Најважније из лекције
Мерне јединице: Однос суседних јединица је \( 100 \) (\( 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 \), \( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \), \( 1 \text{ ha} = 100 \text{ a} \)).
Површина троугла: \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \); код правоуглог троугла \( P = \frac{a \cdot b}{2} \) (производ катета кроз 2).
Нормалне дијагонале: За делтоид, ромб и квадрат важи \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \). За квадрат такође \( P = \frac{d^2}{2} \).
Произвољне фигуре: Рачунају се сабирањем делова након триангулације (\( P = P_1 + P_2 \)) или одузимањем вишка након допуне до правоугаоника (\( P = P_{\square} - \sum P_i \)).
Површина троугла: \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \); код правоуглог троугла \( P = \frac{a \cdot b}{2} \) (производ катета кроз 2).
Нормалне дијагонале: За делтоид, ромб и квадрат важи \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \). За квадрат такође \( P = \frac{d^2}{2} \).
Произвољне фигуре: Рачунају се сабирањем делова након триангулације (\( P = P_1 + P_2 \)) или одузимањем вишка након допуне до правоугаоника (\( P = P_{\square} - \sum P_i \)).
Површина геометријске фигуре представља меру њене величине и одређује се бројем јединичних фигура (најчешће јединичних квадрата) које је потпуно прекривају.
Површина је увек позитиван број: \( P > 0 \).
Основна јединица за мерење површине је квадратни метар (\( \text{m}^2 \)), што представља површину квадрата странице \( 1 \text{ m} \).
Свака мерна јединица за површину је 100 пута већа од прве суседне мање јединице:
| Јединице мање од \( \text{m}^2 \) | Јединице веће од \( \text{m}^2 \) |
|---|---|
| \( 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 \) | \( 1 \text{ a (ар)} = 100 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2 \) | \( 1 \text{ ha (хектар)} = 100 \text{ a} = 10\,000 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2 \) | \( 1 \text{ km}^2 = 100 \text{ ha} = 1\,000\,000 \text{ m}^2 \) |
При преласку на мању мерну јединицу множимо са 100 (по једном нивоу), а при преласку на већу јединицу делимо са 100.
\( 4{,}5 \text{ a} = 4{,}5 \cdot 100 \text{ m}^2 = 450 \text{ m}^2 \)
\( 350 \text{ dm}^2 = 350 : 100 \text{ m}^2 = 3{,}5 \text{ m}^2 \)
\( 350 \text{ dm}^2 = 350 : 100 \text{ m}^2 = 3{,}5 \text{ m}^2 \)
Подударност и површина: Подударне фигуре имају једнаке површине.
Обратно не важи увек - фигуре једнаких површина не морају бити подударне (на пример, правоугаоник и троугао могу имати исте површине иако немају исти облик).
Адитивност површине: Ако је фигура састављена од више делова који се не преклапају, њена укупна површина једнака је збиру површина тих делова:
\[ P = P_1 + P_2 + \dots + P_n \]
Премештањем делова фигуре њена укупна површина остаје непромењена.
Површина сваког троугла једнака је половини производа дужине једне странице и њој одговарајуће висине (јер троугао чини половину паралелограма са истом страницом и висином).
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
где су \( a, b, c \) странице троугла, а \( h_a, h_b, h_c \) одговарајуће висине.
Правоугли троугао: Пошто су катете узајамно нормалне, свака катета је уједно висина за ону другу (\( h_a = b \), \( h_b = a \)).
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
где су \( a \) и \( b \) катете, \( c \) хипотенуза, а \( h_c \) висина на хипотенузу.
Израчунај површину правоуглог троугла чије су катете \( a = 6 \text{ cm} \) и \( b = 7 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ cm}^2 \]
Четвороугли чије се дијагонале секу под правим углом (\( d_1 \perp d_2 \)) су: делтоид, ромб и квадрат.
Површина четвороугла са нормалним дијагоналама једнака је половини производа дужина његових дијагонала.
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
За квадрат (где је \( d_1 = d_2 = d \)):
\[ P = \frac{d^2}{2} \]
За ромб важе две формуле за површину, што омогућава рачунање његове висине:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \quad \text{и} \quad P = a \cdot h \implies h = \frac{P}{a} \]
Израчунај површину делтоида чије су дијагонале \( d_1 = 14 \text{ cm} \) и \( d_2 = 5 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{14 \cdot 5}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2 \]
Површина било ког неправилног четвороугла или многоугла одређује се применом две главне методе:
Четвороугао се помоћу дијагонале разложи на два троугла. Израчунају се површине појединачних троуглова и саберу:
\[ P = P_{\triangle 1} + P_{\triangle 2} \]
Погодно за координатну мрежу. Око четвороугла се опише правоугаоник са страницама паралелним осама/мрежи. Површина се добија одузимањем околних правоуглих троуглова од површине правоугаоника:
\[ P = P_{\square} - (P_1 + P_2 + P_3 + \dots) \]
Ако правоугаоник око фигуре има димензије \( 10 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \) (\( P_{\square} = 60 \text{ cm}^2 \)), а околни троуглови заузимају површине \( 12 \text{ cm}^2 \), \( 8 \text{ cm}^2 \) и \( 15 \text{ cm}^2 \):
\[ P = 60 - (12 + 8 + 15) = 60 - 35 = 25 \text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај површину квадрата чија је дијагонала дужине \( d = 8 \text{ cm} \).
Како су дијагонале квадрата међусобно једнаке и секу се под правим углом, користимо формулу:
\[ P = \frac{d^2}{2} \]
\[ P = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина квадрата је \( 32 \text{ cm}^2 \).
Средњи задатак: Дијагонале ромба су \( d_1 = 12 \text{ cm} \) и \( d_2 = 16 \text{ cm} \). Ако је страница ромба \( a = 10 \text{ cm} \), израчунај висину \( h \) тог ромба.
Прво одређујемо површину преко дијагонала:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 \text{ cm}^2 \]
Затим користимо формулу за површину преко странице и висине:
\[ P = a \cdot h \]
\[ 96 = 10 \cdot h \implies h = 96 : 10 = 9{,}6 \text{ cm} \]
Одговор: Висина ромба је \( 9{,}6 \text{ cm} \).
Средњи задатак: У троуглу је дужина странице \( a = 12 \text{ cm} \), а одговарајућа висина је \( h_a = 5 \text{ cm} \). Израчунај висину \( h_b \) која одговара страници \( b = 8 \text{ cm} \).
Површина троугла је:
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
Иста површина изражена преко странице \( b \) и висине \( h_b \) гласи:
\[ P = \frac{b \cdot h_b}{2} \implies 30 = \frac{8 \cdot h_b}{2} \implies 30 = 4 \cdot h_b \]
\[ h_b = 30 : 4 = 7{,}5 \text{ cm} \]
Одговор: Висина \( h_b \) износи \( 7{,}5 \text{ cm} \).
Тежак задатак: Четвороугаона парцела уцртана је на координатној мрежи тако да се може описати правоугаоником димензија \( 40 \text{ m} \times 30 \text{ m} \). Између правоугаоника и парцеле налазе се три правоугла троугла чије су катете:
- Први троугао: \( 40 \text{ m} \) и \( 10 \text{ m} \)
- Други троугао: \( 20 \text{ m} \) и \( 20 \text{ m} \)
- Трећи троугао: \( 20 \text{ m} \) и \( 30 \text{ m} \)
Израчунај површину парцеле у арима (\( \text{a} \)).
- Први троугао: \( 40 \text{ m} \) и \( 10 \text{ m} \)
- Други троугао: \( 20 \text{ m} \) и \( 20 \text{ m} \)
- Трећи троугао: \( 20 \text{ m} \) и \( 30 \text{ m} \)
Израчунај површину парцеле у арима (\( \text{a} \)).
1. Површина описаног правоугаоника:
\[ P_{\square} = 40 \cdot 30 = 1200 \text{ m}^2 \]
2. Површине три правоугла троугла:
\[ P_1 = \frac{40 \cdot 10}{2} = 200 \text{ m}^2 \]
\[ P_2 = \frac{20 \cdot 20}{2} = 200 \text{ m}^2 \]
\[ P_3 = \frac{20 \cdot 30}{2} = 300 \text{ m}^2 \]
3. Површина парцеле:
\[ P = P_{\square} - (P_1 + P_2 + P_3) = 1200 - (200 + 200 + 300) = 1200 - 700 = 500 \text{ m}^2 \]
4. Претварање у аре (\( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \)):
\[ 500 \text{ m}^2 = 500 : 100 = 5 \text{ a} \]
Одговор: Површина парцеле је \( 5 \text{ a} \).
