Најважније из лекције
- Сабирање целих бројева приказујемо на бројевној правој: додавање позитивног броја помера удесно, а додавање негативног улево.
- Исти знак: збир задржава знак сабирака, а апсолутне вредности сабирамо. На пример: \( (-7)+(-8) = -15 \).
- Различит знак: збир добија знак сабирка веће апсолутне вредности, а од веће апсолутне вредности одузимамо мању. На пример: \( 37+(-50) = -13 \).
- Ако су бројеви супротни (иста апсолутна вредност, различит знак), збир је нула: \( (-3)+3 = 0 \).
- Збир свака два цела броја увек је цео број — сабирање је изводљиво у скупу \( \mathbb{Z} \).
Сабирање целих бројева можемо да прикажемо на бројевној правој. Крећемо се од тачке која одговара првом сабирку.
- Додавање позитивног броја значи да правимо кораке у позитивном смеру (удесно).
- Додавање негативног броја значи да правимо кораке у негативном смеру (улево).
Неколико примера са бројевне праве:
\[ 1 + 2 = 3 \qquad (-1) + 2 = 1 \]
\[ (-1) + (-2) = -3 \qquad (-2) + 2 = 0 \qquad 1 + (-2) = -1 \]
Апсолутна вредност целог броја \( a \):
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a \text{ позитиван} \\ 0, & \text{ако је } a = 0 \\ -a, & \text{ако је } a \text{ негативан} \end{cases} \]
Знак збира два броја: ако су оба позитивна (или је један нула), збир је позитиван; ако су оба негативна (или је један нула), збир је негативан.
Нула нема знак, па важи: \( +0 = -0 = 0 \).
Збир два цела броја истог знака јесте цео број који има знак сабирака, а његова апсолутна вредност једнака је збиру апсолутних вредности сабирака.
Задатак 4.1 — Израчунај:
а) \( (-7) + (-8) \): знак збира је минус (оба сабирка су са знаком минус). \[ (-7) + (-8) = -\big(|{-7}| + |{-8}|\big) = -(7 + 8) = -15 \] б) \( 23 + 41 \): знак збира је плус (оба сабирка са знаком плус). \[ 23 + 41 = +\big(|23| + |41|\big) = +(23 + 41) = 64 \] в) \( 5 + 0 \): знак збира је плус. \[ 5 + 0 = +\big(|5| + |0|\big) = +(5 + 0) = 5 \] г) \( 0 + (-6) \): знак збира је минус. \[ 0 + (-6) = -\big(|0| + |{-6}|\big) = -(0 + 6) = -6 \]
а) \( (-7) + (-8) \): знак збира је минус (оба сабирка су са знаком минус). \[ (-7) + (-8) = -\big(|{-7}| + |{-8}|\big) = -(7 + 8) = -15 \] б) \( 23 + 41 \): знак збира је плус (оба сабирка са знаком плус). \[ 23 + 41 = +\big(|23| + |41|\big) = +(23 + 41) = 64 \] в) \( 5 + 0 \): знак збира је плус. \[ 5 + 0 = +\big(|5| + |0|\big) = +(5 + 0) = 5 \] г) \( 0 + (-6) \): знак збира је минус. \[ 0 + (-6) = -\big(|0| + |{-6}|\big) = -(0 + 6) = -6 \]
Збир два цела броја различитог знака јесте цео број који има знак сабирка веће апсолутне вредности, а његова апсолутна вредност једнака је разлици апсолутних вредности сабирака (од веће се одузима мања).
Ако два цела броја различитог знака имају једнаке апсолутне вредности, онда је њихов збир нула.
Задатак 4.2 — Израчунај:
а) \( (-9) + 20 \): знак збира је плус, јер је \( |20| > |{-9}| \). \[ (-9) + 20 = +\big(|20| - |{-9}|\big) = +(20 - 9) = 11 \] б) \( 37 + (-50) \): знак збира је минус, јер је \( |{-50}| > |37| \). \[ 37 + (-50) = -\big(|{-50}| - |37|\big) = -(50 - 37) = -13 \] в) \( (-3) + 3 \): пошто су \( |{-3}| = |3| \) и бројеви су различитог знака, збир је нула. \[ (-3) + 3 = 0 \]
а) \( (-9) + 20 \): знак збира је плус, јер је \( |20| > |{-9}| \). \[ (-9) + 20 = +\big(|20| - |{-9}|\big) = +(20 - 9) = 11 \] б) \( 37 + (-50) \): знак збира је минус, јер је \( |{-50}| > |37| \). \[ 37 + (-50) = -\big(|{-50}| - |37|\big) = -(50 - 37) = -13 \] в) \( (-3) + 3 \): пошто су \( |{-3}| = |3| \) и бројеви су различитог знака, збир је нула. \[ (-3) + 3 = 0 \]
Задатак 4.3 — Подморница се налазила на нивоу \( -74 \) m (74 m испод нивоа мора).
а) Ако се спусти још 17 m, њена нова дубина је:
\[ (-74) + (-17) = -91 \text{ (m)} \]
Подморница је на нивоу \( -91 \) m.
б) Ако се подигне за 17 m, њена нова дубина је: \[ (-74) + 17 = -57 \text{ (m)} \] Подморница је на нивоу \( -57 \) m.
б) Ако се подигне за 17 m, њена нова дубина је: \[ (-74) + 17 = -57 \text{ (m)} \] Подморница је на нивоу \( -57 \) m.
Сабирање је увек изводљиво у скупу целих бројева. Збир свака два цела броја јесте цео број.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај: \( (-21) + 6 \).
Сабирци су различитог знака. Знак збира одређује сабирак веће апсолутне вредности: \( |{-21}| = 21 > 6 = |6| \), па је знак минус.
Апсолутну вредност добијамо одузимањем: \( 21 - 6 = 15 \). \[ (-21) + 6 = -(21 - 6) = -15 \] Одговор: \( -15 \).
Апсолутну вредност добијамо одузимањем: \( 21 - 6 = 15 \). \[ (-21) + 6 = -(21 - 6) = -15 \] Одговор: \( -15 \).
Средњи задатак: Израчунај: \( (-33) + (-23) \).
Сабирци су истог знака (оба негативна), па је знак збира минус.
Апсолутне вредности сабирамо: \( |{-33}| + |{-23}| = 33 + 23 = 56 \). \[ (-33) + (-23) = -(33 + 23) = -56 \] Одговор: \( -56 \).
Апсолутне вредности сабирамо: \( |{-33}| + |{-23}| = 33 + 23 = 56 \). \[ (-33) + (-23) = -(33 + 23) = -56 \] Одговор: \( -56 \).
Тежак задатак: Подморница је била на нивоу \( -45 \) m. Прво се спустила још 12 m, а затим се подигла за 30 m. На ком нивоу се сада налази?
Спуштање записујемо као додавање негативног броја, а подизање као додавање позитивног броја.
Прво спуштање за 12 m: \[ (-45) + (-12) = -(45 + 12) = -57 \text{ (m)} \] Затим подизање за 30 m (сабирци различитог знака, \( |{-57}| > |30| \), знак минус): \[ (-57) + 30 = -(57 - 30) = -27 \text{ (m)} \] Одговор: Подморница је на нивоу \( -27 \) m.
Прво спуштање за 12 m: \[ (-45) + (-12) = -(45 + 12) = -57 \text{ (m)} \] Затим подизање за 30 m (сабирци различитог знака, \( |{-57}| > |30| \), знак минус): \[ (-57) + 30 = -(57 - 30) = -27 \text{ (m)} \] Одговор: Подморница је на нивоу \( -27 \) m.
