Најважније из лекције
- Знаци код множења и дељења: Исти знаци дају \( (+) \), различити знаци дају \( (-) \). На пример: \( (-2) \cdot (-3) = 6 \), а \( (-6) : 2 = -3 \).
- Реципрочна вредност: За \( \frac{p}{q} \) реципрочан је \( \frac{q}{p} \). Број \( 0 \) нема реципрочну вредност.
- Дељење: \( a : b = a \cdot \frac{1}{b} \). Двојни разломак: \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \).
- Једначине: \( a \cdot x = b \implies x = b : a \); \( x : a = b \implies x = b \cdot a \); \( a : x = b \implies x = a : b \).
- Неједначине: Множење или дељење позитивним бројем задржава смер неједнакости, док множење или дељење негативним бројем окреће смер неједнакости (\( < \) постаје \( > \)).
Производ два рационална броја истог знака је увек позитиван, а производ два броја различитог знака је негативан. Апсолутна вредност производа једнака је производу апсолутних вредности чинилаца.
За знаке производа важи:
\[ (+) \cdot (+) = (+) \]
\[ (-) \cdot (-) = (+) \]
\[ (+) \cdot (-) = (-) \]
\[ (-) \cdot (+) = (-) \]
За све рационалне бројеве \( a, b, c \in \mathbb{Q} \) важе следећа својства:
- Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Множење нулом: \( a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \)
- Множење јединицом: \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
- Дистрибутивност према сабирању и одузимању:
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \)
\[ \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{9}{10} = -\left(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10}\right) = -\frac{3}{5} \]
\[ \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \left(-\frac{14}{8}\right) = +\left(\frac{4 \cdot 14}{7 \cdot 8}\right) = 1 \]
Реципрочна вредност броја \( a \) (\( a \neq 0 \)) је број \( \frac{1}{a} \), при чему важи \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \). Реципрочна вредност разломка \( \frac{p}{q} \) (\( p, q \neq 0 \)) је \( \frac{q}{p} \).
Број \( 0 \) нема реципрочну вредност, јер дељење нулом није дефинисано.
Дељење рационалних бројева своди се на множење реципрочном вредношћу делиоца:
\[ a : b = a \cdot \frac{1}{b} \quad (b \neq 0) \]
Правила за одређивање знака количника иста су као и за множење: количник бројева истог знака је позитиван, а различитог знака је негативан.
Двојни разломак се израчунава множењем спољашњих и множењем унутрашњих чланова:
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (b, c, d \neq 0) \]
\( a \) и \( d \) су спољашњи чланови, а \( b \) и \( c \) унутрашњи чланови.
\[ \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{9}{8}} = -\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = -\frac{2}{3} \]
Једначине са једном непознатом у скупу \( \mathbb{Q} \) решавају се одређивањем непознатог члана:
У једначини облика \( a \cdot x = b \) (\( a \neq 0 \)), непознати чинилац се рачуна дељењем производа познатим чиниоцем:
\[ x = b : a \]
У једначини облика \( x : a = b \) (\( a \neq 0 \)), непознати дељеник се рачуна множењем количника и делиоца:
\[ x = b \cdot a \]
У једначини облика \( a : x = b \) (\( x, b \neq 0 \)), непознати делилац се рачуна дељењем дељеника количником:
\[ x = a : b \]
Решимо једначину \( -\frac{3}{5} \cdot x = \frac{9}{20} \):
\[ x = \frac{9}{20} : \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{20} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{3}{4} \]
При решавању неједначина кључно је обратити пажњу на знак броја којим се неједнакост множи или дели:
- Ако се обе стране помноже или поделе позитивним бројем (\( c > 0 \)), смер знака неједнакости се не мења: \[ a < b \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{и} \quad a : c < b : c \]
- Ако се обе стране помноже или поделе негативним бројем (\( c < 0 \)), смер знака неједнакости се окреће: \[ a < b \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{и} \quad a : c > b : c \]
Када се множи или дели негативним бројем: знак \( < \) прелази у \( > \), знак \( > \) прелази у \( < \), знак \( \le \) прелази у \( \ge \), а \( \ge \) у \( \le \).
Решимо неједначину \( -\frac{1}{2} x \le \frac{3}{4} \):
Будући да делимо (или множимо) са \( -\frac{1}{2} \), окрећемо знак: \[ x \ge \frac{3}{4} : \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ x \ge \frac{3}{4} \cdot (-2) \implies x \ge -\frac{3}{2} \]
Будући да делимо (или множимо) са \( -\frac{1}{2} \), окрећемо знак: \[ x \ge \frac{3}{4} : \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ x \ge \frac{3}{4} \cdot (-2) \implies x \ge -\frac{3}{2} \]
Решења се на бројевној правој представљају интервалима. Ако је знак строг (\( < \) или \( > \)), гранична тачка се означава празним кружићем, а ако знак садржи једнакост (\( \le \) или \( \ge \)), гранична тачка се означава пуним кружићем.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
\[ \left(-\frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{15}{18}\right) \]
Дељење се своди на множење реципрочном вредношћу делиоца. Пошто су оба броја негативна, резултат је позитиван:
\[ \left(-\frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{15}{18}\right) = \left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{18}{15}\right) = +\left(\frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 15}\right) \]
Скраћивањем бројева 5 и 15 са 5, као и 18 и 6 са 6:
\[ \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3} = 1 \]
Одговор: \( 1 \)
Задатак 2 (средњи): Израчунај вредност двојног разломка:
\[ \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{14}{9}} \]
Примењујемо правило за двојни разломак (производ спољашњих кроз производ унутрашњих):
\[ \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{14}{9}} = -\frac{7 \cdot 9}{12 \cdot 14} \]
Скратимо 7 и 14 са 7 (остају 1 и 2), а 9 и 12 са 3 (остају 3 и 4):
\[ -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = -\frac{3}{8} \]
Одговор: \( -\frac{3}{8} \)
Задатак 3 (средњи): Реши једначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ -\frac{4}{7} : x = \frac{8}{21} \]
Непознат је делилац, па делимо дељеник количником:
\[ x = \left(-\frac{4}{7}\right) : \frac{8}{21} \]
\[ x = \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \frac{21}{8} \]
Скратимо 4 и 8 са 4 (остају 1 и 2), а 21 и 7 са 7 (остају 3 и 1):
\[ x = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} \]
Одговор: \( x = -\frac{3}{2} \)
Задатак 4 (тежак): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \) и одреди знак неједнакости:
\[ -\frac{2}{5} \cdot x > -\frac{6}{25} \]
Будући да је коефицијент уз \( x \) негативан број (\(-\frac{2}{5} < 0\)), дељењем обе стране тим бројем знак неједнакости се окреће из \( > \) у \( < \):
\[ x < \left(-\frac{6}{25}\right) : \left(-\frac{2}{5}\right) \]
\[ x < \left(-\frac{6}{25}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \]
Производ два негативна броја је позитиван:
\[ x < \frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 2} \]
Скраћивањем бројева 6 и 2 са 2 (остају 3 и 1) и 5 и 25 са 5 (остају 1 и 5):
\[ x < \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} \implies x < \frac{3}{5} \]
Одговор: \( x < \frac{3}{5} \) (сви бројеви мањи од \( \frac{3}{5} \)).
