Најважније из лекције
Разломак као дељење: \( \frac{a}{b} = a : b \) (бројилац броји, именилац именује делове целине; \( b \neq 0 \)). Природни бројеви: \( n = \frac{n}{1} \), \( \frac{n}{n} = 1 \).
Врсте разломака: Прави (\( a < b \), нпр. \( \frac{3}{4} \)) и неправи (\( a \ge b \), нпр. \( \frac{7}{4} \)).
Мешовити број: Запис неправиг разломка помоћу целих и правог разломка: \( \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \) јер је \( 7:4=1 \) (ост. 3). Обратно: \( 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \).
Проширивање и скраћивање: Вредност се не мења множењем (\( \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)) или дељењем (\( \frac{a : n}{b : n} \)) бројиоца и имениоца истим бројем.
Упоређивање: Код истих именилаца већи је онај са већим бројиоцем (\( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \)); код истих бројилаца већи је са мањим имениоцем (\( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} \)).
Сабирање и одузимање: Код једнаких именилаца: \( \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c} \). Код различитих именилаца: прво проширити на заједнички именилац (НЗС), па сабрати/одузети.
Врсте разломака: Прави (\( a < b \), нпр. \( \frac{3}{4} \)) и неправи (\( a \ge b \), нпр. \( \frac{7}{4} \)).
Мешовити број: Запис неправиг разломка помоћу целих и правог разломка: \( \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \) јер је \( 7:4=1 \) (ост. 3). Обратно: \( 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \).
Проширивање и скраћивање: Вредност се не мења множењем (\( \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)) или дељењем (\( \frac{a : n}{b : n} \)) бројиоца и имениоца истим бројем.
Упоређивање: Код истих именилаца већи је онај са већим бројиоцем (\( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \)); код истих бројилаца већи је са мањим имениоцем (\( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} \)).
Сабирање и одузимање: Код једнаких именилаца: \( \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c} \). Код различитих именилаца: прво проширити на заједнички именилац (НЗС), па сабрати/одузети.
Разломак описује једнаке делове неке целине. Записује се помоћу два броја и разломачке црте.
Именилац (број испод разломачке црте) показује на колико је једнаких делова целина подељена и именује делове (половине, трећине, четвртине...).
Бројилац (број изнад разломачке црте) показује колико је таквих делова узето (броји делове).
\[ \frac{a}{b} = a : b \quad (a \in \mathbb{N}_0, \; b \in \mathbb{N}) \]
Разломачка црта представља знак дељења. Разломак је количник бројиоца и имениоца.
Сваки природан број може се записати као разломак:
\[ n = \frac{n}{1}, \quad \frac{n}{n} = 1, \quad \frac{0}{n} = 0 \]
Ако именилац дели бројилац без остатка (\( b \mid a \)), тај разломак представља природан број (нпр. \( \frac{8}{2} = 4 \)). Скуп \( \mathbb{N}_0 \) је подскуп скупа разломака.
Количник \( 2 : 3 \) представља разломак \( \frac{2}{3} \).
Број 4 може се записати као: \( 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{40}{10} \).
Број 4 може се записати као: \( 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{40}{10} \).
Запиши у облику разломка количнике \( 5 : 7 \) и \( 12 : 4 \), па одреди који од њих је природан број.
\( 5 : 7 = \frac{5}{7} \)
\( 12 : 4 = \frac{12}{4} = 3 \)
Одговор: Разломак \( \frac{12}{4} \) је природан број јер је 12 дељиво са 4.
\( 12 : 4 = \frac{12}{4} = 3 \)
Одговор: Разломак \( \frac{12}{4} \) је природан број јер је 12 дељиво са 4.
Прави разломак је разломак код кога је бројилац мањи од имениоца (\( a < b \)). Његова вредност је мања од 1 целог.
Неправи разломак је разломак код кога је бројилац већи или једнак имениоцу (\( a \ge b \)). Његова вредност је већа или једнака 1 целом.
Мешовити број је запис неправиг разломка помоћу броја целих и одговарајућег правог разломка.
Претварање неправиг разломка у мешовити број:
Бројилац се подели имениоцем са остатком: \[ \frac{a}{b} = q\frac{r}{b} \quad (a : b = q \text{ са остатком } r) \] Количник \( q \) представља број целих, остатак \( r \) постаје нови бројилац, а именилац \( b \) остаје исти.
Бројилац се подели имениоцем са остатком: \[ \frac{a}{b} = q\frac{r}{b} \quad (a : b = q \text{ са остатком } r) \] Количник \( q \) представља број целих, остатак \( r \) постаје нови бројилац, а именилац \( b \) остаје исти.
Претварање мешовитог броја у неправи разломак:
\[ q\frac{r}{b} = \frac{q \cdot b + r}{b} \]
Мешовити број \( n\frac{r}{b} \) увек се налази између природних бројева \( n \) и \( n + 1 \):
\[ n < n\frac{r}{b} < n + 1 \]
На пример, \( 2 < 2\frac{1}{4} < 3 \).
Претварање неправиг разломка у мешовити број:
\[ \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \quad (\text{јер је } 11 : 6 = 1 \text{ ост. } 5) \]
Претварање мешовитог броја у неправи разломак:
\[ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \]
Претвори разломак \( \frac{29}{6} \) у мешовити број, а мешовити број \( 3\frac{4}{7} \) у неправи разломак.
1) \( 29 : 6 = 4 \) (остатак 5), па је \( \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6} \).
2) \( 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{21 + 4}{7} = \frac{25}{7} \).
2) \( 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{21 + 4}{7} = \frac{25}{7} \).
Проширити разломак значи помножити његов бројилац и именилац истим природним бројем \( n > 1 \):
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
Вредност разломка се при томе не мења.
Скратити разломак значи поделити његов бројилац и именилац њиховим заједничким делиоцем \( n > 1 \):
\[ \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
Разломак је несводљив (нескратив) ако су његов бројилац и именилац узајамно прости бројеви (немају заједничких делилаца осим броја 1).
Правила за упоређивање разломака:
- Једнаки имениоци: Већи је онај разломак који има већи бројилац. \[ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \quad \text{ако је } a > b \]
- Једнаки бројиоци: Већи је онај разломак који има мањи именилац. \[ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} \quad \text{ако је } b < c \]
- Различити бројиоци и имениоци: Разломци се прво проширивањем или скраћивањем сведу на једнаке имениоце, па се упореде њихови бројиоци.
Проширивање: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \).
Скраћивање: \( \frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \) (разломак \( \frac{2}{3} \) је несводљив).
Упоређивање: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \) (исти имениоци); \( \frac{4}{5} > \frac{4}{9} \) (исти бројиоци).
Скраћивање: \( \frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \) (разломак \( \frac{2}{3} \) је несводљив).
Упоређивање: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \) (исти имениоци); \( \frac{4}{5} > \frac{4}{9} \) (исти бројиоци).
Скрати разломак \( \frac{24}{36} \) до несводљивог облика.
Највећи заједнички делилац за 24 и 36 је 12.
\[ \frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3} \]
Одговор: Несводљив облик је \( \frac{2}{3} \).
Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца:
Именилац се преписује, а бројиоци се саберу односно одузму: \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \] \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \quad (a \ge b) \]
Именилац се преписује, а бројиоци се саберу односно одузму: \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \] \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \quad (a \ge b) \]
Довођење на заједнички именилац: Ако разломци имају различите имениоце, прво их проширивањем или скраћивањем доводимо до једнаких именилаца (најмањи заједнички садржалац за имениоце).
Рачунање: Саберу се или одузму бројиоци, а заједнички именилац се препише. Добијени разломак се по потреби скрати до нескративог разломка или претвори у мешовити број.
Исти имениоци:
\[ \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}, \quad \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
Различити имениоци (заједнички именилац за 4 и 6 је 12):
\[ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} \]
Израчунај: \( \frac{7}{10} - \frac{2}{5} \).
Проширимо разломак \( \frac{2}{5} \) бројем 2 да би имао именилац 10:
\[ \frac{7}{10} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7 - 4}{10} = \frac{3}{10} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
а) Разврстај следеће разломке на праве и неправи: \( \frac{3}{8}, \; \frac{7}{5}, \; \frac{9}{9}, \; \frac{1}{6} \).
б) Претвори мешовити број \( 4\frac{2}{3} \) у неправи разломак.
а) Разврстај следеће разломке на праве и неправи: \( \frac{3}{8}, \; \frac{7}{5}, \; \frac{9}{9}, \; \frac{1}{6} \).
б) Претвори мешовити број \( 4\frac{2}{3} \) у неправи разломак.
а)
- Прави разломци (бројилац мањи од имениоца): \( \frac{3}{8}, \; \frac{1}{6} \).
- Неправи разломци (бројилац већи или једнак имениоцу): \( \frac{7}{5}, \; \frac{9}{9} \).
Задатак 2 (средњи):
Упореди разломке:
а) \( \frac{4}{7} \) и \( \frac{4}{9} \)
б) \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{7}{8} \)
а) \( \frac{4}{7} \) и \( \frac{4}{9} \)
б) \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{7}{8} \)
а) Разломци имају једнаке бројиоце; већи је онај са мањим имениоцем:
\[ \frac{4}{7} > \frac{4}{9} \]
б) Доводимо их на заједнички именилац (НЗС за 6 и 8 је 24):
\[ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \]
\[ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} \]
Како је \( \frac{20}{24} < \frac{21}{24} \), следи да је \( \frac{5}{6} < \frac{7}{8} \).
Задатак 3 (средњи):
Израчунај вредност израза и добијени резултат скрати до нескративог разломка:
\[ \frac{5}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \]
Најмањи заједнички именилац за 12, 4 и 6 је 12.
Проширимо разломке: \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} \] Сада рачунамо: \[ \frac{5}{12} + \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5 + 3 - 2}{12} = \frac{6}{12} \] Скратимо разломак са 6: \[ \frac{6 : 6}{12 : 6} = \frac{1}{2} \] Одговор: \( \frac{1}{2} \).
Проширимо разломке: \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} \] Сада рачунамо: \[ \frac{5}{12} + \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5 + 3 - 2}{12} = \frac{6}{12} \] Скратимо разломак са 6: \[ \frac{6 : 6}{12 : 6} = \frac{1}{2} \] Одговор: \( \frac{1}{2} \).
Задатак 4 (тежак):
Израчунај:
\[ 3\frac{1}{5} - \left( 1\frac{1}{2} + \frac{3}{10} \right) \]
Резултат прикажи као мешовити број.
1. начин: Претварањем у неправи разломке:
\[ 3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Заједнички именилац за 5, 2 и 10 је 10.
Прво израчунамо израз у загради: \[ \frac{3}{2} + \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{10} = \frac{15}{10} + \frac{3}{10} = \frac{18}{10} \] Затим одузмемо од првог разломка: \[ \frac{16}{5} - \frac{18}{10} = \frac{16 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{18}{10} = \frac{32}{10} - \frac{18}{10} = \frac{14}{10} \] Скратимо разломак са 2: \[ \frac{14 : 2}{10 : 2} = \frac{7}{5} \] Претворимо у мешовити број: \[ \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} \] Одговор: \( 1\frac{2}{5} \).
Прво израчунамо израз у загради: \[ \frac{3}{2} + \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{10} = \frac{15}{10} + \frac{3}{10} = \frac{18}{10} \] Затим одузмемо од првог разломка: \[ \frac{16}{5} - \frac{18}{10} = \frac{16 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{18}{10} = \frac{32}{10} - \frac{18}{10} = \frac{14}{10} \] Скратимо разломак са 2: \[ \frac{14 : 2}{10 : 2} = \frac{7}{5} \] Претворимо у мешовити број: \[ \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} \] Одговор: \( 1\frac{2}{5} \).
