Најважније из лекције
Разломак као дељење: \( \frac{a}{b} = a : b \). Природни број је разломак са имениоцем 1 (\( n = \frac{n}{1} \)).
Врсте: Прави (\( a < b \), вредност \( < 1 \), нпр. \( \frac{2}{3} \)) и неправи (\( a \ge b \), вредност \( \ge 1 \), нпр. \( \frac{7}{4} \)).
Мешовити број: Неправи разломак претварамо у мешовити број дељењем са остатком: \( \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \); обрнуто: \( 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \).
Проширивање и скраћивање: \( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \) и \( \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \). Разломак је нескратив када су бројилац и именилац узајамно прости.
Упоређивање: За исти именилац већи је разломак са већим бројиоцем (\( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \)); за исти бројилац већи је онај са мањим имениоцем (\( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} \)).
Врсте: Прави (\( a < b \), вредност \( < 1 \), нпр. \( \frac{2}{3} \)) и неправи (\( a \ge b \), вредност \( \ge 1 \), нпр. \( \frac{7}{4} \)).
Мешовити број: Неправи разломак претварамо у мешовити број дељењем са остатком: \( \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \); обрнуто: \( 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \).
Проширивање и скраћивање: \( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \) и \( \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \). Разломак је нескратив када су бројилац и именилац узајамно прости.
Упоређивање: За исти именилац већи је разломак са већим бројиоцем (\( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \)); за исти бројилац већи је онај са мањим имениоцем (\( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} \)).
Разломак је број којим описујемо један или више једнаких делова неке целине. Записује се помоћу два броја и разломачке црте: \(\frac{a}{b}\).
Именилац (број испод црте) одређује на колико је једнаких делова целина подељена.
Бројилац (број изнад црте) одређује колико је таквих делова узето.
Разломачка црта представља симбол дељења. За сваки природан број \( a \) и \( b \) важи:
\[ \frac{a}{b} = a : b \]
Сваки природан број \( n \) може се записати у облику разломка:
\[ n = \frac{n}{1} \quad \text{и} \quad 1 = \frac{n}{n} \]
Такође важи \( \frac{0}{n} = 0 \). Ако именилац дели бројилац (\( b \mid a \)), разломак је природан број или нула (нпр. \( \frac{12}{3} = 4 \)).
Запиши количник \( 7 : 9 \) као разломак, а разломак \( \frac{24}{6} \) као природан број.
\( 7 : 9 = \frac{7}{9} \)
\( \frac{24}{6} = 24 : 6 = 4 \)
\( \frac{24}{6} = 24 : 6 = 4 \)
Прави разломак је разломак код кога је бројилац мањи од имениоца (\( a < b \)). Његова вредност је увек мања од 1 целог.
Неправи разломак је разломак код кога је бројилац већи или једнак имениоцу (\( a \ge b \)). Његова вредност је једнака или већа од 1 целог.
За именилац 5:
- Прави разломци: \( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \)
- Неправи разломци: \( \frac{5}{5}, \frac{6}{5}, \frac{9}{5}, \frac{14}{5} \dots \)
Одреди које вредности може имати природни број \( x \) тако да разломак \( \frac{x}{6} \) буде прави.
Да би разломак био прави, мора важити \( x < 6 \). Будући да је \( x \in \mathbb{N} \), решења су \( x \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Мешовити број је запис неправиг разломка помоћу целих јединица и правог разломка: \( q\frac{r}{b} \).
Подели се бројилац имениоцем са остатком (\( a : b = q \) и остатак \( r \)). Количник постаје број целих, остатак је нови бројилац, а именилац се преписује:
\[ \frac{a}{b} = q\frac{r}{b} \]
Број целих се помножи имениоцем и томе се дода бројилац. Тај збир постаје нови бројилац, а именилац остаје исти:
\[ q\frac{r}{b} = \frac{q \cdot b + r}{b} \]
Мешовити број \( n\frac{r}{b} \) увек се налази између два узастопна природна броја: \( n < n\frac{r}{b} < n+1 \).
\[ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} \quad (17 : 5 = 3 \text{ остатак } 2) \implies 3 < 3\frac{2}{5} < 4 \]
\[ 4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7} \]
Претвори разломак \( \frac{29}{4} \) у мешовити број, а мешовити број \( 5\frac{2}{3} \) у неправи разломак.
\( 29 : 4 = 7 \) (остатак 1), па је \( \frac{29}{4} = 7\frac{1}{4} \).
\( 5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3} \).
\( 5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3} \).
Проширивање: Бројилац и именилац се помноже истим природним бројем \( n > 1 \). Вредност разломка остаје иста:
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
Скраћивање: Бројилац и именилац се поделе заједничким делиоцем \( n > 1 \). Вредност разломка остаје иста:
\[ \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
Разломак је нескратив (несводљив) када су му бројилац и именилац узајамно прости бројеви (немају заједничких делилаца осим 1).
Проширивање броја \( \frac{3}{5} \) бројем 4: \( \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} \).
Скраћивање броја \( \frac{18}{24} \) бројем 6: \( \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4} \) (нескратив разломак).
Скраћивање броја \( \frac{18}{24} \) бројем 6: \( \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4} \) (нескратив разломак).
Скрати разломак \( \frac{30}{45} \) до нескративог разломка.
Делимо бројилац и именилац највећим заједничким делиоцем (НЗД за 30 и 45 је 15):
\[ \frac{30 : 15}{45 : 15} = \frac{2}{3} \]
Једнаки имениоци: Од два разломка са истим имениоцима, већи је онај који има већи бројилац.
\[ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \quad \text{ако је } a > b \]
Једнаки бројиоци: Од два разломка са истим бројиоцима, већи је онај који има мањи именилац.
\[ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} \quad \text{ако је } b < c \]
\[ \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \quad (\text{јер је } 5 > 3) \]
\[ \frac{4}{7} > \frac{4}{9} \quad (\text{јер је } 7 < 9) \]
Упореди разломке: а) \( \frac{7}{12} \) и \( \frac{9}{12} \); б) \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{5}{8} \).
а) Пошто су имениоци једнаки, већи је онај са већим бројиоцем: \( \frac{7}{12} < \frac{9}{12} \).
б) Пошто су бројиоци једнаки, већи је онај са мањим имениоцем: \( \frac{5}{6} > \frac{5}{8} \).
б) Пошто су бројиоци једнаки, већи је онај са мањим имениоцем: \( \frac{5}{6} > \frac{5}{8} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
Међу наведеним разломцима издвој праве разломке и претвори све неправи разломке у мешовите бројеве:
\[ \frac{4}{9}, \quad \frac{13}{5}, \quad \frac{8}{8}, \quad \frac{19}{6} \]
Прави разломак је само онај код кога је бројилац мањи од имениоца: \( \frac{4}{9} \).
Остали су неправи разломци:
Остали су неправи разломци:
- \( \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} \) (јер је \( 13 : 5 = 2 \) остатак 3)
- \( \frac{8}{8} = 1 \) цела јединица
- \( \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \) (јер је \( 19 : 6 = 3 \) остатак 1)
Задатак 2 (средњи):
Дат је разломак \( \frac{36}{48} \).
а) Скрати га тако да постане нескратив.
б) Добијени нескратив разломак потом прошири бројем 7.
а) Скрати га тако да постане нескратив.
б) Добијени нескратив разломак потом прошири бројем 7.
а) Највећи заједнички делилац за 36 и 48 је 12:
\[ \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4} \]
б) Проширивањем са 7 добија се:
\[ \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} \]
Задатак 3 (средњи):
Поређај по величини од најмањег до највећег следеће разломке користећи правила о поређењу разломака:
\[ \frac{3}{11}, \quad \frac{7}{11}, \quad \frac{3}{5}, \quad \frac{3}{8} \]
Упоредимо прво разломке са једнаким бројиоцима:
\[ \frac{3}{11} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5} \]
Знамо да је \( \frac{3}{11} < \frac{7}{11} \). Такође, пошто је \( \frac{7}{11} > \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \), а \( \frac{3}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \), важи да је \( \frac{3}{8} < \frac{7}{11} \).
Упоређивањем са истим имениоцем \( \frac{7}{11} = \frac{35}{55} \) и \( \frac{3}{5} = \frac{33}{55} \), видимо да је \( \frac{3}{5} < \frac{7}{11} \).
Коначан поредак: \[ \frac{3}{11} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5} < \frac{7}{11} \]
Упоређивањем са истим имениоцем \( \frac{7}{11} = \frac{35}{55} \) и \( \frac{3}{5} = \frac{33}{55} \), видимо да је \( \frac{3}{5} < \frac{7}{11} \).
Коначан поредак: \[ \frac{3}{11} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5} < \frac{7}{11} \]
Задатак 4 (тежак):
Четири пријатеља деле 26 чоколада на једнаке делове.
а) Изрази део који добија сваки од њих у облику нескративог неправиг разломка.
б) Запиши тај резултат као мешовити број.
в) Између која два узастопна природна броја се налази тај износ?
а) Изрази део који добија сваки од њих у облику нескративог неправиг разломка.
б) Запиши тај резултат као мешовити број.
в) Између која два узастопна природна броја се налази тај износ?
а) Свако добија \( 26 : 4 = \frac{26}{4} \) чоколада. Скраћивањем са 2 добија се нескратив разломак:
\[ \frac{26 : 2}{4 : 2} = \frac{13}{2} \]
б) Претварањем у мешовити број: \( 13 : 2 = 6 \) (остатак 1), па је то:
\[ 6\frac{1}{2} \]
в) Будући да има 6 целих и још пола чоколаде, тај број се налази између бројева 6 и 7:
\[ 6 < 6\frac{1}{2} < 7 \]
