Најважније из лекције
Конструкције углова: Основни угао је \(60^\circ\) (на основу једнакостраничног троугла). Помоћу симетрале угла и сабирања/одузимања углова добијају се углови од \(30^\circ, 15^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 120^\circ, 75^\circ, 105^\circ\).
Ставови подударности: Четири става (СУС, УСУ, ССС, ССУ – угао наспрам дуже странице) служе за доказивање једнакости свих одговарајућих страница и углова и омогућавају једнозначну конструкцију троугла. Став „УУУ” није став подударности.
Описана кружница: Центар је у пресеку симетрала страница. Код оштроуглог троугла је унутар, код правоуглог на средини хипотенузе, а код тупоуглог ван троугла.
Уписана кружница: Центар је у пресеку симетрала углова и увек је унутар троугла.
Једнакостранични троугао: Центри се поклапају, при чему је \(r_o = \frac{2}{3}h\) и \(r_u = \frac{1}{3}h\).
Ставови подударности: Четири става (СУС, УСУ, ССС, ССУ – угао наспрам дуже странице) служе за доказивање једнакости свих одговарајућих страница и углова и омогућавају једнозначну конструкцију троугла. Став „УУУ” није став подударности.
Описана кружница: Центар је у пресеку симетрала страница. Код оштроуглог троугла је унутар, код правоуглог на средини хипотенузе, а код тупоуглог ван троугла.
Уписана кружница: Центар је у пресеку симетрала углова и увек је унутар троугла.
Једнакостранични троугао: Центри се поклапају, при чему је \(r_o = \frac{2}{3}h\) и \(r_u = \frac{1}{3}h\).
Геометријска конструкција представља тачно цртање геометријских фигура коришћењем искључиво лењира (без ознака за мерење) и шестара.
Симетрала угла је полуправа/права која полази из темена угла и дели тај угао на два једнака дела (\(\alpha_1 = \alpha_2\)). Свака тачка симетрале подједнако је удаљена од кракова тог угла.
1. Конструише се произвољна полуправа \(Op\).
2. Из темена \(O\) шестаром се опише кружни лук произвољног полупречника који сече \(Op\) у тачки \(A\).
3. Истим отвором шестара из тачке \(A\) опише се лук који пресеца први лук у тачки \(B\).
4. Полуправа \(Oq\) кроз тачку \(B\) одређује угао \(\angle pOq = 60^\circ\) (јер троугао \(OAB\) представља једнакостранични троугао).
2. Из темена \(O\) шестаром се опише кружни лук произвољног полупречника који сече \(Op\) у тачки \(A\).
3. Истим отвором шестара из тачке \(A\) опише се лук који пресеца први лук у тачки \(B\).
4. Полуправа \(Oq\) кроз тачку \(B\) одређује угао \(\angle pOq = 60^\circ\) (јер троугао \(OAB\) представља једнакостранични троугао).
1. Из темена угла опише се кружни лук произвољног полупречника који сече краке угла у тачкама \(A\) и \(B\).
2. Из тачака \(A\) и \(B\) опишу се два кружна лука једнаких полупречника тако да се пресеку у тачки \(C\).
3. Права (полуправа) одређена теменом и тачком \(C\) је симетрала тог угла.
2. Из тачака \(A\) и \(B\) опишу се два кружна лука једнаких полупречника тако да се пресеку у тачки \(C\).
3. Права (полуправа) одређена теменом и тачком \(C\) је симетрала тог угла.
Изведене конструкције углова:
- \(90^\circ\) – симетрала опруженог угла од \(180^\circ\) (нормала на праву).
- \(30^\circ\) – симетрала угла од \(60^\circ\).
- \(15^\circ\) – симетрала угла од \(30^\circ\).
- \(45^\circ\) – симетрала правог угла од \(90^\circ\) (или као разлика \(60^\circ - 15^\circ\)).
- \(120^\circ\) – надовезивање два суседна угла од по \(60^\circ\) (\(60^\circ + 60^\circ\)).
- \(75^\circ\) – збир углова од \(45^\circ + 30^\circ\) или \(60^\circ + 15^\circ\).
Помоћу лењира и шестара није могуће конструисати сваки угао (нпр. угао од \(20^\circ\)). За цртање и мерење таквих углова користи се угломер.
Како се конструише права паралелна датој правој \(p\) која садржи тачку \(A\) ван ње?
1. Конструише се права \(n\) која пролази кроз тачку \(A\) и нормална је на праву \(p\).
2. Конструише се права \(t\) која пролази кроз тачку \(A\) и нормална је на праву \(n\).
Пошто су обе праве \(p\) и \(t\) нормалне на исту праву \(n\), оне су међусобно паралелне (\(t \parallel p\)).
2. Конструише се права \(t\) која пролази кроз тачку \(A\) и нормална је на праву \(n\).
Пошто су обе праве \(p\) и \(t\) нормалне на исту праву \(n\), оне су међусобно паралелне (\(t \parallel p\)).
Подударност фигура: Две геометријске фигуре су подударне ако се крутим кретањем (транслацијом, ротацијом или осном симетријом) могу довести до потпуног поклапања.
\(\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1\)
Ако су два троугла подударна, све њихове одговарајуће странице су једнаке и сви одговарајући углови су једнаки:
\[ AB = A_1B_1, \quad BC = B_1C_1, \quad CA = C_1A_1 \]
\[ \angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1, \quad \angle C = \angle C_1 \]
Редослед темена при записивању подударности мора тачно одговарати једнаким елементима троуглова.
Једнакост сва три угла (став „УУУ”) није став подударности. Два троугла могу имати једнаке све углове, а да имају потпуно различите дужине страница (нпр. једнакостранични троуглови страница \(3\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\)).
1. Став СУС (страница – угао – страница):
Ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла једнаки одговарајућим двема страницама и њима захваћеном углу другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла једнаки одговарајућим двема страницама и њима захваћеном углу другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
2. Став УСУ (угао – страница – угао):
Ако су једна страница и два угла налегла на ту страницу једног троугла једнаки одговарајућој страници и на њој налеглим угловима другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Ако су једна страница и два угла налегла на ту страницу једног троугла једнаки одговарајућој страници и на њој налеглим угловима другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
3. Став ССС (страница – страница – страница):
Ако су све три странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Ако су све три странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
4. Став ССУ (страница – страница – угао):
Ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу наспрам веће странице другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу наспрам веће странице другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Ако за троуглове \(\Delta ABC\) и \(\Delta DEF\) важи \(AB = DE = 5\text{ cm}\), \(AC = DF = 4\text{ cm}\) и \(\angle BAC = \angle EDF = 50^\circ\), према ставу СУС троуглови су подударни (\(\Delta ABC \cong \Delta DEF\)). Из тога директно следи да је и \(BC = EF\), \(\angle B = \angle E\) и \(\angle C = \angle F\).
У једнакокраком троуглу \(ABC\) (\(AC = BC\)), тачка \(D\) је средиште основице \(AB\). Докажи да је дуж \(CD\) симетрала угла при врху \(C\).
Посматрајмо троуглове \(\Delta ADC\) и \(\Delta BDC\):
Из подударности следи једнакост одговарајућих углова: \(\angle ACD = \angle BCD\).
Пошто дуж \(CD\) дели угао \(\angle ACB\) на два једнака дела, она представља његову симетралу.
- \(AC = BC\) (краци једнакокраког троугла)
- \(AD = DB\) (\(D\) је средиште основице)
- \(CD = CD\) (заједничка страница)
Из подударности следи једнакост одговарајућих углова: \(\angle ACD = \angle BCD\).
Пошто дуж \(CD\) дели угао \(\angle ACB\) на два једнака дела, она представља његову симетралу.
Свака конструкција троугла почиње скицом и анализом, при чему се одређује редослед конструкције елемената на основу познатих ставова о подударности.
Четири основна типа конструкције:
- Конструкција СУС: Конструише се једна страница, затим дати угао у једном темену, и на другом краку угла наноси се дужина друге странице.
- Конструкција УСУ: Конструише се дата страница, а затим на њеним крајевима оба задата налегла угла. Пресек њихових слободних кракова одређује треће теме.
- Конструкција ССС: Конструише се једна страница (нпр. \(AB\)). Треће теме се добија као пресек два кружна лука: једног из тачке \(A\) полупречника друге странице и другог из тачке \(B\) полупречника треће странице.
- Конструкција ССУ: Конструише се страница, угао наспрам веће странице, а треће теме се добија пресеком крака угла и кружног лука чији је полупречник већа дата страница.
Услов за конструисање (Неједнакост троугла): Троугао се помоћу три дужи може конструисати само ако је збир ма које две странице већи од треће странице:
\[ a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a \]
Ако је у задатку дат угао који не належе на дату страницу (нпр. дата је страница \(c\) и углови \(\alpha\) и \(\gamma\)), прво се израчунава трећи угао користећи чињеницу да је збир углова у троуглу \(180^\circ\): \(\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)\), а затим се троугао конструише применом правила УСУ.
Описана кружница троугла је кружница која садржи сва три темена троугла.
Центар описане кружнице је пресечна тачка симетрала свих страница тог троугла. Подједнако је удаљен од свих темена троугла:
\[ R = OA = OB = OC \]
Положај центра описане кружнице:
- Код оштроуглог троугла: налази се у унутрашњости троугла.
- Код правоуглог троугла: налази се тачно на средишту хипотенузе (полупречник је \(R = \frac{c}{2}\)).
- Код тупоуглог троугла: налази се у спољашњости (ван) троугла.
Уписана кружница троугла је кружница која додирује све три странице троугла.
Центар уписане кружнице је пресечна тачка симетрала унутрашњих углова троугла. Подједнако је удаљен од свих страница тог троугла.
Центар уписане кружнице увек се налази у унутрашњости троугла, без обзира на врсту троугла.
Специјални случајеви:
- Једнакокраки троугао: Центри описане и уписане кружнице припадају симетрали основице (оси симетрије троугла).
- Једнакостранични троугао: Центри описане и уписане кружнице се поклапају. Та заједничка тачка представља истовремено пресек свих симетрала страница и свих симетрала углова.
Полупречници описане (\(r_o\)) и уписане (\(r_u\)) кружнице једнакостраничног троугла висине \(h\):
\[ r_o = \frac{2}{3}h, \qquad r_u = \frac{1}{3}h \]
Важи однос: \(r_o = 2 \cdot r_u\) и \(r_o + r_u = h\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Да ли је могуће конструисати троугао чије су дужине страница \(a = 3\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\) и \(c = 8\text{ cm}\)? Обраложи одговор.
Да би троугао постојао, мора бити задовољена неједнакост троугла – збир било које две странице мора бити већи од треће странице.
Проверавамо: \[ a + b = 3\text{ cm} + 4\text{ cm} = 7\text{ cm} \] Како је \(7\text{ cm} < 8\text{ cm}\) (\(a + b < c\)), неједнакост није испуњена.
Одговор: Није могуће конструисати овакав троугао.
Проверавамо: \[ a + b = 3\text{ cm} + 4\text{ cm} = 7\text{ cm} \] Како је \(7\text{ cm} < 8\text{ cm}\) (\(a + b < c\)), неједнакост није испуњена.
Одговор: Није могуће конструисати овакав троугао.
Задатак 2 (средњи): Објасни како се само помоћу лењира и шестара може конструисати угао од \(105^\circ\).
Угао од \(105^\circ\) се може представити као збир углова:
\[ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ \quad \text{или} \quad 105^\circ = 90^\circ + 15^\circ \]
Поступак конструкције (преко \(60^\circ + 45^\circ\)):
1. На полуправој конструише се угао од \(60^\circ\).
2. Из другог крака тог угла конструише се прави угао (\(90^\circ\)), а затим се конструише његова симетрала да би се добио угао од \(45^\circ\).
3. Надовезивањем угла од \(45^\circ\) на угао од \(60^\circ\) добија се тражени угао: \[ 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ \]
1. На полуправој конструише се угао од \(60^\circ\).
2. Из другог крака тог угла конструише се прави угао (\(90^\circ\)), а затим се конструише његова симетрала да би се добио угао од \(45^\circ\).
3. Надовезивањем угла од \(45^\circ\) на угао од \(60^\circ\) добија се тражени угао: \[ 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ \]
Задатак 3 (средњи): У једнакостраничном троуглу висина износи \(h = 12\text{ cm}\). Израчунај полупречник описане кружнице (\(r_o\)) и полупречник уписане кружнице (\(r_u\)).
Користимо формуле за полупречнике код једнакостраничног троугла:
\[ r_o = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot 12\text{ cm} = 8\text{ cm} \]
\[ r_u = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot 12\text{ cm} = 4\text{ cm} \]
Одговор: Полупречник описане кружнице је \(8\text{ cm}\), а уписане \(4\text{ cm}\).
Задатак 4 (тежак): Дужи \(AB\) и \(CD\) секу се у тачки \(S\) тако да је тачка \(S\) средиште обе дужи (\(AS = SB\) и \(CS = SD\)). Докажи да су дужи \(AC\) и \(BD\) једнаке и паралелне.
Посматрајмо троуглове \(\Delta ASC\) и \(\Delta BSD\):
Из подударности троуглова директно следи:
- \(AS = BS\) (тачка \(S\) је средиште дужи \(AB\))
- \(\angle ASC = \angle BSD\) (унакрсни углови су међусобно једнаки)
- \(CS = DS\) (тачка \(S\) је средиште дужи \(CD\))
Из подударности троуглова директно следи:
- Једнакост одговарајућих страница: \(AC = BD\).
- Једнакост одговарајућих углова: \(\angle CAS = \angle SBD\).
