Најважније из лекције
Правило знакова: Исти знаци дају \(+\), различити дају \(-\).
Множење: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\) (обавезно скратити пре множења).
Реципрочан број: За број \(\frac{p}{q}\) је број \(\frac{q}{p}\). Предзнак остаје исти, а \(0\) нема реципрочну вредност.
Дељење: Дељење се замењује множењем реципрочном вредношћу делиоца: \(a : b = a \cdot \frac{1}{b}\).
Двојни разломак: \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\) (производ спољашњих чланова кроз производ унутрашњих чланова).
Множење: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\) (обавезно скратити пре множења).
Реципрочан број: За број \(\frac{p}{q}\) је број \(\frac{q}{p}\). Предзнак остаје исти, а \(0\) нема реципрочну вредност.
Дељење: Дељење се замењује множењем реципрочном вредношћу делиоца: \(a : b = a \cdot \frac{1}{b}\).
Двојни разломак: \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\) (производ спољашњих чланова кроз производ унутрашњих чланова).
Знак производа и количника:
- Производ (или количник) два броја истог знака је позитиван број (\(+\)).
- Производ (или количник) два броја различитог знака је негативан број (\(-\)).
\[ (+) \cdot (+) = + \qquad (-) \cdot (-) = + \]
\[ (+) \cdot (-) = - \qquad (-) \cdot (+) = - \]
\[ (+) : (+) = + \qquad (-) : (-) = + \]
\[ (+) : (-) = - \qquad (-) : (+) = - \]
Апсолутна вредност производа једнака је производу апсолутних вредности чинилаца. Апсолутна вредност количника једнака је количнику апсолутних вредности дељеника и делиоца.
- \((-0,2) \cdot (-0,4) = +0,08\)
- \((-12) : 3 = -4\)
- \(-\frac{5}{7} \cdot \left(-\frac{14}{15}\right) = +\left(\frac{5}{7} \cdot \frac{14}{15}\right)\)
Одреди знак резултата за изразе:
а) \(-13\frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5}\);
б) \((-44,5) : (-8,2)\).
а) Чиниоци су различитог знака (један је негативан, други позитиван), па је производ негативан (\(-\)).
б) Дељеник и делилац су истог знака (оба негативна), па је количник позитиван (\(+\)).
б) Дељеник и делилац су истог знака (оба негативна), па је количник позитиван (\(+\)).
Одредити знак производа према правилу знакова.
Мешовите бројеве претворити у неправилне разломке.
Пре множења бројилаца и именилаца, извршити скраћивање (унакрсно или бројилац са имениоцем).
Помножити бројилац са бројиоцем, а именилац са имениоцем:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Израчунајмо \( -2\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{15}\right) \):
\[ -2\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{15}\right) = +\left(\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{15}\right) = \frac{5^1 \cdot 4^2}{2_1 \cdot 15_3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3} \]
Израчунај: \(-1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}\).
Претварамо мешовите бројеве у неправилне разломке:
\[ -1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4} = -\left(\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{4}\right) = -\frac{4^1 \cdot 9^3}{3_1 \cdot 4_1} = -3 \]
За свака три рационална броја \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) важе следећа својства:
- Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Множење бројем 1 (неутрални елемент): \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
- Множење бројем 0: \( a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \)
- Дистрибутивност према сабирању и одузимању: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] \[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
Дистрибутивност се често примењује у смеру извлачења заједничког чиниоца испред заграде: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\).
Применом асоцијативности груписањем чинилаца:
\[ 4 \cdot (-3,91) \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot (-3,91) = 100 \cdot (-3,91) = -391 \]
Израчунај вредност израза извлачењем заједничког чиниоца: \(-2,8 \cdot 1,5 - 1,5 \cdot 5,2\).
Заједнички чинилац је \(1,5\):
\[ 1,5 \cdot (-2,8 - 5,2) = 1,5 \cdot (-8) = -12 \]
Реципрочна вредност броја \(a\) (\(a \neq 0\)) је број \(\frac{1}{a}\), тако да је њихов производ једнак 1:
\[ a \cdot \frac{1}{a} = 1 \]
За разломак \(\frac{p}{q}\) (\(p, q \neq 0\)), реципрочна вредност је разломак \(\frac{q}{p}\).
- Предзнак се не мења при одређивању реципрочне вредности (реципрочна вредност позитивног броја је позитивна, а негативног негативна).
- Број 0 нема реципрочну вредност, јер дељење нулом није дефинисано.
- Мешовити број се најпре мора претворити у неправилан разломак пре тражења реципрочне вредности.
- Реципрочна вредност броја \(-\frac{2}{3}\) је \(-\frac{3}{2}\).
- Реципрочна вредност целог броја \(-5 = -\frac{5}{1}\) је \(-\frac{1}{5}\).
- Реципрочна вредност броја \(-2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}\) је \(-\frac{4}{9}\).
Одреди реципрочну вредност броја \(-3\frac{1}{2}\).
Претворимо мешовити број у разломак: \(-3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2}\).
Реципрочна вредност броја \(-\frac{7}{2}\) је \(-\frac{2}{7}\).
Реципрочна вредност броја \(-\frac{7}{2}\) је \(-\frac{2}{7}\).
Дељење рационалним бројем \(b\) (\(b \neq 0\)) своди се на множење његовом реципрочном вредношћу:
\[ a : b = a \cdot \frac{1}{b} \]
За разломке важи:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \quad (b, c, d \neq 0) \]
Израчунајмо \(-\frac{21}{16} : \left(-\frac{7}{8}\right)\):
\[ -\frac{21}{16} : \left(-\frac{7}{8}\right) = +\left(\frac{21}{16} \cdot \frac{8}{7}\right) = \frac{21^3 \cdot 8^1}{16_2 \cdot 7_1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]
При дељењу децималних бројева, делилац претварамо у цео број тако што и дељеник и делилац померимо за исти број децималних места удесно (множимо их са 10, 100, 1000...):
\[ (-3,672) : 7,2 = (-36,72) : 72 = -0,51 \]
Израчунај: \(3\frac{1}{3} : \left(-8\frac{1}{3}\right)\).
\[ 3\frac{1}{3} : \left(-8\frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} : \left(-\frac{25}{3}\right) = -\left(\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{25}\right) = -\frac{10^2 \cdot 3^1}{3_1 \cdot 25_5} = -\frac{2}{5} \]
Разломак чији су бројилац и именилац такође разломци назива се двојни разломак.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad (b, c, d \neq 0) \]
Бројилац новог разломка је производ спољашњих чланова (\(a\) и \(d\)), а именилац је производ унутрашњих чланова (\(b\) и \(c\)).
\[ \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{3}{4}} = -\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 3} = -\frac{20}{18} = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \]
Пре решавања двојног разломка, потребно је израчунати вредности целог израза у главном бројиоцу и главном имениоцу, тако да се све сведе на по један разломак.
Израчунај вредност двојног разломка:
\[ \frac{\frac{4}{11}}{-\frac{8}{33}} \]
\[ \frac{\frac{4}{11}}{-\frac{8}{33}} = -\frac{4 \cdot 33}{11 \cdot 8} = -\frac{4^1 \cdot 33^3}{11_1 \cdot 8_2} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредности следећих израза:
а) \(-1,5 \cdot 0,03\)
б) \(-\frac{5}{8} : 5\)
а) \(-1,5 \cdot 0,03\)
б) \(-\frac{5}{8} : 5\)
а) Множење бројева различитог знака даје негативан резултат:
\[ -1,5 \cdot 0,03 = -0,045 \]
б) Дељење бројем 5 своди се на множење бројем \(\frac{1}{5}\):
\[ -\frac{5}{8} : 5 = -\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{5^1 \cdot 1}{8 \cdot 5_1} = -\frac{1}{8} \]
Задатак 2 (средњи): Израчунај вредност бројевног израза користећи предност дистрибутивности множења:
\[ -\frac{3}{8} \cdot 4 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \]
Издвајамо заједнички чинилац 4:
\[ -\frac{3}{8} \cdot 4 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{8} - \frac{1}{8}\right) \]
Сабирамо вредности у загради:
\[ -\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \]
Множимо:
\[ 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]
Задатак 3 (средњи/тежи): Израчунај вредност двојног разломка:
\[ \frac{2 - 0,75}{\frac{3}{4} - 1} \]
Прво израчунавамо вредност бројиоца и имениоца:
Бројилац: \( 2 - 0,75 = 1,25 = \frac{5}{4} \)
Именилац: \( \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4} \)
Формирамо и израчунавамо двојни разломак: \[ \frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 1} = -\frac{20}{4} = -5 \]
Бројилац: \( 2 - 0,75 = 1,25 = \frac{5}{4} \)
Именилац: \( \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4} \)
Формирамо и израчунавамо двојни разломак: \[ \frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 1} = -\frac{20}{4} = -5 \]
Задатак 4 (тежак): Израчунај вредност сложеног израза:
\[ \left( -1\frac{1}{2} \right) \cdot 6 + (3,25 - 5) \cdot 1\frac{1}{5} \]
Решавамо по редоследу операција:
1. Први производ: \[ \left(-1\frac{1}{2}\right) \cdot 6 = -\frac{3}{2} \cdot 6 = -\frac{18}{2} = -9 \]
2. Израз у загради: \[ 3,25 - 5 = -1,75 = -\frac{7}{4} \]
3. Други производ: \[ (3,25 - 5) \cdot 1\frac{1}{5} = -\frac{7}{4} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{7 \cdot 6^3}{4_2 \cdot 5} = -\frac{21}{10} = -2,1 \]
4. Сабирање добијених резултата: \[ -9 + (-2,1) = -11,1 \quad \left(\text{или } -11\frac{1}{10}\right) \]
1. Први производ: \[ \left(-1\frac{1}{2}\right) \cdot 6 = -\frac{3}{2} \cdot 6 = -\frac{18}{2} = -9 \]
2. Израз у загради: \[ 3,25 - 5 = -1,75 = -\frac{7}{4} \]
3. Други производ: \[ (3,25 - 5) \cdot 1\frac{1}{5} = -\frac{7}{4} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{7 \cdot 6^3}{4_2 \cdot 5} = -\frac{21}{10} = -2,1 \]
4. Сабирање добијених резултата: \[ -9 + (-2,1) = -11,1 \quad \left(\text{или } -11\frac{1}{10}\right) \]
