако је број цифара исти, упоређују се класе почевши од највеће.
Скуп чији су чланови сви природни бројеви назива се скуп природних бројева и означава се латиничним словом \(N\). Ако овом скупу додамо и нулу, добијамо скуп \(N_0\).
\[ N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots \} \]
\[ N_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \} \]
Природних бројева има бесконачно много, што значи да не постоји највећи природни број. Број 0 није природан број.
Скуп природних бројева је уређен скуп, јер за свака два различита броја можемо утврдити који је мањи (\(<\)), а који већи (\(>\)).
Ако између два природна броја нема других природних бројева, они се називају узастопни природни бројеви. Мањи број је претходник, а већи је следбеник.
Напиши први претходник и први следбеник броја \(100\;000\).
Одговор: Претходник је \(99\;999\), а следбеник је \(100\;001\).
Декадне јединице се користе за формирање свих бројева. Груписане су по класама, а свака класа има своје стотине (С), десетице (Д) и јединице (Ј).
| Класа | Декадне јединице | Бројевни запис |
|---|---|---|
| Јединице | јединица, десетица, стотина | \(1;\; 10;\; 100\) |
| Хиљаде | јединица хиљада, дес. хиљада, сто хиљада | \(1\;000;\; 10\;000;\; 100\;000\) |
| Милиони | јединица милиона, дес. милиона, сто милиона | \(1\;000\;000;\; 10\;000\;000;\; 100\;000\;000\) |
| Милијарде | јединица милијарди, дес. милијарди, сто милијарди | \(1\;000\;000\;000;\; 10\;000\;000\;000;\; 100\;000\;000\;000\) |
| Билиони | јединица билиона | \(1\;000\;000\;000\;000\) |
Број који има хиљаду милиона зове се милијарда (\(10^9\)). Број који има хиљаду милијарди зове се билион (\(10^{12}\)).
Бројеви се читају тако што се прво прочита број у највећој класи, затим назив те класе, па се прелази на следећу мању класу. Назив класе јединица се не изговара.
Да бисмо лакше читали и писали велике бројеве, између класа (након сваке треће цифре гледано здесна налево) правимо мали размак.
Ако су у запису неког броја у некој класи све цифре нуле (\(0\)), ту класу бројева не изговарамо.
Број \(7\;146\;759\) се чита: седам милиона сто четрдесет шест хиљада седамсто педесет девет.
Број \(513\;007\) се чита: петсто тринаест хиљада седам (класа стотина и десетица јединица је нула).
Број \(513\;007\) се чита: петсто тринаест хиљада седам (класа стотина и десетица јединица је нула).
Напиши цифрама број: тридесет два милиона четиристо пет хиљада двадесет.
Одговор: \(32\;405\;020\)
Вредност сваке цифре у броју зависи од места на коме се она налази и назива се месна вредност цифре.
Сваки број се може записати као збир производа његових цифара и одговарајућих декадних јединица. Ако цифра за одређену месну вредност не постоји, на то место се уписује \(0\).
\[ 467\;527 = 4 \cdot 100\;000 + 6 \cdot 10\;000 + 7 \cdot 1\;000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 7 \cdot 1 \]
Запиши број \(30\;804\) у облику збира производа.
Одговор: \(30\;804 = 3 \cdot 10\;000 + 0 \cdot 1\;000 + 8 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4 \cdot 1\)
Приликом упоређивања, већи је онај број који има више цифара (већу класу). Пример: \(1\;000\;000 > 999\;999\).
Ако бројеви имају исти број цифара, упоређују се класе слева надесно. Већи је онај број чија је вредност у највишој различитој класи већа. Пример: \(264\;912\;000 > 264\;314\;000\) (јер је \(912 > 314\)).
Збир цифара неког броја одређујемо тако што саберемо све појединачне цифре у запису тог броја.
Збир цифара броја \(35\;168\) је: \(3 + 5 + 1 + 6 + 8 = 23\).
Задаци за вежбање
Лак: Упореди следеће бројеве користећи знакове \(<\) или \(>\).
а) \(349\) и \(44\;167\)
б) \(324\;131\;670\;000\) и \(324\;131\;659\;999\)
а) \(349\) и \(44\;167\)
б) \(324\;131\;670\;000\) и \(324\;131\;659\;999\)
а) \(349 < 44\;167\) (други број има више цифара)
б) \(324\;131\;670\;000 > 324\;131\;659\;999\) (исте милијарде и милиони, али је у класи хиљада \(670 > 659\))
б) \(324\;131\;670\;000 > 324\;131\;659\;999\) (исте милијарде и милиони, али је у класи хиљада \(670 > 659\))
Средњи: Одреди број који се састоји од: 7 десетица милиона, 2 јединице милиона, 5 стотина хиљада, 9 десетица и 1 јединице. Након тога, израчунај збир његових цифара.
Број је: \(72\;500\;091\) (недостајуће месне вредности попуњавамо нулама).
Збир цифара: \(7 + 2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 9 + 1 = 24\).
Збир цифара: \(7 + 2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 9 + 1 = 24\).
Тежак: Одреди све троцифрене бројеве чији је збир цифара једнак 3.
Број 3 треба да запишемо као збир три цифре (сабирка), при чему прва цифра не сме бити 0.
Могући збирови:
\(3 = 3 + 0 + 0\) \(\rightarrow\) Број: \(300\)
\(3 = 2 + 1 + 0\) \(\rightarrow\) Бројеви: \(210, 201, 120, 102\)
\(3 = 1 + 1 + 1\) \(\rightarrow\) Број: \(111\)
Одговор: То су бројеви \(102, 111, 120, 201, 210, 300\).
Могући збирови:
\(3 = 3 + 0 + 0\) \(\rightarrow\) Број: \(300\)
\(3 = 2 + 1 + 0\) \(\rightarrow\) Бројеви: \(210, 201, 120, 102\)
\(3 = 1 + 1 + 1\) \(\rightarrow\) Број: \(111\)
Одговор: То су бројеви \(102, 111, 120, 201, 210, 300\).
