Најважније из лекције
Скупови и релације: Скуп је одређен својим елементима. Ознака \( \in \) представља припадање, \( \subset \) означава подскуп, а \( \emptyset \) празан скуп.
Скуповне операције: Пресек \( A \cap B \) садржи заједничке елементе; унија \( A \cup B \) обухвата све елементе оба скупа; разлика \( A \setminus B \) уклања из скупа \( A \) елементе који припадају скупу \( B \).
Природни бројеви: \( N = \{1, 2, 3, \dots\} \), док је \( N_0 = \{0, 1, 2, \dots\} \). Сваки број \( n \) има следбеника \( n + 1 \), а сваки број осим најмањег има претходника \( n - 1 \).
Операције и приоритети: Важе својства комутативности, асоцијативности и дистрибутивности. Дељење нулом није дозвољено. У изразима предност увек имају заграде, затим множење и дељење, па тек онда сабирање и одузимање.
Скуповне операције: Пресек \( A \cap B \) садржи заједничке елементе; унија \( A \cup B \) обухвата све елементе оба скупа; разлика \( A \setminus B \) уклања из скупа \( A \) елементе који припадају скупу \( B \).
Природни бројеви: \( N = \{1, 2, 3, \dots\} \), док је \( N_0 = \{0, 1, 2, \dots\} \). Сваки број \( n \) има следбеника \( n + 1 \), а сваки број осим најмањег има претходника \( n - 1 \).
Операције и приоритети: Важе својства комутативности, асоцијативности и дистрибутивности. Дељење нулом није дозвољено. У изразима предност увек имају заграде, затим множење и дељење, па тек онда сабирање и одузимање.
Скуп је целина састављена од одређених објеката које називамо елементима или члановима скупа.
Скупови се означавају великим словима латинице (\( A, B, C, \dots \)), а припадање елемента ознаком \( \in \) (односно \( \notin \) ако елемент не припада).
Једнакост скупова: Два скупа су једнака ако имају потпуно исте елементе. Редослед навођења елемената и њихово понављање унутар заграда нема утицаја на скуп (нпр. \( \{1, 2\} = \{2, 1, 1\} \)).
Венов дијаграм је графички приказ скупа помоћу затворене линије, где тачке унутар линије представљају елементе тог скупа.
Подскуп: Скуп \( A \) је подскуп скупа \( B \) (записује се \( A \subset B \)) ако је сваки елемент скупа \( A \) уједно и елемент скупа \( B \). За сваки скуп важи \( A \subset A \).
Празан скуп је скуп који нема ниједан елемент и означава се симболом \( \emptyset \).
Нека је скуп једноцифрених бројева \( J = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) и скуп парних једноцифрених бројева \( P = \{2, 4, 6, 8\} \).
Сви елементи скупа \( P \) налазе се у скупу \( J \), па пишемо \( P \subset J \).
Сви елементи скупа \( P \) налазе се у скупу \( J \), па пишемо \( P \subset J \).
Дат је скуп \( S = \{3, 6, 9\} \). Одреди да ли су тачна тврђења: \( 6 \in S \), \( 5 \in S \) и \( \{3, 9\} \subset S \).
\( 6 \in S \) је тачно; \( 5 \in S \) је нетачно (правилно је \( 5 \notin S \)); \( \{3, 9\} \subset S \) је тачно јер су и 3 и 9 елементи скупа \( S \).
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} \quad \text{- Пресек (заједнички елементи)} \]
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} \quad \text{- Унија (сви елементи из оба скупа)} \]
\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\} \quad \text{- Разлика (елементи скупа \( A \) који нису у \( B \))} \]
Важна својства операција:
- Комутативност: \( A \cap B = B \cap A \) и \( A \cup B = B \cup A \).
- Разлика није комутативна: \( A \setminus B \neq B \setminus A \) (у општем случају).
- Дисјунктни скупови: Скупови који немају заједничких елемената (\( A \cap B = \emptyset \)). За њих важи \( A \setminus B = A \) и \( B \setminus A = B \).
- Ако је \( A \subset B \), онда је: \( A \cap B = A \), \( A \cup B = B \) и \( A \setminus B = \emptyset \).
Дати су скупови \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) и \( B = \{3, 4, 5, 6\} \). Одреди \( A \cap B \), \( A \cup B \) и \( A \setminus B \).
- \( A \cap B = \{3, 4\} \)
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
- \( A \setminus B = \{1, 2\} \)
Скуп природних бројева: \( N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \)
Проширени скуп природних бројева: \( N_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \)
Број 0 није природан број: \( 0 \notin N \), али је \( 0 \in N_0 \). Скупови \( N \) и \( N_0 \) су бесконачни.
Следбеник природног броја \( n \) је број \( n + 1 \). Претходник природног броја \( n \) (\( n \neq 1 \)) је број \( n - 1 \). Број 1 нема претходника у \( N \), док у скупу \( N_0 \) има претходника 0.
Месна вредност цифре: Вредност цифре зависи од њене позиције у броју (јединице, десетице, стотине, хиљаде итд.). Бројеви 10, 100, 1000... су декадне јединице.
| Стотине | Десетице | Јединице | Збир месних вредности | Број |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 4 | \( 5 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4 \cdot 1 \) | 504 |
Бројевна полуправа је одређена почетном тачком \( O \) (којој се придружује број 0) и јединичном дужи \( OI \) (где тачка \( I \) одговара броју 1). Сваки број има јединствено место; мањи бројеви се налазе лево, а већи десно.
Одреди претходника и следбеника броја 399 у скупу \( N \).
Претходник је \( 399 - 1 = 398 \), а следбеник је \( 399 + 1 = 400 \).
Сабирање: \( \text{сабирак} + \text{сабирак} = \text{збир} \)
Одузимање: \( \text{умањеник} - \text{умањилац} = \text{разлика} \) (умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу у скупу \( N_0 \))
Множење: \( \text{чинилац} \cdot \text{чинилац} = \text{производ} \)
Дељење: \( \text{дељеник} : \text{делилац} = \text{количник} \)
Нулом се не дели! Дељење нулом у математици није дефинисано.
Својства операција за све \( a, b, c \in N_0 \):
- Комутативност: \( a + b = b + a \) и \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) и \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Дистрибутивност множења: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] \[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \quad (\text{за } b \ge c) \]
- Дељење збира и разлике бројем: \[ (a + b) : c = a : c + b : c \quad (\text{за } c \neq 0) \] \[ (a - b) : c = a : c - b : c \quad (\text{за } a \ge b, \, c \neq 0) \]
Применом својства дистрибутивности израчунај на најлакши начин: \( 17 \cdot 35 + 17 \cdot 65 \).
Извлачењем заједничког чиниоца 17:
\[ 17 \cdot (35 + 65) = 17 \cdot 100 = 1700 \]
Бројевни израз садржи само бројеве, рачунске операције и заграде.
Израз с променљивом садржи једно или више слова (променљивих) која замењују бројеве. Његова вредност зависи од вредности која се додели тој променљивој.
Вредност израза се рачуна по строгом редоследу:
- Заграде (прво операције унутар заграда)
- Множење и дељење (према редоследу слева надесно)
- Сабирање и одузимање (према редоследу слева надесно)
Елементима једног скупа могу се придружити одговарајуће вредности помоћу израза са променљивом, што се често приказује табелом:
| \( x \) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \( 2 \cdot x + 3 \) | 5 | 7 | 9 | 11 |
Израчунај вредност израза: \( 50 - 4 \cdot (6 + 2) \).
1. Заграда: \( 6 + 2 = 8 \)
2. Множење: \( 4 \cdot 8 = 32 \)
3. Одузимање: \( 50 - 32 = 18 \)
2. Множење: \( 4 \cdot 8 = 32 \)
3. Одузимање: \( 50 - 32 = 18 \)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дати су скупови \( M = \{10, 20, 30, 40\} \) и \( P = \{30, 40, 50, 60\} \). Одреди скуп \( M \setminus P \) и скуп \( M \cap P \).
Разлика \( M \setminus P \) садржи елементе који су у \( M \), а нису у \( P \):
\[ M \setminus P = \{10, 20\} \]
Пресек \( M \cap P \) садржи заједничке елементе оба скупа:
\[ M \cap P = \{30, 40\} \]
Задатак 2 (средњи): Одреди вредност бројевног израза:
\[ 120 : (15 - 3 \cdot 3) + 7 \cdot 8 \]
Пратимо редослед операција:
- Множење у загради: \( 3 \cdot 3 = 9 \)
- Одузимање у загради: \( 15 - 9 = 6 \)
- Дељење: \( 120 : 6 = 20 \)
- Множење изван заграде: \( 7 \cdot 8 = 56 \)
- Сабирање: \( 20 + 56 = 76 \)
Задатак 3 (средњи): Ако је \( x \in \{2, 5, 8\} \), израчунај вредности израза с променљивом \( 4 \cdot x - 3 \) за све дате вредности и запиши скуп добијених решења.
Уврштавамо сваку вредност за \( x \):
- За \( x = 2 \): \( 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5 \)
- За \( x = 5 \): \( 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17 \)
- За \( x = 8 \): \( 4 \cdot 8 - 3 = 32 - 3 = 29 \)
Задатак 4 (тежи): Нека је скуп \( A \) скуп решења неједначине \( x + 14 \le 18 \) у скупу \( N_0 \), а скуп \( B = \{x \in N \mid x < 4\} \).
Одреди скупове \( A \), \( B \), а затим израчунај \( (A \cup B) \setminus (A \cap B) \).
1. Скуп \( A \): из \( x + 14 \le 18 \) следи \( x \le 4 \). Како \( x \in N_0 \), решења су:
\[ A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \]
2. Скуп \( B \): бројеви из \( N \) мањи од 4 (без нуле, јер \( 0 \notin N \)):
\[ B = \{1, 2, 3\} \]
3. Унија: \( A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) (јер је \( B \subset A \))
4. Пресек: \( A \cap B = \{1, 2, 3\} \)
5. Тражена разлика:
\[ (A \cup B) \setminus (A \cap B) = \{0, 1, 2, 3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{0, 4\} \]
