Најважније из лекције
Угао и његови елементи: Образују га две полуправе (краци) са заједничким почетком (теме) и област равни коју захватају. Обележава се словима кракова, трима тачкама (\( \angle ABC \)) или грчким словима (\( \alpha, \beta, \dots \)).
Централни угао, лук и тетива: Теме централног угла је у центру кружнице. Два централна угла исте кружнице су једнака ако су им једнаке одговарајуће тетиве. На овом својству заснива се преношење угла помоћу шестара и лењира.
Операције са угловима: Сабирање се врши конструктивним надовезивањем углова, а одузимање преношењем мањег угла у област већег.
Врсте углова:
Централни угао, лук и тетива: Теме централног угла је у центру кружнице. Два централна угла исте кружнице су једнака ако су им једнаке одговарајуће тетиве. На овом својству заснива се преношење угла помоћу шестара и лењира.
Операције са угловима: Сабирање се врши конструктивним надовезивањем углова, а одузимање преношењем мањег угла у област већег.
Врсте углова:
- Оштар: мањи од правог.
- Прав: једнак свом упоредном углу (краци образују нормалне праве \( a \perp b \)).
- Туп: већи од правог, а мањи од опруженог.
- Опружен: краци образују праву линију.
- Упоредни углови: суседни углови чији је збир опружен угао.
- Унакрсни углови: несуседни углови које образују две праве које се секу; унакрсни углови су увек једнаки.
Угаона линија је унија две полуправе које имају заједничку почетну тачку. Ако те две различите полуправе припадају истој правој, оне образују опружену угаону линију.
Угао је геометријска фигура коју образују угаона линија и једна од две области на које та линија дели раван.
Заједничка почетна тачка полуправих назива се теме угла, а саме полуправе су краци угла.
Ако угаона линија није опружена, раван се дели на једну конвексну и једну неконвексну област. Уобичајено се посматра конвексни угао, док се неконвексни угао посебно наглашава. Опружена угаона линија дели раван на две конвексне полуравни.
Углови се означавају помоћу кракова и темена или грчким словима:
- Преко кракова: \( \angle pOq \), где је \( O \) теме, а \( p \) и \( q \) краци.
- Преко три тачке: \( \angle ABC \), где тачка \( B \) представља теме (увек у средини), а тачке \( A \) и \( C \) припадају крацима.
- Малим словима грчког алфабета: \( \alpha \) (алфа), \( \beta \) (бета), \( \gamma \) (гама), \( \delta \) (делта), \( \varphi \) (фи).
Код троугла \( ABC \), углове чине по две странице које се спајају у сваком темену: \( \angle CAB \), \( \angle ABC \) и \( \angle BCA \). Темена троугла су истовремено и темена ових углова.
Како се назива теме, а како краци угла \( \angle MPN \)?
Теме угла је тачка \( P \) (средње слово у запису), а краци су полуправе \( PM \) и \( PN \).
Централни угао кружнице је угао чије се теме поклапа са центром те кружнице.
Кружни лук је део кружнице ограничен са две тачке те кружнице.
Тетива је дуж чије крајње тачке леже на кружници.
Кружнице које имају исти центар, а различите полупречнике називају се концентричне кружнице. Сваком углу се може придружити бесконачно много концентричних кружница са центром у његовом темену.
Два конвексна централна угла исте кружнице (или кружница једнаких полупречника) једнака су ако и само ако су једнаке тетиве које спајају пресечне тачке њихових кракова и кружнице.
Ако два централна угла \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) у истој кружници имају одговарајуће тетиве једнаких дужина \( AB = CD \), шта можемо закључити о тим угловима?
Углови су једнаки, односно \( \angle AOB = \angle COD \).
Преношење угла је геометријска конструкција којом се на новој позицији (на датој полуправој) конструише угао једнак задатом углу помоћу шестара и лењира.
Из темена датог угла \( O \) опише се произвољан кружни лук који сече краке у тачкама \( A \) и \( B \).
Истим полупречником опише се лук са центром у темену нове полуправе \( O_1 \), тако да пресече полуправу у тачки \( A_1 \).
Шестаром се одмери дужина тетиве \( AB \), па се из тачке \( A_1 \) тим отвором шестара пресече претходно нацртани лук у тачки \( B_1 \).
Повуче се полуправа кроз \( O_1 \) и \( B_1 \). Конструисани угао \( \angle A_1O_1B_1 \) једнак је полазном углу.
Угао \( \alpha \) је мањи од угла \( \beta \) (\( \alpha < \beta \)) ако се угао \( \alpha \) преношењем може сместити у област угла \( \beta \) тако да им се поклопе темена и по један крак, при чему други крак угла \( \alpha \) лежи у унутрашњости угла \( \beta \).
Два угла су суседна (надовезана) ако имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области немају заједничких тачака.
\[ \angle aOc = \angle aOb + \angle bOc = \alpha + \beta \]
Збир углова \( \alpha \) и \( \beta \) јесте унија суседних углова добијених надовезивањем.
\[ \angle xOb = \angle aOb - \angle aOx = \beta - \alpha \quad (\text{где је } \beta > \alpha) \]
Разлика се конструише преношењем мањег угла у унутрашњост већег угла уз заједнички крак. Преостали део угла представља разлику.
Умножак угла \( n \cdot \alpha \) конструише се тако што се угао \( \alpha \) надовезује на самог себе \( n \) пута. На пример, угао \( 3\alpha \) добија се надовезивањем три узастопна угла једнака углу \( \alpha \).
Како се конструише угао \( 2\beta - \alpha \) ако су познати углови \( \alpha \) и \( \beta \) (\( 2\beta > \alpha \))?
Прво се угао \( \beta \) надовеже на самог себе чиме се добија угао \( 2\beta \). Затим се унутар добијеног угла од једног његовог крака нанесе угао \( \alpha \). Преостали угао је тражена разлика \( 2\beta - \alpha \).
Опружен угао је угао чији краци образују праву (чине га две супротне полуправе).
Упоредни углови су суседни углови чији је збир опружен угао. Њихови несуседни краци образују праву линију.
Прав угао је угао који је једнак свом упоредном углу (половина опруженог угла).
Оштар угао је сваки угао који је мањи од правог угла.
Туп угао је сваки угао који је већи од правог, а мањи од опруженог угла.
Унакрсни углови су несуседни конвексни углови које одређују две праве које се секу.
Унакрсни углови су међусобно једнаки.
Нормалне (управне) праве (\( a \perp b \)) јесу праве које леже у истој равни и секу се под правим углом.
У тачки додира кружнице и тангенте, угао између тангенте и одговарајућег полупречника кружнице увек је прав угао.
Ако су два угла упоредна и један од њих је оштар, какав мора бити други угао?
Други угао мора бити туп, јер збир та два угла чини опружен угао, а један је мањи од правог.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одреди врсту сваког од следећих углова (оштар, прав, туп или опружен):
а) угао мањи од правог угла;
б) угао једнак свом упоредном углу;
в) угао чији краци припадају истој правој и чине супротне полуправе;
г) угао који је већи од правог, а мањи од опруженог.
а) угао мањи од правог угла;
б) угао једнак свом упоредном углу;
в) угао чији краци припадају истој правој и чине супротне полуправе;
г) угао који је већи од правог, а мањи од опруженог.
а) Оштар угао;
б) Прав угао;
в) Опружен угао;
г) Туп угао.
б) Прав угао;
в) Опружен угао;
г) Туп угао.
Задатак 2 (средњи): Две праве се секу у једној тачки и образују четири конвексна угла.
а) Како се називају парови наспрамних углова и у каквом су они односу?
б) Ако је један од добијена четири угла прав, какви су остали углови?
а) Како се називају парови наспрамних углова и у каквом су они односу?
б) Ако је један од добијена четири угла прав, какви су остали углови?
а) Наспрамни углови се називају унакрсни углови и они су међусобно једнаки.
б) Сва три преостала угла су такође прави углови (њему унакрсан угао је прав, а оба његова упоредна угла су такође прави јер је прав угао једнак свом упоредном углу).
б) Сва три преостала угла су такође прави углови (њему унакрсан угао је прав, а оба његова упоредна угла су такође прави јер је прав угао једнак свом упоредном углу).
Задатак 3 (средњи): Дата су два оштра угла \( \alpha \) и \( \beta \).
а) Да ли њихов збир \( \alpha + \beta \) мора бити оштар угао? Обраложи.
б) Какав угао представља њихова разлика \( \alpha - \beta \) (при чему је \( \alpha > \beta \))?
а) Да ли њихов збир \( \alpha + \beta \) мора бити оштар угао? Обраложи.
б) Какав угао представља њихова разлика \( \alpha - \beta \) (при чему је \( \alpha > \beta \))?
а) Не мора. Збир два оштра угла може бити оштар, прав (ако заједно чине прав угао) или туп угао.
б) Разлика \( \alpha - \beta \) је увек оштар угао, јер је угао \( \alpha \) оштар (мањи од правог), па умањивањем за угао \( \beta \) остаје и даље мањи од правог угла.
б) Разлика \( \alpha - \beta \) је увек оштар угао, јер је угао \( \alpha \) оштар (мањи од правог), па умањивањем за угао \( \beta \) остаје и даље мањи од правог угла.
Задатак 4 (тежак): Углови \( \alpha \) и \( \beta \) су упоредни. Ако се зна да је угао \( \beta \) једнак троструком углу \( \alpha \) (\( \beta = 3\alpha \)), одреди колико углова једнаких углу \( \alpha \) чини један опружен угао и какви су по врсти углови \( \alpha \) и \( \beta \).
Пошто су \( \alpha \) и \( \beta \) упоредни, њихов збир чини опружен угао:
\[ \text{опружен угао} = \alpha + \beta = \alpha + 3\alpha = 4\alpha \]
Дакле, један опружен угао садржи тачно 4 угла једнака углу \( \alpha \).
Како два угла \( \alpha \) дају прав угао (\( 2\alpha = \text{прав угао} \)):
Како два угла \( \alpha \) дају прав угао (\( 2\alpha = \text{прав угао} \)):
- Угао \( \alpha \) је половина правог угла, што значи да је оштар угао.
- Угао \( \beta = 3\alpha \) је већи од правог угла (\( 2\alpha \)), а мањи од опруженог (\( 4\alpha \)), па је туп угао.
