Најважније из лекције
Скуп \(\mathbb{Q}\): Обухвата све бројеве облика \( \frac{p}{q} \) (\(p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\)).
Апсолутна вредност и поредак: \( |r| \ge 0 \). Код негативних бројева већи је онај чија је апсолутна вредност мања (\( -2 > -5 \)).
Операције:
Апсолутна вредност и поредак: \( |r| \ge 0 \). Код негативних бројева већи је онај чија је апсолутна вредност мања (\( -2 > -5 \)).
Операције:
- Одузимање је сабирање са супротним бројем: \( a - b = a + (-b) \).
- Дељење је множење реципрочним бројем: \( a : \frac{p}{q} = a \cdot \frac{q}{p} \).
- Двојни разломак: \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \).
Скуп рационалних бројева (\(\mathbb{Q}\)) чине сви бројеви који се могу записати у облику количника два цела броја (разломка), при чему је именилац различит од нуле:
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \right\} = \mathbb{Q}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Q}^+ \]
Рационални бројеви се могу записати у више облика:
- Разломак: \( \frac{p}{q} \) (где је \(p\) бројилац, а \(q\) именилац);
- Мешовити број: \( -n\frac{a}{b} = -\frac{n \cdot b + a}{b} \) (када је \( |p| > |q| \));
- Децимални број: цели део и децимале одвојени децималном запетом (нпр. \( -2{,}75 \));
- Проценат: запис стотих делова целине (нпр. \( 25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)).
Проширивање: Бројилац и именилац множимо истим целим бројем \( k \neq 0 \): \( \frac{p}{q} = \frac{p \cdot k}{q \cdot k} \).
Скраћивање: Бројилац и именилац делимо заједничким делиоцем \( k \neq 0 \): \( \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \).
Скраћивање: Бројилац и именилац делимо заједничким делиоцем \( k \neq 0 \): \( \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \).
Знак минус може стајати испред разломка, у бројиоцу или у имениоцу:
\[ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \]
Сваком рационалном броју одговара тачно једна тачка на бројевној правој. Позитивни бројеви налазе се десно, а негативни лево од координатног почетка \( O(0) \).
Супротан број: За број \( r \), супротан број је \( -r \). Важи правило двоструког знака: \( -(-r) = r \). Супротни бројеви су на истом растојању од нуле, са различитих страна. Супротан број броја 0 је 0.
Апсолутна вредност (\(|r|\)): Геометријски представља растојање тачке \( r \) од координатног почетка на бројевној правој. Никада није негативна:
\[ |r| \ge 0, \qquad |-r| = |r|, \qquad \left| \frac{p}{q} \right| = \frac{|p|}{|q|} \]
\( \left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} \), \quad \( |0| = 0 \), \quad \( -(-2{,}5) = 2{,}5 \)
На бројевној правој, већи број је увек десно од мањег броја:
- Сваки позитиван број је већи од нуле и од сваког негативног броја (\( \mathbb{Q}^+ > 0 > \mathbb{Q}^- \)).
- Од два позитивна броја већи је онај са већом апсолутном вредношћу (\( 3{,}5 > 2{,}1 \)).
- Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (онај који је ближи нули: \( -1{,}5 > -3{,}2 \)).
Ако разломци немају исте имениоце, прво одредимо њихов НЗС, проширимо их на једнаке имениоце, па упоредимо њихове бројиоце:
\[ -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12} \implies -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} \quad (\text{јер је } -8 > -9) \]
Сабирање бројева истог знака: Саберу се њихове апсолутне вредности и препише се заједнички знак.
\[ -\frac{1}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right) = -\left(\frac{1}{5} + \frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5} \]
Сабирање бројева различитог знака: Од веће апсолутне вредности одузме се мања и припише се знак броја са већом апсолутном вредношћу.
\[ -5{,}8 + 2{,}3 = -(5{,}8 - 2{,}3) = -3{,}5 \]
Одузимање: Одузимање се своди на сабирање са супротним бројем:
\[ a - b = a + (-b) \]
Особине сабирања:
- Комутативност: \( a + b = b + a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Неутрални елемент (\(0\)): \( a + 0 = a \)
- Супротни елемент: \( a + (-a) = 0 \)
Правила за знак:
- Производ/количник бројева истог знака је позитиван (\( + \cdot + = + \), \( - \cdot - = + \)).
- Производ/количник бројева различитог знака је негативан (\( + \cdot - = - \), \( - \cdot + = - \)).
Множење: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) (бројиоци и имениоци се могу скраћивати пре множења).
Реципрочна вредност: За број \( \frac{p}{q} \neq 0 \), реципрочна вредност је \( \frac{q}{p} \), тако да важи \( \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1 \). Нула нема реципрочну вредност!
Дељење: Дељење се своди на множење реципрочном вредношћу делиоца:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \quad (c, d \neq 0) \]
Аритметичка средина два броја \( a \) и \( b \) јесте број \( \frac{a + b}{2} \) и представља средиште дужи између њих на бројевној правој.
1. Изрази у заградама;
2. Множење и дељење (слева надесно);
3. Сабирање и одузимање (слева надесно).
2. Множење и дељење (слева надесно);
3. Сабирање и одузимање (слева надесно).
Ако у изразу има и разломака и децималних бројева, све преводимо у исти облик. Ако се јави бесконачан периодичан број (нпр. \( \frac{1}{3} = 0{,}333\dots \)), обавезно све преводимо у облик разломка.
Двојни разломак: Разломак чији су бројилац и/или именилац такође разломци.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad \left(\frac{\text{спољашњи} \cdot \text{спољашњи}}{\text{унутрашњи} \cdot \text{унутрашњи}}\right) \]
\[ \frac{-\frac{4}{9}}{\frac{8}{15}} = -\frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = -\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = -\frac{5}{6} \]
Правила трансформације једнакости:
- Обема странама једначине можемо додати или одузети исти број: \( x + a = b \implies x = b - a \).
- Обе стране једначине можемо помножити или поделити истим бројем различитим од нуле: \( a \cdot x = b \implies x = b : a \).
- \( 0 \cdot x = b \) (где је \( b \neq 0 \)) \(\implies\) једначина нема решења (јер је \( 0 \cdot x = 0 \neq b \)).
- \( 0 \cdot x = 0 \) \(\implies\) решење је сваки рационалан број (\( x \in \mathbb{Q} \)).
Правила за решавање неједначина:
- Додавањем или одузимањем истог броја са обе стране знак неједнакости се не мења.
- Множењем или дељењем обе стране позитивним бројем знак неједнакости се не мења.
- Множењем или дељењем обе стране негативним бројем знак неједнакости се ОБАВЕЗНО ОКРЕЋЕ: \[ < \;\longleftrightarrow\; >, \qquad \le \;\longleftrightarrow\; \ge \]
Графички приказ на бројевној правој:
- Строге неједнакости (\( <, > \)): гранична тачка се означава празним кружићем \(\circ\).
- Нестроге неједнакости (\( \le, \ge \)): гранична тачка се означава пуним кружићем \(\bullet\).
Решити \( -3x \le 1{,}2 \):
\[ x \ge 1{,}2 : (-3) \implies x \ge -0{,}4 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај вредност израза: \( -3{,}6 + 1\frac{1}{2} : \left(-\frac{3}{4}\right) \).
Прво извршавамо дељење:
\[ 1\frac{1}{2} : \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = -2 \]
Затим сабирамо са првим сабирком:
\[ -3{,}6 + (-2) = -5{,}6 \]
Одговор: \( -5{,}6 \).
Средњи задатак: Реши једначину: \( \dfrac{2}{3} - 4x = 1{,}5 \).
Преводимо све у облик разломка: \( 1{,}5 = \frac{3}{2} \).
\[ \frac{2}{3} - 4x = \frac{3}{2} \]
Одузмемо \( \frac{2}{3} \) са обе стране:
\[ -4x = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \]
Поделимо обе стране са \( -4 \) (помножимо са \( -\frac{1}{4} \)):
\[ x = \frac{5}{6} : (-4) = \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{5}{24} \]
Одговор: \( x = -\frac{5}{24} \).
Тежак задатак: Реши неједначину \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5}x > 1{,}1 \) и прикажи скуп решења.
Записујемо децимални број као разломак: \( 1{,}1 = \frac{11}{10} \).
\[ \frac{1}{2} - \frac{3}{5}x > \frac{11}{10} \]
Одузмемо \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \) са обе стране:
\[ -\frac{3}{5}x > \frac{11}{10} - \frac{5}{10} \]
\[ -\frac{3}{5}x > \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Делимо негативним бројем \( -\frac{3}{5} \), при чему окрећемо знак неједнакости:
\[ x < \frac{3}{5} : \left(-\frac{3}{5}\right) \]
\[ x < -1 \]
Одговор: Решење су сви рационални бројеви мањи од \( -1 \) (на бројевној правој осенчена је полуправа лево од \(-1\), са празним кружићем у тачки \(-1\)).
