Најважније из лекције
Конструкције и подударност троугла: За једнозначно одређивање троугла користе се четири става:
- СУС: две странице и захваћени угао (нпр. \( a=4\text{ cm}, b=3\text{ cm}, \gamma=60^\circ \)).
- УСУ: једна страница и два налегла угла (нпр. \( c=5\text{ cm}, \alpha=45^\circ, \beta=30^\circ \)).
- ССС: све три странице уз услов \( a+b>c \) (нпр. странице \( 3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 5\text{ cm} \)).
- ССУ: две странице и угао наспрам веће странице.
- Описана кружница (\( O, R \)): пролази кроз сва три темена. Центар \( O \) је пресек симетрала страница. Налази се унутар код оштроуглог, на средини хипотенузе (\( c=2R \)) код правоуглог, и ван троугла код тупоуглог троугла.
- Уписана кружница (\( S, r \)): додирује све три странице. Центар \( S \) је пресек симетрала углова и увек се налази у унутрашњости троугла.
Преношење дужи: Нека је дата дуж \( AB \) и полуправа \( Pp \). Тачку \( Q \) на полуправој такву да је \( PQ = AB \) конструишемо тако што:
- Отвором шестара узмемо дужину дужи \( AB \);
- Из почетне тачке \( P \) конструишемо кружни лук полупречника \( AB \). Пресек полуправе \( Pp \) и лука је тачка \( Q \).
Преношење угла: Нека је дат угао \( \sphericalangle pTq \) и полуправа \( Ox \). Полуправу \( Oy \) такву да је \( \sphericalangle xOy = \sphericalangle pTq \) конструишемо тако што:
- Произвољним отвором шестара опишемо лук из темена \( T \) који сече краке угла у двема тачкама;
- Истим отвором шестара опишемо лук из тачке \( O \) који сече полуправу \( Ox \);
- Отвором шестара измеримо тетиву (растојање између пресечних тачака на крацима задатог угла) и пренесемо је са полуправе \( Ox \) на конструисани лук;
- Полуправа \( Oy \) се повуче кроз тачку \( O \) и добијену пресечну тачку лукова.
Троугао је потпуно одређен са три независна елемента. Постоје четири основна типа конструкција троугла:
Конструкција троугла када су дате две странице и угао који оне заклапају.
Поступак: Конструише се једна страница, затим се у једном њеном темену конструише задати угао, а на други крак тог угла шестаром се нанесе дужина друге странице чиме се одређује треће теме.
Поступак: Конструише се једна страница, затим се у једном њеном темену конструише задати угао, а на други крак тог угла шестаром се нанесе дужина друге странице чиме се одређује треће теме.
Конструкција троугла када је дата једна страница и два угла која на њу належу.
Поступак: Конструише се дата страница, а затим се у њеним крајњим тачкама конструишу одговарајући налегли углови. Пресек њихових кракова одређује треће теме.
Поступак: Конструише се дата страница, а затим се у њеним крајњим тачкама конструишу одговарајући налегли углови. Пресек њихових кракова одређује треће теме.
Ако је дат један налегли и један наспрамни угао, трећи угао се најпре израчунава користећи особину да је збир углова у троуглу \( 180^\circ \) (\( \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) \)), па се примењује поступак УСУ.
Конструкција троугла када су дате све три странице.
Поступак: Нацрта се једна страница (нпр. \( AB = c \)). Из темена \( A \) опише се лук полупречника \( b \), а из темена \( B \) лук полупречника \( a \). Пресек та два лука даје теме \( C \).
Поступак: Нацрта се једна страница (нпр. \( AB = c \)). Из темена \( A \) опише се лук полупречника \( b \), а из темена \( B \) лук полупречника \( a \). Пресек та два лука даје теме \( C \).
Конструкција је могућа само ако важи неједнакост троугла: збир дужина сваке две странице мора бити већи од дужине треће странице (\( a + b > c \), \( a + c > b \), \( b + c > a \)).
Конструкција троугла када су дате две странице и угао наспрам веће од њих.
Поступак: Конструише се краћа од датих страница, у њеном темену се конструише задати угао, а из другог темена се опише лук дужине веће странице који сече крак угла у трећем темену.
Поступак: Конструише се краћа од датих страница, у њеном темену се конструише задати угао, а из другог темена се опише лук дужине веће странице који сече крак угла у трећем темену.
Ако је задат угао наспрам мање од две дате странице, конструкција може имати два решења или ниједно решење. Једнозначно решење постоји када је угао наспрам веће странице.
Два троугла су подударна ако се крутим кретањем (померањем, ротацијом или пресликавањем) могу довести до потпуног поклапања.
Подударност троуглова \( ABC \) и \( EFG \) означава се са: \[ \Delta ABC \cong \Delta EFG \]
Ако су два троугла подударна, све њихове одговарајуће странице и сви одговарајући углови су једнаки:
\[ AB = EF, \quad BC = FG, \quad CA = GE \]
\[ \angle A = \angle E, \quad \angle B = \angle F, \quad \angle C = \angle G \]
Ставови о подударности троуглова:
- Став СУС: Два троугла су подударна ако су две странице и њима захваћен угао једног троугла једнаки одговарајућим страницама и захваћеном углу другог троугла.
- Став УСУ: Два троугла су подударна ако су једна страница и на њој налегли углови једног троугла једнаки одговарајућој страници и на њој налеглим угловима другог троугла.
- Став ССС: Два троугла су подударна ако су све три странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла.
- Став ССУ: Два троугла су подударна ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки одговарајућим двема страницама и углу наспрам веће од њих другог троугла.
Ако је \( MQ = PQ \) и \( MN = PN \), дијагонала \( QN \) дели четвороугао \( MNPQ \) на два троугла \( MNQ \) и \( PNQ \).
Пошто је \( MQ = PQ \), \( MN = PN \) и страница \( QN \) заједничка, према ставу ССС важи \( \Delta MNQ \cong \Delta PNQ \).
Из подударности следи да је \( \angle MQN = \angle PQN \), па је права \( QN \) симетрала угла \( \angle MQP \).
Пошто је \( MQ = PQ \), \( MN = PN \) и страница \( QN \) заједничка, према ставу ССС важи \( \Delta MNQ \cong \Delta PNQ \).
Из подударности следи да је \( \angle MQN = \angle PQN \), па је права \( QN \) симетрала угла \( \angle MQP \).
Описана кружница троугла је кружница која садржи сва три темена троугла. Троугао је тада уписан у кружницу.
Центар описане кружнице (ознака \( O \)) јесте тачка пресека симетрала свих трију страница троугла. Једнако је удаљен од свих темена троугла:
\[ OA = OB = OC = R \]
где је \( R \) полупречник описане кружнице.
Положај центра \( O \) у зависности од врсте троугла:
| Врста троугла | Положај центра \( O \) описане кружнице |
|---|---|
| Оштроугли троугао | У унутрашњости троугла |
| Правоугли троугао | У средишту хипотенузе (хипотенуза је пречник: \( c = 2R \)) |
| Тупоугли троугао | У спољашњој области троугла (ван троугла) |
- Конструишу се симетрале било које две странице троугла (нпр. \( s_{AB} \) и \( s_{BC} \));
- Пресек тих симетрала одређује центар \( O \);
- Опише се кружница \( k(O, OA) \).
Уписана кружница троугла је кружница која изнутра додирује све три странице троугла. Троугао је тада описан око кружнице.
Центар уписане кружнице (ознака \( S \)) јесте тачка пресека симетрала сва три унутрашња угла троугла. Једнако је удаљен од свих страница троугла:
\[ r = d(S, AB) = d(S, BC) = d(S, CA) \]
где је \( r \) полупречник уписане кружнице (дужина нормале спуштене из тачке \( S \) на било коју страницу).
Центар уписане кружнице \( S \) увек се налази у унутрашњости троугла, без обзира на то да ли је троугао оштроугли, правоугли или тупоугли.
Код једнакостраничног троугла центар описане кружнице \( O \) и центар уписане кружнице \( S \) се поклапају у једној истој тачки.
- Конструишу се симетрале било која два угла троугла;
- Пресек симетрала углова одређује центар \( S \);
- Из тачке \( S \) конструише се нормала на једну страницу (нпр. \( AB \)) и одреди подножје нормале \( D \);
- Опише се кружница \( k(S, SD) \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Дужина хипотенузе правоуглог троугла износи \( 14 \text{ cm} \). Колики је полупречник описане кружнице тог троугла и где се налази њен центар?
Код правоуглог троугла центар описане кружнице налази се на средишту хипотенузе, па је хипотенуза једнака пречнику кружнице (\( c = 2R \)).
\[ R = \frac{c}{2} = \frac{14 \text{ cm}}{2} = 7 \text{ cm} \]
Одговор: Полупречник описане кружнице је \( 7 \text{ cm} \), а њен центар се налази у средишту хипотенузе.
Средњи задатак: Дати су троуглови \( \Delta ABC \) и \( \Delta DEF \). Познато је да је \( AB = DE = 5 \text{ cm} \), \( \angle A = \angle D = 50^\circ \) и \( \angle B = 70^\circ \), док је у \( \Delta DEF \) угао \( \angle F = 60^\circ \). Докажи да су ови троуглови подударни.
Најпре одредимо непознате углове у оба троугла користећи чињеницу да је збир унутрашњих углова троугла \( 180^\circ \):
У \( \Delta ABC \): \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
У \( \Delta DEF \): \( \angle E = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ \).
Сада поредимо троуглове:
У \( \Delta ABC \): \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
У \( \Delta DEF \): \( \angle E = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ \).
Сада поредимо троуглове:
- \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
- \( AB = DE = 5 \text{ cm} \)
- \( \angle B = \angle E = 70^\circ \)
Тежак задатак: У једнакокраком троуглу \( ABC \) (\( AB = AC \)) угао при врху је \( \angle BAC = 40^\circ \). Нека је \( S \) центар уписане кружнице тог троугла. Израчунај меру угла \( \angle BSC \).
1. Израчунавамо углове на основици једнакокраког троугла:
\[ \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \]
2. Тачка \( S \) је центар уписане кружнице, што значи да дужи \( BS \) и \( CS \) представљају симетрале углова на основици:
\[ \angle SBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]
\[ \angle SCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]
3. Посматрамо троугао \( \Delta BSC \). Збир његових углова је \( 180^\circ \):
\[ \angle BSC = 180^\circ - (\angle SBC + \angle SCB) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
Одговор: Мера угла \( \angle BSC \) износи \( 110^\circ \).
