Најважније из лекције
Директна пропорционалност: Величина \( y \) зависи од величине \( x \) по правилу \( y = k \cdot x \), где је \( k = \frac{y}{x} \) сталан коефицијент пропорционалности. График ове зависности је права или полуправа која полази из координатног почетка \( (0, 0) \).
Проценти: Представљају стоти део целине (\( 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \)). Вредност \( p\% \) од броја \( G \) рачуна се по формули \( \frac{p}{100} \cdot G \).
Размера и пропорција: Размера је количник \( a : b \), а пропорција једнакост две размере \( a : b = c : d \). За сваку пропорцију важи основно својство: \( a \cdot d = b \cdot c \) (производ спољашњих једнак је производу унутрашњих чланова).
Проценти: Представљају стоти део целине (\( 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \)). Вредност \( p\% \) од броја \( G \) рачуна се по формули \( \frac{p}{100} \cdot G \).
Размера и пропорција: Размера је количник \( a : b \), а пропорција једнакост две размере \( a : b = c : d \). За сваку пропорцију важи основно својство: \( a \cdot d = b \cdot c \) (производ спољашњих једнак је производу унутрашњих чланова).
Директно пропорционалне величине су две променљиве величине чији је количник одговарајућих вредности константан. То значи да колико се пута једна величина повећа (или смањи), толико се пута повећа (или смањи) и друга величина.
\[ y = k \cdot x \quad \text{односно} \quad k = \frac{y}{x} \]
\( k \) је коефицијент директне пропорционалности (\( k \neq 0 \)).
Када се директно пропорционалне величине мере различитим мерним јединицама, коефицијент пропорционалности добија изведену мерну јединицу.
| Величина \( X \) | Величина \( Y \) | Коефицијент \( k = Y / X \) |
|---|---|---|
| Време \( t \) (\( \text{s} \)) | Пут \( s \) (\( \text{m} \)) | Брзина \( v = \frac{s}{t} \) (\( \text{m/s} \)) |
| Запремина \( V \) (\( \text{cm}^3 \)) | Маса \( m \) (\( \text{g} \)) | Густина \( \rho = \frac{m}{V} \) (\( \text{g/cm}^3 \)) |
| Количина \( K \) (\( \text{kg} \)) | Вредност \( P \) (\( \text{дин.} \)) | Цена \( c = \frac{P}{K} \) (\( \text{дин./kg} \)) |
Претварање мерне јединице брзине:
\[ 90 \text{ km/h} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ m}}{60 \text{ min}} = 1500 \text{ m/min} \]
Ако аутомобил за \( 3 \text{ h} \) пређе \( 240 \text{ km} \) крећући се равномерно, одреди коефицијент директне пропорционалности \( k = \frac{s}{t} \) и формулу зависности пута \( s \) од времена \( t \).
Коефицијент је брзина:
\[ k = \frac{s}{t} = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h} \]
Формула зависности гласи: \( s = 80 \cdot t \).
График зависности директно пропорционалних величина у равни је права (за позитивне величине полуправа) која пролази кроз координатни почетак \( (0, 0) \). Све тачке које одговарају паровима \( (x, y) \) налазе се на тој линији (колинеарне су).
За цртање графика довољно је одредити координатни почетак \( (0, 0) \) и још једну произвољну тачку \( (x, y) \) за коју важи \( y = k \cdot x \), а затим кроз њих повући праву линију.
Одреди којој тачки на графику \( y = 2{,}5 \cdot x \) одговара вредност \( x = 4 \).
Уврштавањем \( x = 4 \) у формулу:
\[ y = 2{,}5 \cdot 4 = 10 \]
Тражена тачка има координате \( (4, 10) \).
Проценат је стоти део целине. Означава се знаком \( \% \):
\[ 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \]
Записивање бројева у облику процента и обратно:
- Број претварамо у проценат множењем са \( 100\% \): \( a = (a \cdot 100)\% \)
- Проценат претварамо у разломак или децимални број дељењем са \( 100 \): \( p\% = \frac{p}{100} = p : 100 \)
- \( 0{,}35 = (0{,}35 \cdot 100)\% = 35\% \)
- \( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100} = 40\% \)
- \( 75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \)
\[ p\% \text{ од броја } G = \frac{p}{100} \cdot G \]
Израчунај \( 20\% \) од \( 350 \).
\[ 20\% \text{ од } 350 = \frac{20}{100} \cdot 350 = \frac{1}{5} \cdot 350 = 70 \]
Размера два броја \( a \) и \( b \) (\( b \neq 0 \)) јесте њихов количник \( a : b \). Вредност размере је број \( k = \frac{a}{b} \).
Пропорција је једнакост двеју размера:
\[ a : b = c : d \]
У пропорцији \( a : b = c : d \), бројеви \( a \) и \( d \) називају се спољашњи чланови, а бројеви \( b \) и \( c \) унутрашњи чланови.
Основно својство пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова.
\[ a \cdot d = b \cdot c \]
Одреди непознати члан пропорције: \( x : 4 = 15 : 6 \).
Применом основног својства пропорције:
\[ x \cdot 6 = 4 \cdot 15 \]
\[ 6x = 60 \implies x = 10 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
а) Запиши разломак \( \frac{7}{20} \) у облику процента.
б) Запиши \( 48\% \) у облику нескративог разломка.
а) Запиши разломак \( \frac{7}{20} \) у облику процента.
б) Запиши \( 48\% \) у облику нескративог разломка.
а) \( \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 35\% \) (или \( \frac{7}{20} \cdot 100\% = 35\% \))
б) \( 48\% = \frac{48}{100} = \frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25} \)
б) \( 48\% = \frac{48}{100} = \frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25} \)
Задатак 2 (средњи):
Одреди вредност непознате \( x \) из пропорције:
\[ (x + 2) : 9 = 4 : 3 \]
Множимо спољашње са спољашњим и унутрашње са унутрашњим чланом:
\[ 3 \cdot (x + 2) = 9 \cdot 4 \]
\[ 3x + 6 = 36 \]
\[ 3x = 36 - 6 \]
\[ 3x = 30 \implies x = 10 \]
Задатак 3 (средњи):
У једној продавници \( 5 \text{ kg} \) јабука кошта \( 450 \text{ динара} \). Колико кошта \( 8 \text{ kg} \) истих јабука?
Количина јабука и укупна цена су директно пропорционалне величине.
Коефицијент (цена по килограму): \( c = \frac{450}{5} = 90 \text{ дин./kg} \).
За \( 8 \text{ kg} \): \[ P = 8 \cdot 90 = 720 \text{ динара} \] (Или преко пропорције: \( 5 : 8 = 450 : P \implies 5P = 3600 \implies P = 720 \text{ дин.} \))
Коефицијент (цена по килограму): \( c = \frac{450}{5} = 90 \text{ дин./kg} \).
За \( 8 \text{ kg} \): \[ P = 8 \cdot 90 = 720 \text{ динара} \] (Или преко пропорције: \( 5 : 8 = 450 : P \implies 5P = 3600 \implies P = 720 \text{ дин.} \))
Задатак 4 (тежи):
Књига је коштала \( 1500 \text{ динара} \), а затим је њена цена снижена за \( 15\% \). Колика је нова цена књиге?
1. начин:
Износ снижења: \( 15\% \text{ од } 1500 = \frac{15}{100} \cdot 1500 = 15 \cdot 15 = 225 \text{ динара} \).
Нова цена: \( 1500 - 225 = 1275 \text{ динара} \).
2. начин:
Нова цена чини \( 100\% - 15\% = 85\% \) почетне цене: \[ \frac{85}{100} \cdot 1500 = 85 \cdot 15 = 1275 \text{ динара} \]
Износ снижења: \( 15\% \text{ од } 1500 = \frac{15}{100} \cdot 1500 = 15 \cdot 15 = 225 \text{ динара} \).
Нова цена: \( 1500 - 225 = 1275 \text{ динара} \).
2. начин:
Нова цена чини \( 100\% - 15\% = 85\% \) почетне цене: \[ \frac{85}{100} \cdot 1500 = 85 \cdot 15 = 1275 \text{ динара} \]
