Најважније из лекције
Нулти и негативни изложилац: \( 10^0 = 1 \) и \( 10^{-n} = \frac{1}{10^n} \).
Операције са степенима: За све целе бројеве \( p, q \) важе иста правила: \( 10^p \cdot 10^q = 10^{p+q} \), \( 10^p : 10^q = 10^{p-q} \), \( (10^p)^q = 10^{p \cdot q} \).
Стандардни запис: Број облика \( a \cdot 10^p \), где је \( 1 \le a < 10 \) и \( p \in \mathbb{Z} \).
Пример: Број \( 0,0034 \) у стандардном запису је \( 3,4 \cdot 10^{-3} \).
Операције са степенима: За све целе бројеве \( p, q \) важе иста правила: \( 10^p \cdot 10^q = 10^{p+q} \), \( 10^p : 10^q = 10^{p-q} \), \( (10^p)^q = 10^{p \cdot q} \).
Стандардни запис: Број облика \( a \cdot 10^p \), где је \( 1 \le a < 10 \) и \( p \in \mathbb{Z} \).
Пример: Број \( 0,0034 \) у стандардном запису је \( 3,4 \cdot 10^{-3} \).
Степени чија је основа број 10 често се користе за прегледнији запис веома великих или веома малих бројева.
За природан број \( n \):
\[ 10^n = \underbrace{10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10}_{n \text{ пута}} \]
Степен чија је основа број 10, а изложилац број 0, једнак је 1.
\[ 10^0 = 1 \]
\( 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \)
Израчунај вредност израза: \( 10^2 + 10^0 \).
\( 10^2 = 100 \), а \( 10^0 = 1 \).
Одговор: \( 100 + 1 = 101 \).
Одговор: \( 100 + 1 = 101 \).
Када је изложилац негативан цео број, степен се може записати у облику разломка чији је бројилац 1, а именилац степен са позитивним изложиоцем.
За природан број \( n \) важи:
\[ 10^{-n} = \frac{1}{10^n} \]
\( 10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1 \)
\( 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001 \)
\( 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001 \)
Представи број \( 0,00001 \) у облику степена са основом 10.
Број \( 0,00001 \) можемо записати као разломак \( \frac{1}{100000} \). Како је \( 100000 = 10^5 \), следи:
\( \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \).
Одговор: \( 10^{-5} \).
\( \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \).
Одговор: \( 10^{-5} \).
Правила која важе за степеновање природним бројевима, важе и када су изложиоци било који цели бројеви (позитивни, негативни или нула).
Ако су \( p, q \in \mathbb{Z} \) (цели бројеви), онда важи:
- Множење степена истих основа: \( 10^p \cdot 10^q = 10^{p+q} \)
- Дељење степена истих основа: \( 10^p : 10^q = 10^{p-q} \)
- Степеновање степена: \( (10^p)^q = 10^{p \cdot q} \)
а) \( 10^{-2} \cdot 10^5 = 10^{-2+5} = 10^3 \)
б) \( 10^4 : 10^{-3} = 10^{4 - (-3)} = 10^{4+3} = 10^7 \)
в) \( (10^{-3})^2 = 10^{-3 \cdot 2} = 10^{-6} \)
б) \( 10^4 : 10^{-3} = 10^{4 - (-3)} = 10^{4+3} = 10^7 \)
в) \( (10^{-3})^2 = 10^{-3 \cdot 2} = 10^{-6} \)
Израчунај и представи резултат као степен броја 10: \( (10^5 : 10^7) \cdot (10^{-2})^{-3} \).
Прво израчунамо изразе у заградама и степеновање степена:
\( 10^5 : 10^7 = 10^{5-7} = 10^{-2} \)
\( (10^{-2})^{-3} = 10^{-2 \cdot (-3)} = 10^6 \)
Сада помножимо добијене резултате:
\( 10^{-2} \cdot 10^6 = 10^{-2+6} = 10^4 \)
Одговор: \( 10^4 \).
\( 10^5 : 10^7 = 10^{5-7} = 10^{-2} \)
\( (10^{-2})^{-3} = 10^{-2 \cdot (-3)} = 10^6 \)
Сада помножимо добијене резултате:
\( 10^{-2} \cdot 10^6 = 10^{-2+6} = 10^4 \)
Одговор: \( 10^4 \).
Стандардни или научни запис позитивног реалног броја јесте запис тог броја у облику \( a \cdot 10^p \), при чему важи услов за број \( a \): \( 1 \le a < 10 \), а \( p \) је цео број (\( p \in \mathbb{Z} \)).
Велики бројеви: \( 25\,000 = 2,5 \cdot 10^4 \)
Мали бројеви: \( 0,00123 = 1,23 \cdot 10^{-3} \)
Мали бројеви: \( 0,00123 = 1,23 \cdot 10^{-3} \)
Број \( a \) мора бити већи или једнак 1, а строго мањи од 10. Запис \( 25 \cdot 10^3 \) није стандардни запис јер је \( 25 > 10 \).
Представи број \( 571 \cdot 10^{-5} \) у стандардном запису.
Број 571 није између 1 и 10. Можемо га записати као \( 5,71 \cdot 10^2 \).
Сада израз постаје: \( 5,71 \cdot 10^2 \cdot 10^{-5} \).
Применом правила за множење степена: \( 10^2 \cdot 10^{-5} = 10^{-3} \).
Одговор: \( 5,71 \cdot 10^{-3} \).
Сада израз постаје: \( 5,71 \cdot 10^2 \cdot 10^{-5} \).
Применом правила за множење степена: \( 10^2 \cdot 10^{-5} = 10^{-3} \).
Одговор: \( 5,71 \cdot 10^{-3} \).
За краћи и јаснији запис мерних јединица користе се префикси који представљају одређене степене броја 10.
| Назив | Ознака | Вредност |
|---|---|---|
| тера | T | \( 10^{12} \) |
| гига | G | \( 10^{9} \) |
| мега | M | \( 10^{6} \) |
| кило | k | \( 10^{3} \) |
| хекто | h | \( 10^{2} \) |
| дека | da | \( 10^{1} \) |
| Основна јединица (\(10^0\)) | ||
| деци | d | \( 10^{-1} \) |
| центи | c | \( 10^{-2} \) |
| мили | m | \( 10^{-3} \) |
| микро | μ | \( 10^{-6} \) |
| нано | n | \( 10^{-9} \) |
| пико | p | \( 10^{-12} \) |
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај и представи у облику степена са основом 10:
а) \( 10^{-4} \cdot 10^9 \)
б) \( 10^2 : 10^{-3} \)
а) \( 10^{-4} \cdot 10^9 \)
б) \( 10^2 : 10^{-3} \)
а) Код множења се изложиоци сабирају: \( 10^{-4 + 9} = 10^5 \).
б) Код дељења се изложиоци одузимају: \( 10^{2 - (-3)} = 10^{2 + 3} = 10^5 \).
б) Код дељења се изложиоци одузимају: \( 10^{2 - (-3)} = 10^{2 + 3} = 10^5 \).
Средњи: Представи следеће бројеве у стандардном запису:
а) \( 1\,500\,000 \)
б) \( 0,000042 \)
а) \( 1\,500\,000 \)
б) \( 0,000042 \)
У стандардном запису број мора бити облика \( a \cdot 10^p \), где је \( 1 \le a < 10 \).
а) \( 1\,500\,000 = 1,5 \cdot 10^6 \)
б) \( 0,000042 = 4,2 \cdot 10^{-5} \)
а) \( 1\,500\,000 = 1,5 \cdot 10^6 \)
б) \( 0,000042 = 4,2 \cdot 10^{-5} \)
Тежак: Израчунај вредност израза и резултат напиши у стандардном запису:
\[ \frac{2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 4 \cdot 10^8}{10^2} \]
Прво помножимо бројеве, а затим степене основе 10 у бројиоцу:
\( 2,5 \cdot 4 = 10 \)
\( 10^{-3} \cdot 10^8 = 10^5 \)
Бројилац је сада: \( 10 \cdot 10^5 = 10^6 \).
Сада израз изгледа овако: \( \frac{10^6}{10^2} = 10^{6-2} = 10^4 \).
Тражи се стандардни запис. Како је \( 10^4 \) заправо \( 1 \cdot 10^4 \), то је коначан одговор.
Одговор: \( 1 \cdot 10^4 \).
\( 2,5 \cdot 4 = 10 \)
\( 10^{-3} \cdot 10^8 = 10^5 \)
Бројилац је сада: \( 10 \cdot 10^5 = 10^6 \).
Сада израз изгледа овако: \( \frac{10^6}{10^2} = 10^{6-2} = 10^4 \).
Тражи се стандардни запис. Како је \( 10^4 \) заправо \( 1 \cdot 10^4 \), то је коначан одговор.
Одговор: \( 1 \cdot 10^4 \).
