Најважније из лекције
Врсте децималних записа:
• Рационални бројеви имају коначан (\(0,25\)) или бесконачан периодичан запис (\(0,333...\)).
• Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан запис (\(\sqrt{3} \approx 1,732...\)).
Апсолутна грешка: Рачуна се као разлика између тачне и приближне вредности: \(\Delta = |r - r'|\).
Правило парне цифре (заокругљивање петице): Када се одбацује тачно 5 (без цифара иза), претходна цифра се не мења ако је парна (\(3,45 \approx 3,4\)), а повећава се за 1 ако је непарна (\(3,75 \approx 3,8\)). У свим осталим случајевима важе стандардна правила (<5 се задржава, >5 се повећава).
• Рационални бројеви имају коначан (\(0,25\)) или бесконачан периодичан запис (\(0,333...\)).
• Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан запис (\(\sqrt{3} \approx 1,732...\)).
Апсолутна грешка: Рачуна се као разлика између тачне и приближне вредности: \(\Delta = |r - r'|\).
Правило парне цифре (заокругљивање петице): Када се одбацује тачно 5 (без цифара иза), претходна цифра се не мења ако је парна (\(3,45 \approx 3,4\)), а повећава се за 1 ако је непарна (\(3,75 \approx 3,8\)). У свим осталим случајевима важе стандардна правила (<5 се задржава, >5 се повећава).
Сваки рационалан број (који се може записати као разломак) преводи се у децимални запис дељењем бројиоца и имениоца.
Сваки рационалан број има коначан децимални запис или бесконачан периодичан децимални запис.
Коначан запис: \(\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0,4\)
Бесконачан периодичан запис: \(\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,6666... = 0,(6)\) (цифре које се понављају чине период и пишу се у загради).
Бесконачан периодичан запис: \(\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,6666... = 0,(6)\) (цифре које се понављају чине период и пишу се у загради).
Представи број \(\frac{7}{6}\) у децималном запису.
Делимо бројилац имениоцем: \(7 : 6 = 1,1666...\)
Одговор: Децимални запис је бесконачан периодичан и записује се као \(1,1(6)\).
Одговор: Децимални запис је бесконачан периодичан и записује се као \(1,1(6)\).
Сваки ирационалан број има бесконачан непериодичан децимални запис. За одређивање његових децимала користи се поступак постепеног сужавања интервала.
Пример ирационалног броја је \(\sqrt{2}\). Његов запис је \(\sqrt{2} = 1,4142135...\) и цифре се не понављају периодично.
Правила за упоређивање реалних бројева:
- Сваки позитиван број већи је од сваког негативног.
- Од два позитивна броја, већи је онај са већом апсолутном вредношћу.
- Од два негативна броја, већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (ближи је нули).
Упореди бројеве \(-3\) и \(-\sqrt{10}\).
Прво процењујемо \(\sqrt{10}\). Пошто је \(3^2 = 9\) и \(4^2 = 16\), знамо да је \(\sqrt{10} > 3\).
Апсолутне вредности су \(|-3| = 3\) и \(|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}\).
Како је \(\sqrt{10} > 3\), код негативних бројева важи обрнуто: \(-3 > -\sqrt{10}\).
Апсолутне вредности су \(|-3| = 3\) и \(|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}\).
Како је \(\sqrt{10} > 3\), код негативних бројева важи обрнуто: \(-3 > -\sqrt{10}\).
Уместо тачног реалног броја често се користи његова приближна вредност, што зависи од жељене тачности. За приближну вредност користи се знак \(\approx\).
Апсолутна грешка (\(\Delta\)) је апсолутна вредност разлике тачног броја \(r\) и његове приближне вредности \(r'\):
\[ \Delta = |r - r'| \]
Ако за број \(r = 1,41421...\) узмемо приближну вредност \(r' = 1,41\), апсолутна грешка је:
\(\Delta = |1,41421... - 1,41| = 0,00421...\)
\(\Delta = |1,41421... - 1,41| = 0,00421...\)
Да би грешка при узимању приближне вредности била што мања, примењују се следећа правила за одбацивање цифара:
Цифра испред ње (последња која се задржава) остаје непромењена.
Пример: \(2,371 \approx 2,37\) (одбацујемо 1).
Пример: \(2,371 \approx 2,37\) (одбацујемо 1).
Последња цифра која се задржава повећава се за 1.
Пример: \(2,376 \approx 2,38\) (одбацујемо 6).
Пример: \(2,376 \approx 2,38\) (одбацујемо 6).
- Ако иза 5 има још цифара различитих од нуле, претходна цифра се повећава за 1. (Пример: \(2,3752 \approx 2,38\))
- Ако иза 5 нема цифара (или су само нуле), гледа се претходна цифра:
а) ако је парна, остаје непромењена (Пример: \(2,345 \approx 2,34\)).
б) ако је непарна, повећава се за 1 (Пример: \(2,375 \approx 2,38\)).
Заокругли број \(8,265\) на две децимале.
Прва цифра која се одбацује је 5, а иза ње нема других цифара. Претходна цифра је 6, што је паран број. Према правилу, парна цифра остаје непромењена.
Одговор: \(8,26\).
Одговор: \(8,26\).
Задаци за вежбање
Лак: Запиши разломак \(\frac{3}{4}\) у децималном облику и одреди да ли је запис коначан или бесконачан.
Делимо бројилац имениоцем: \(3 : 4 = 0,75\).
Одговор: Децимални запис је коначан.
Одговор: Децимални запис је коначан.
Средњи: Дат је број \(r = 4,18501\). Заокругли овај број прво на две, а затим на једну децималу.
На две децимале: Задржавамо прве две децимале (4,18). Прва цифра коју одбацујемо је 5. Иза ње постоје цифре различите од нуле (01). Зато се претходна цифра (8) повећава за 1.
Резултат: \(4,19\).
На једну децималу: Задржавамо једну децималу (4,1). Прва цифра коју одбацујемо је 8, што је веће од 5. Зато се претходна цифра (1) повећава за 1.
Резултат: \(4,2\).
Резултат: \(4,19\).
На једну децималу: Задржавамо једну децималу (4,1). Прва цифра коју одбацујемо је 8, што је веће од 5. Зато се претходна цифра (1) повећава за 1.
Резултат: \(4,2\).
Тежак: Нека је тачна вредност броја \(r = 5,3246...\). Ако се овај број заокругли на две децимале и тако добије приближна вредност \(r'\), израчунај апсолутну грешку тог приближног броја у односу на дати запис.
Прво одређујемо приближну вредност \(r'\). Заокругљујемо \(5,3246...\) на две децимале. Прва цифра која се одбацује је 4 (мање од 5), па 2 остаје непромењено.
\(r' = 5,32\)
Сада рачунамо апсолутну грешку по формули \(\Delta = |r - r'|\):
\(\Delta = |5,3246... - 5,32| = 0,0046...\)
Одговор: Апсолутна грешка је \(0,0046...\)
\(r' = 5,32\)
Сада рачунамо апсолутну грешку по формули \(\Delta = |r - r'|\):
\(\Delta = |5,3246... - 5,32| = 0,0046...\)
Одговор: Апсолутна грешка је \(0,0046...\)
