Најважније из лекције
Скупови тачака: простор је скуп свих тачака, а фигуре су његови непразни подскупови. Знаци: \( A \in p \), \( C \notin p \), \( p \subset \alpha \), \( \emptyset \) је празан скуп.
Пресек, унија, разлика: \( F_1 \cap F_2 \) је заједнички део, \( F_1 \cup F_2 \) је све тачке обе фигуре, \( F_1 \setminus F_2 \) су тачке прве које нису у другој. Пример: \( AC \cap BD = BC \) и \( AC \cup BD = AD \) за тачке \( A, B, C, D \) на правој тим редом.
Полураван: права дели раван на две полуравни; две паралелне праве деле раван на 3 области, а две праве које се секу на 4.
Многоугао: унија многоугаоне линије и њене унутрашње области. Троугао \( \triangle ABC \) има неколинеарна темена \( A, B, C \) и странице \( AB, BC, CA \).
Паралелограм: наспрамне странице су паралелне и једнаке, а дијагонале се полове. Пример: \( AB = 7 \text{ cm} \) значи \( CD = 7 \text{ cm} \).
Конвексност: пресек две конвексне фигуре је конвексна фигура, а унија не мора бити.
Кружница и круг: \( OX \lt r \) унутрашња, \( OX = r \) на кружници, \( OX \gt r \) спољашња тачка; круг \( K(O, r) \) је кружница заједно са унутрашњошћу. Пример: тачка на \( 5 \text{ cm} \) од центра кружнице \( k(O, 3 \text{ cm}) \) удаљена је од кружнице најмање \( 2 \text{ cm} \), а највише \( 8 \text{ cm} \).
Права и кружница: сечица има 2 заједничке тачке, тангента 1, а права ван кружнице ниједну.
Тетива и лук: \( d = 2r \), пречник је најдужа тетива; тетива одређује два кружна лука, а пречник две полукружнице.
Две кружнице: споља се додирују ако је \( O_1O_2 = r_1 + r_2 \), изнутра ако је \( O_1O_2 = r_1 - r_2 \). Пример: \( r_1 = 5 \text{ cm} \), \( r_2 = 3 \text{ cm} \) дају \( 8 \text{ cm} \) и \( 2 \text{ cm} \).
Пресек, унија, разлика: \( F_1 \cap F_2 \) је заједнички део, \( F_1 \cup F_2 \) је све тачке обе фигуре, \( F_1 \setminus F_2 \) су тачке прве које нису у другој. Пример: \( AC \cap BD = BC \) и \( AC \cup BD = AD \) за тачке \( A, B, C, D \) на правој тим редом.
Полураван: права дели раван на две полуравни; две паралелне праве деле раван на 3 области, а две праве које се секу на 4.
Многоугао: унија многоугаоне линије и њене унутрашње области. Троугао \( \triangle ABC \) има неколинеарна темена \( A, B, C \) и странице \( AB, BC, CA \).
Паралелограм: наспрамне странице су паралелне и једнаке, а дијагонале се полове. Пример: \( AB = 7 \text{ cm} \) значи \( CD = 7 \text{ cm} \).
Конвексност: пресек две конвексне фигуре је конвексна фигура, а унија не мора бити.
Кружница и круг: \( OX \lt r \) унутрашња, \( OX = r \) на кружници, \( OX \gt r \) спољашња тачка; круг \( K(O, r) \) је кружница заједно са унутрашњошћу. Пример: тачка на \( 5 \text{ cm} \) од центра кружнице \( k(O, 3 \text{ cm}) \) удаљена је од кружнице најмање \( 2 \text{ cm} \), а највише \( 8 \text{ cm} \).
Права и кружница: сечица има 2 заједничке тачке, тангента 1, а права ван кружнице ниједну.
Тетива и лук: \( d = 2r \), пречник је најдужа тетива; тетива одређује два кружна лука, а пречник две полукружнице.
Две кружнице: споља се додирују ако је \( O_1O_2 = r_1 + r_2 \), изнутра ако је \( O_1O_2 = r_1 - r_2 \). Пример: \( r_1 = 5 \text{ cm} \), \( r_2 = 3 \text{ cm} \) дају \( 8 \text{ cm} \) и \( 2 \text{ cm} \).
Простор је скуп свих тачака. Геометријске фигуре су непразни подскупови простора.
Права, полуправа, дуж, раван, кружница, круг, троугао, многоугао... јесу скупови тачака. Фигуре чије све тачке леже у једној равни зову се равне фигуре.
| Знак | Значење | Пример |
|---|---|---|
| \( \in \) | тачка припада скупу | \( A \in p \) |
| \( \notin \) | тачка не припада скупу | \( C \notin p \) |
| \( \subset \) | је подскуп | \( p \subset \alpha \) |
| \( \emptyset \) | празан скуп | \( a \cap b = \emptyset \) |
Тачка \( A \) лежи на правој \( p \), а права \( p \) лежи у равни \( \alpha \). Зато је \( A \in p \), \( p \subset \alpha \) и \( A \in \alpha \).
Тачке \( A \) и \( B \) припадају правој \( p \). Да ли је дуж \( AB \) подскуп праве \( p \)?
Одговор: Да. Све тачке дужи \( AB \) леже на правој \( p \), па је \( AB \subset p \).
Пресек \( F_1 \cap F_2 \) је скуп свих тачака које припадају и фигури \( F_1 \) и фигури \( F_2 \).
Унија \( F_1 \cup F_2 \) је скуп свих тачака које припадају бар једној од фигура \( F_1 \), \( F_2 \).
Разлика \( F_1 \setminus F_2 \) је скуп свих тачака које припадају фигури \( F_1 \), а не припадају фигури \( F_2 \).
Ако фигуре немају заједничких тачака, њихов пресек је празан скуп \( \emptyset \). Пресек две праве које се секу у тачки \( R \) је скуп који има само један елемент: \( s \cap t = \{R\} \).
Тачке \( A, B, C, D \) налазе се на једној правој тим редом. Тада је:
\( AC \cap BD = BC \), \( AC \cup BD = AD \),
\( AB \cap BC = \{B\} \), \( AB \cap CD = \emptyset \),
\( AC \setminus BC \) је дуж \( AB \) без тачке \( B \) (тачка \( B \) припада дужи \( BC \), па се изоставља).
\( AC \cap BD = BC \), \( AC \cup BD = AD \),
\( AB \cap BC = \{B\} \), \( AB \cap CD = \emptyset \),
\( AC \setminus BC \) је дуж \( AB \) без тачке \( B \) (тачка \( B \) припада дужи \( BC \), па се изоставља).
Прочитај запис \( k(O, 2 \text{ cm}) \cap q = \{T\} \).
Одговор: Пресек кружнице \( k \) са центром \( O \) и полупречником \( 2 \text{ cm} \) и праве \( q \) је скуп који садржи само тачку \( T \). Дакле, кружница и права имају тачно једну заједничку тачку \( T \).
Две тачке равни су са исте стране праве те равни ако права не сече дуж одређену тим тачкама.
Полураван чини права заједно са свим тачкама равни које су са исте стране те праве. Свака права у равни одређује две полуравни.
| Праве у равни | Број области на које деле раван |
|---|---|
| Једна права | 2 |
| Две паралелне праве | 3 |
| Две праве које се секу | 4 |
Када се коначно много тачака споји дужима у утврђеном редоследу, а последња тачка се споји са првом, унија тих дужи је затворена изломљена линија. Дате тачке су њена темена, а дужи њене странице.
Крајеви једне странице су суседна темена. Две странице са заједничком крајњом тачком су суседне странице.
Ако сваке две несуседне странице немају заједничких тачака, затворена изломљена линија је многоугаона линија.
Многоугао је унија многоугаоне линије и области коју она ограничава. Темена и странице многоугаоне линије су темена и странице многоугла.
Четвороугао \( A_1A_2A_3A_4 \) има темена \( A_1, A_2, A_3, A_4 \) и странице \( A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1 \). Петоугао \( A_1A_2A_3A_4A_5 \) има пет темена и пет страница.
Које су странице петоугла \( A_1A_2A_3A_4A_5 \) суседне страници \( A_1A_2 \)?
Одговор: Суседне су странице које имају заједничку крајњу тачку са \( A_1A_2 \): то су \( A_5A_1 \) (заједничко теме \( A_1 \)) и \( A_2A_3 \) (заједничко теме \( A_2 \)).
Нека су \( A, B, C \) три неколинеарне тачке (не леже на једној правој). Тачке \( A, B, C \) су темена, а дужи \( AB, BC, CA \) су странице троугла \( ABC \).
Унија дужи \( AB, BC, CA \) је троугаона линија. Троугао је унија троугаоне линије и одговарајуће унутрашње области.
Троугао са теменима \( A, B, C \) означава се \( \triangle ABC \).
Троугао \( ABC \) је пресек три полуравни: за сваке две од тачака \( A, B, C \) узима се полураван коју одређује права кроз њих и која садржи трећу тачку.
Могу ли три колинеарне тачке да буду темена троугла?
Одговор: Не. Колинеарне тачке леже на једној правој, па не одређују троугао. Темена троугла морају бити неколинеарне тачке.
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне. Настаје када пар паралелних правих сече други пар паралелних правих.
Темена \( A, B, C, D \) и странице \( AB, BC, CD, DA \). Наспрамне странице леже на паралелним правама, суседне странице имају заједничко теме. Дужи \( AC \) и \( BD \) су дијагонале.
Наспрамне странице паралелограма су једнаке. Ако су сваке две наспрамне странице четвороугла једнаке, тај четвороугао је паралелограм.
\[ AB \parallel CD,\ AD \parallel BC \iff AB = CD,\ AD = BC \]
Дијагонале паралелограма се међусобно полове: ако је \( O \) њихов пресек, онда је \( AO = OC \) и \( BO = OD \). Ако се дијагонале четвороугла полове, тај четвороугао је паралелограм.
Паралелограм је централносиметрична фигура у односу на пресек својих дијагонала.
Дате су неколинеарне тачке \( A, B, D \). Тачка \( C \) таква да је \( ABCD \) паралелограм је пресек праве кроз \( D \) паралелне са \( AB \) и праве кроз \( B \) паралелне са \( AD \).
У паралелограму \( ABCD \) је \( AB = 7 \text{ cm} \) и \( BC = 4 \text{ cm} \). Колике су дужине \( CD \) и \( DA \)?
Наспрамне странице паралелограма су једнаке: \( CD = AB = 7 \text{ cm} \) и \( DA = BC = 4 \text{ cm} \).
Одговор: \( CD = 7 \text{ cm} \), \( DA = 4 \text{ cm} \).
Одговор: \( CD = 7 \text{ cm} \), \( DA = 4 \text{ cm} \).
Фигура је конвексна ако за сваке две тачке које јој припадају садржи и дуж чији су крајеви те две тачке.
Права, полуправа, дуж и сваки троугао су конвексне фигуре. Многоугао је конвексан ако је читав садржан у полуравни коју одређује права на којој лежи било која његова страница. Кружница није конвексна фигура, а круг јесте.
Пресек две конвексне фигуре је конвексна фигура.
Унија две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура.
Пресек два троугла може бити: празан скуп, тачка, дуж, троугао, четвороугао, петоугао или шестоугао.
Да ли је унија два круга који немају заједничких тачака конвексна фигура?
Одговор: Не. Ако узмемо по једну тачку из сваког круга, дуж која их спаја садржи и тачке између кругова, а оне не припадају ниједном од кругова. Дакле, дуж није садржана у унији.
Кружница (кружна линија) је скуп свих тачака равни које су на једнаком растојању од једне утврђене тачке \( O \) те равни. Тачка \( O \) је центар, а дуж чији су крајеви центар и нека тачка кружнице је полупречник.
\( k(O, r) \) је кружница са центром \( O \) и полупречником \( r \). Кружница са центром \( O \) која садржи тачку \( T \) означава се \( k(O, OT) \).
| Растојање тачке \( X \) од центра | Положај тачке \( X \) |
|---|---|
| \( OX \lt r \) | унутрашња тачка (унутар кружнице) |
| \( OX = r \) | тачка кружнице |
| \( OX \gt r \) | спољашња тачка (ван кружнице) |
Круг \( K(O, r) \) је скуп свих тачака кружнице \( k(O, r) \) и свих њених унутрашњих тачака.
Концентричне кружнице имају заједнички центар. Две концентричне кружнице различитих полупречника немају заједничких тачака, али одговарајући кругови имају: круг мањег полупречника је подскуп круга већег полупречника.
Кружница \( k(O, 3 \text{ cm}) \), тачка \( A \) је на растојању \( 5 \text{ cm} \) од центра. Најкраће растојање од \( A \) до кружнице је \( 5 - 3 = 2 \text{ cm} \), а најдуже \( 5 + 3 = 8 \text{ cm} \).
Колики је пресек \( k(O, r) \cap K(O, r) \)?
Круг садржи све тачке своје кружнице, па је кружница подскуп круга.
Одговор: \( k(O, r) \cap K(O, r) = k(O, r) \).
Одговор: \( k(O, r) \cap K(O, r) = k(O, r) \).
Права и кружница имају највише две заједничке тачке.
| Заједничке тачке | Назив праве |
|---|---|
| две | сечица |
| једна | тангента (заједничка тачка је тачка додира) |
| ниједна | права ван кружнице: \( p \cap k = \emptyset \) |
Реч тангента је латинског порекла и долази од глагола tangere - додиривати.
Права \( t \) има са кружницом \( k(O, 3 \text{ cm}) \) тачно једну заједничку тачку \( T \). Како се зове права \( t \), а како тачка \( T \)? Запиши пресек симболима.
Одговор: Права \( t \) је тангента кружнице \( k \), а \( T \) је тачка додира. Пресек је \( t \cap k = \{T\} \).
Тетива кружнице је дуж чије крајње тачке припадају кружници. Пречник је тетива којој припада центар кружнице.
\[ d = 2r \]
Сви пречници кружнице су једнаки, а пречници су најдуже тетиве кружнице.
Кружни лук је део кружнице између две различите тачке те кружнице, укључујући и те тачке. Свака тетива одређује два кружна лука. Да би се разликовали, наводи се још једна тачка лука, на пример лук \( AQB \).
Два кружна лука одређена пречником зову се полукружнице.
Колики је пречник кружнице \( k(O, 6 \text{ cm}) \) и колика је највећа могућа дужина њене тетиве?
\( d = 2r = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm} \). Пречници су најдуже тетиве.
Одговор: Пречник је \( 12 \text{ cm} \), а највећа дужина тетиве је такође \( 12 \text{ cm} \).
Одговор: Пречник је \( 12 \text{ cm} \), а највећа дужина тетиве је такође \( 12 \text{ cm} \).
Две кружнице имају највише две заједничке тачке. Кружнице \( k_1(O_1, r_1) \) и \( k_2(O_2, r_2) \) се додирују ако имају тачно једну заједничку тачку.
Додиривање споља: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 \)
Додиривање изнутра (\( r_1 \gt r_2 \)): \( O_1O_2 = r_1 - r_2 \)
Додиривање изнутра (\( r_1 \gt r_2 \)): \( O_1O_2 = r_1 - r_2 \)
Дате су кружнице \( k_1(O_1, 5 \text{ cm}) \) и \( k_2(O_2, 3 \text{ cm}) \). Колико треба да буде растојање \( O_1O_2 \) да се кружнице додирују споља, а колико да се додирују изнутра?
Споља: \( O_1O_2 = 5 + 3 = 8 \text{ cm} \). Изнутра: \( O_1O_2 = 5 - 3 = 2 \text{ cm} \).
Одговор: \( 8 \text{ cm} \) за додиривање споља, \( 2 \text{ cm} \) за додиривање изнутра.
Одговор: \( 8 \text{ cm} \) за додиривање споља, \( 2 \text{ cm} \) за додиривање изнутра.
Задаци за вежбање
Лак: Права \( p \) лежи у равни \( \alpha \). Тачка \( A \) припада правој \( p \), тачка \( B \) припада равни \( \alpha \), а тачка \( C \) не припада правој \( p \). Запиши то скуповним симболима.
Одговор: \( A \in p \), \( p \subset \alpha \), \( B \in \alpha \), \( C \notin p \).
Лак: Дата је кружница \( k(O, 4 \text{ cm}) \) и тачке \( U, T, S \) такве да је \( OU = 3 \text{ cm} \), \( OT = 4 \text{ cm} \), \( OS = 6 \text{ cm} \). Које од тих тачака припадају кружници \( k \), које кругу \( K(O, 4 \text{ cm}) \), а која је спољашња тачка?
Упоређујемо растојање од центра са полупречником \( r = 4 \text{ cm} \).
\( OU = 3 \lt 4 \): тачка \( U \) је унутрашња, припада кругу, али не и кружници.
\( OT = 4 \): тачка \( T \) припада кружници, а тиме и кругу.
\( OS = 6 \gt 4 \): тачка \( S \) је спољашња и не припада ни кружници ни кругу.
Одговор: кружници припада само \( T \), кругу припадају \( U \) и \( T \), спољашња тачка је \( S \).
\( OU = 3 \lt 4 \): тачка \( U \) је унутрашња, припада кругу, али не и кружници.
\( OT = 4 \): тачка \( T \) припада кружници, а тиме и кругу.
\( OS = 6 \gt 4 \): тачка \( S \) је спољашња и не припада ни кружници ни кругу.
Одговор: кружници припада само \( T \), кругу припадају \( U \) и \( T \), спољашња тачка је \( S \).
Средњи: Тачке \( E, F, G, H \) налазе се на једној правој тим редом. Одреди скупове: а) \( EG \cap FH \); б) \( EF \cap GH \); в) \( EG \cup FH \); г) \( EG \setminus FG \).
а) Заједнички део дужи \( EG \) и \( FH \) је дуж \( FG \).
б) Дужи \( EF \) и \( GH \) немају заједничких тачака: \( EF \cap GH = \emptyset \).
в) Унија покрива све од \( E \) до \( H \): \( EG \cup FH = EH \).
г) Из дужи \( EG \) изостављамо све тачке дужи \( FG \), па остаје дуж \( EF \) без тачке \( F \).
Одговор: а) \( FG \); б) \( \emptyset \); в) \( EH \); г) дуж \( EF \) без тачке \( F \).
б) Дужи \( EF \) и \( GH \) немају заједничких тачака: \( EF \cap GH = \emptyset \).
в) Унија покрива све од \( E \) до \( H \): \( EG \cup FH = EH \).
г) Из дужи \( EG \) изостављамо све тачке дужи \( FG \), па остаје дуж \( EF \) без тачке \( F \).
Одговор: а) \( FG \); б) \( \emptyset \); в) \( EH \); г) дуж \( EF \) без тачке \( F \).
Средњи: У паралелограму \( ABCD \) дијагонале \( AC \) и \( BD \) секу се у тачки \( O \). Познато је \( AB = 14 \text{ cm} \), \( BC = 8 \text{ cm} \), \( AC = 18 \text{ cm} \) и \( BD = 14 \text{ cm} \). Одреди \( CD \), \( DA \), \( AO \) и \( OD \).
Наспрамне странице паралелограма су једнаке: \( CD = AB = 14 \text{ cm} \), \( DA = BC = 8 \text{ cm} \).
Дијагонале се полове: \( AO = AC : 2 = 9 \text{ cm} \), \( OD = BD : 2 = 7 \text{ cm} \).
Одговор: \( CD = 14 \text{ cm} \), \( DA = 8 \text{ cm} \), \( AO = 9 \text{ cm} \), \( OD = 7 \text{ cm} \).
Дијагонале се полове: \( AO = AC : 2 = 9 \text{ cm} \), \( OD = BD : 2 = 7 \text{ cm} \).
Одговор: \( CD = 14 \text{ cm} \), \( DA = 8 \text{ cm} \), \( AO = 9 \text{ cm} \), \( OD = 7 \text{ cm} \).
Тежак: Колико највише заједничких тачака могу имати кружница и троугаона линија? Објасни.
Троугаона линија је унија три странице, а свака страница лежи на једној правој. Права и кружница имају највише две заједничке тачке, па свака страница има са кружницом највише две заједничке тачке. Три странице дају највише \( 3 \cdot 2 = 6 \) заједничких тачака.
То је могуће: кружница са центром у средишту једнакостраничног троугла, чији је полупречник већи од растојања центра до страница, а мањи од растојања центра до темена, сече сваку страницу у две тачке.
Одговор: највише 6 заједничких тачака.
То је могуће: кружница са центром у средишту једнакостраничног троугла, чији је полупречник већи од растојања центра до страница, а мањи од растојања центра до темена, сече сваку страницу у две тачке.
Одговор: највише 6 заједничких тачака.
