Најважније из лекције
Преглед основних формула за површину:
- Правоугаоник: \( P = a \cdot b \) | Квадрат: \( P = a^2 = \dfrac{d^2}{2} \)
- Паралелограм: \( P = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
- Троугао: \( P = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \) | Правоугли троугао: \( P = \dfrac{a \cdot b}{2} \)
- Трапез: \( P = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h \)
- Четвороугли са \( d_1 \perp d_2 \) (делтоид, ромб, квадрат): \( P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \)
- Мерне јединице: \( 1 \text{ km}^2 \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ ha} \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ a} \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ m}^2 \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ dm}^2 \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ cm}^2 \xrightarrow{\cdot 100} 1 \text{ mm}^2 \)
Површина геометријске фигуре представља меру величине дела равни који та фигура заузима, изражену бројем јединичних фигура (најчешће јединичних квадрата) које је потпуно испуњавају.
Површина сваке фигуре је увек позитиван број (или нула).
Особине површине:
- Подударност: Подударне фигуре имају једнаке површине (обратно не мора да важи - фигуре истих површина не морају бити подударне).
- Адитивност: Ако је фигура састављена од више делова који се не преклапају, њена укупна површина једнака је збиру површина тих делова: \( P = P_1 + P_2 + \dots + P_n \).
Основна јединица за мерење површине је квадратни метар (\( \text{m}^2 \)) - површина квадрата чија је страница дужине \( 1 \text{ m} \).
| Мање јединице | Веће јединице |
|---|---|
| \( 1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2 \) | \( 1 \text{ a (ар)} = 100 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ mm}^2 \) | \( 1 \text{ ha (хектар)} = 100 \text{ a} = 10\,000 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \) | \( 1 \text{ km}^2 = 100 \text{ ha} = 1\,000\,000 \text{ m}^2 \) |
При преласку у прву мању јединицу множимо са \( 100 \), а при преласку у прву већу јединицу делимо са \( 100 \). Пре рачунања површине, све димензије морају бити изражене у истој мерној јединици.
Претвори \( 0{,}45 \text{ ha} \) у квадратне метре (\( \text{m}^2 \)).
Пошто је \( 1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2 \):
\[ 0{,}45 \cdot 10\,000 = 4\,500 \text{ m}^2 \]
Правоугаоник:
\[ P = a \cdot b \]
\( a \) и \( b \) су дужине суседних страница правоугаоника.
Квадрат:
\[ P = a^2 = a \cdot a \quad \text{или} \quad P = \frac{d^2}{2} \]
\( a \) је дужина странице, а \( d \) дужина дијагонале квадрата.
Површина сложених фигура рачуна се на два начина:
- Метод разлагања: Фигура се подели на правоугаонике/квадрате чије се површине израчунају и саберу.
- Метод допуњавања: Фигура се допуни до већег правоугаоника, па се од његове површине одузму површине додатих делова.
Када се рачуна површина са плана са задатом размером (нпр. \( 1 : 100 \)), најпре се дужине страница са цртежа претворе у стварне дужине, па се тек онда рачуна површина.
Израчунај површину правоугаоника чије су странице \( a = 1{,}2 \text{ m} \) и \( b = 40 \text{ cm} \).
Претварамо странице у исте јединице: \( a = 1{,}2 \text{ m} = 120 \text{ cm} \).
\[ P = a \cdot b = 120 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} = 4\,800 \text{ cm}^2 = 0{,}48 \text{ m}^2 \]
Површина паралелограма једнака је производу његове странице и њој одговарајуће висине.
Паралелограм:
\[ P = a \cdot h_a = b \cdot h_b \]
Одавде је: \( h_a = \dfrac{P}{a} \) и \( h_b = \dfrac{P}{b} \).
Ромб:
\[ P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\( a \) је страница, \( h \) висина, а \( d_1 \) и \( d_2 \) дијагонале ромба.
Специјалан случај: Ако ромб има оштар угао од \( 30^\circ \), висина је једнака половини странице (\( h = \frac{a}{2} \)), па је његова површина \( P = \frac{a^2}{2} \).
Странице паралелограма су \( a = 12 \text{ cm} \) и \( b = 8 \text{ cm} \). Ако је висина \( h_a = 4 \text{ cm} \), израчунај висину \( h_b \).
Прво израчунамо површину преко странице \( a \):
\[ P = a \cdot h_a = 12 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2 \]
Затим налазимо висину \( h_b \):
\[ h_b = \frac{P}{b} = \frac{48 \text{ cm}^2}{8 \text{ cm}} = 6 \text{ cm} \]
Површина било ког троугла једнака је половини производа странице и одговарајуће висине (сваки троугао је половина одговарајућег паралелограма).
Општи троугао:
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
Правоугли троугао:
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
где су \( a \) и \( b \) катете, \( c \) хипотенуза, а \( h_c \) висина на хипотенузу.
Када су дата темена троугла у квадратној мрежи:
- Описати правоугаоник око троугла тако да странице правоугаоника буду паралелне осама и садрже темена троугла.
- Израчунати површину тог правоугаоника.
- Одузети површине три помоћна правоугла троугла који се налазе изван полазног троугла.
Површина произвољног многоугла добија се његовим разлагањем на троуглове (триангулација) и сабирањем њихових појединачних површина.
Катете правоуглог троугла су \( a = 9 \text{ cm} \) и \( b = 12 \text{ cm} \), а хипотенуза \( c = 15 \text{ cm} \). Израчунај висину \( h_c \).
Површина преко катета:
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54 \text{ cm}^2 \]
Висина на хипотенузу:
\[ P = \frac{c \cdot h_c}{2} \implies 54 = \frac{15 \cdot h_c}{2} \implies h_c = \frac{108}{15} = 7{,}2 \text{ cm} \]
Површина трапеза једнака је производу половине збира дужина основица и висине трапеза, односно производу средње линије и висине.
Средња линија трапеза (\( m \)) спаја средишта кракова, паралелна је основицама и једнака је њиховом полузбиру: \( m = \dfrac{a + b}{2} \).
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h \]
\( a \) и \( b \) су основице, \( h \) је висина, а \( m \) средња линија трапеза.
Површина трапеза је \( 60 \text{ cm}^2 \), а висина је \( 6 \text{ cm} \). Ако је једна основица \( 13 \text{ cm} \), израчунај другу основицу.
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h \implies 60 = \frac{13 + b}{2} \cdot 6 \]
\[ 60 = (13 + b) \cdot 3 \implies 13 + b = 20 \implies b = 7 \text{ cm} \]
Површина било ког четвороугла чије се дијагонале секу под правим углом (\( d_1 \perp d_2 \)) једнака је половини производа његових дијагонала.
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
Ова формула важи за:
- Делтоид: \( P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \)
- Ромб: \( P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \)
- Квадрат: \( P = \dfrac{d \cdot d}{2} = \dfrac{d^2}{2} \) (јер су му дијагонале једнаке, \( d_1 = d_2 = d \))
Израчунај површину делтоида чије су дијагонале \( d_1 = 14 \text{ cm} \) и \( d_2 = 9 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{14 \cdot 9}{2} = 63 \text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину троугла чија је страница \( a = 16 \text{ cm} \), а одговарајућа висина \( h_a = 7{,}5 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{16 \cdot 7{,}5}{2} = 8 \cdot 7{,}5 = 60 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина троугла је \( 60 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Основице трапеза су \( a = 18 \text{ cm} \) и \( b = 6 \text{ cm} \). Израчунај површину трапеза ако је његова висина једнака средњој линији тог трапеза.
Прво одређујемо дужину средње линије \( m \):
\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{18 + 6}{2} = 12 \text{ cm} \]
Како је висина једнака средњој линији: \( h = m = 12 \text{ cm} \).
Површина трапеза је: \[ P = m \cdot h = 12 \cdot 12 = 144 \text{ cm}^2 \] Одговор: Површина трапеза је \( 144 \text{ cm}^2 \).
Површина трапеза је: \[ P = m \cdot h = 12 \cdot 12 = 144 \text{ cm}^2 \] Одговор: Површина трапеза је \( 144 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Обим ромба је \( 32 \text{ cm} \), а један његов оштар угао је \( 30^\circ \). Одреди површину тог ромба.
Страница ромба је:
\[ a = \frac{O}{4} = \frac{32}{4} = 8 \text{ cm} \]
Пошто је угао \( 30^\circ \), висина је:
\[ h = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \]
Површина ромба износи:
\[ P = a \cdot h = 8 \cdot 4 = 32 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина ромба је \( 32 \text{ cm}^2 \).
Тежак: Дијагонале ромба су \( d_1 = 16 \text{ cm} \) и \( d_2 = 12 \text{ cm} \), а његова страница је \( a = 10 \text{ cm} \). Израчунај дужину висине тог ромба.
Површину ромба можемо израчунати преко дијагонала:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96 \text{ cm}^2 \]
Исту површину можемо изразити и формулом преко странице и висине:
\[ P = a \cdot h \implies 96 = 10 \cdot h \implies h = \frac{96}{10} = 9{,}6 \text{ cm} \]
Одговор: Висина ромба је \( 9{,}6 \text{ cm} \).
