Најважније из лекције
- Апсолутна вредност \( |a| \) је геометријски гледано удаљеност броја \( a \) од нуле на бројевној правој.
- Апсолутна вредност је увек ненегативна: \( |a| \geq 0 \). (Пример: \( |5| = 5 \), \( |-5| = 5 \)).
- Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности: \( |a| = |-a| \).
- Једначина облика \( |x| = a \) (за \( a > 0 \)) има тачно два решења: \( x = a \) и \( x = -a \).
- Апсолутна вредност никада не може бити једнака негативном броју.
Апсолутна вредност целог броја представља удаљеност тог броја од координатног почетка (нуле) на бројевној правој.
Означава се усправним цртама \( |a| \) и чита „апсолутно a”.
Бројеви 4 и -4 су подједнако удаљени од нуле (за 4 јединичне дужи). Зато је \( |-4| = 4 \) и \( |4| = 4 \).
Посебно, удаљеност нуле од саме себе је нула, па важи \( |0| = 0 \).
Одреди апсолутну вредност бројева -15 и 23.
\( |-15| = 15 \) и \( |23| = 23 \).
Апсолутна вредност целог броја не може бити негативна (ненегативна је). За сваки цео број \( a \) важи \( |a| \geq 0 \).
Апсолутне вредности супротних целих бројева су једнаке: \( |a| = |-a| \).
Ако је \( a > 0 \), онда је број \( |a| \) једнак броју \( a \), односно \( |a| = a \).
Ако је \( a < 0 \), онда је број \( |a| \) једнак броју \( -a \), односно \( |a| = -a \).
Ако је \( a < 0 \), онда је број \( |a| \) једнак броју \( -a \), односно \( |a| = -a \).
Апсолутне вредности одређујемо једноставно и без бројевне праве:
\( |11| = 11 \), \( |-13| = 13 \), \( |-7\,845| = 7\,845 \).
\( |11| = 11 \), \( |-13| = 13 \), \( |-7\,845| = 7\,845 \).
Упореди апсолутне вредности бројева 100 и -100.
Пошто су 100 и -100 супротни бројеви, њихове апсолутне вредности су једнаке: \( |100| = |-100| = 100 \).
Када решавамо једначину облика \( |x| = a \), тражимо све бројеве чија је удаљеност од нуле тачно \( a \).
Ако је \( a > 0 \), постоје тачно два решења: \( x = a \) или \( x = -a \). (нпр. из \( |x| = 4 \) следи \( x \in \{-4, 4\} \)).
Ако је \( a = 0 \), постоји само једно решење: \( x = 0 \).
Ако је \( a < 0 \), једначина нема решења, јер апсолутна вредност не може бити негативан број. (нпр. \( |x| = -1 \) нема решења у скупу целих бројева).
Колико целих бројева задовољава једначину \( |x| = 7 \)?
Постоје тачно два таква броја. То су бројеви који су за 7 удаљени од координатног почетка: \( x = 7 \) и \( x = -7 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( |-8| + |3| \).
Прво одређујемо апсолутне вредности: \( |-8| = 8 \) и \( |3| = 3 \).
Затим сабирамо: \( 8 + 3 = 11 \).
Одговор: 11
Затим сабирамо: \( 8 + 3 = 11 \).
Одговор: 11
Средњи: Реши једначину \( |x| = 153 \).
Пошто је 153 позитиван број, на бројевној правој постоје два броја чија је удаљеност од нуле тачно 153.
Одговор: \( x = 153 \) или \( x = -153 \).
Одговор: \( x = 153 \) или \( x = -153 \).
Тежак: Реши једначину \( |x| = -x \) у скупу целих бројева.
Апсолутна вредност броја (\( |x| \)) је увек позитивна или нула, па и израз на десној страни (\( -x \)) мора бити позитиван или нула. Ово важи само када је \( x \) негативан број или нула.
Сваки негативан број је решење (нпр. \( |-5| = -(-5) = 5 \)), као и нула јер је \( |0| = -0 = 0 \).
Одговор: Решење су сви непозитивни цели бројеви (скуп који чине нула и сви негативни бројеви), тј. \( x \in \mathbb{Z}_0^{-} \).
Сваки негативан број је решење (нпр. \( |-5| = -(-5) = 5 \)), као и нула јер је \( |0| = -0 = 0 \).
Одговор: Решење су сви непозитивни цели бројеви (скуп који чине нула и сви негативни бројеви), тј. \( x \in \mathbb{Z}_0^{-} \).
