Најважније из лекције
Питагорина теорема примењује се искључиво на правоугле троуглове и гласи: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
- Хипотенуза (\( c \)) је најдужа страница, налази се наспрам правог угла. Рачуна се као: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \).
- Катете (\( a \) и \( b \)) граде прави угао. Непозната катета се рачуна одузимањем: \( a = \sqrt{c^2 - b^2} \).
- Површина правоуглог троугла се најбрже рачуна преко катета: \( P = \frac{a \cdot b}{2} \).
- Описана кружница око правоуглог троугла има центар тачно на средини хипотенузе, па је њен полупречник \( R = \frac{c}{2} \).
Троугао је правоугли ако му је тачно један унутрашњи угао прав (\( 90^\circ \)).
Хипотенуза је најдужа страница правоуглог троугла и увек се налази наспрам правог угла. Најчешће се обележава словом \( c \).
Катете су странице које одређују (заклапају) прави угао. Најчешће се обележавају словима \( a \) и \( b \).
Површина квадрата над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина квадрата над катетама тог правоуглог троугла.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где су \( a \) и \( b \) дужине катета, а \( c \) дужина хипотенузе.
Ако су познате катете \( a = 3 \text{ cm} \) и \( b = 4 \text{ cm} \), дужину хипотенузе рачунамо на следећи начин:
\[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Дужина хипотенузе је позитивно решење ове једначине:
\[ c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
Израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла чије су катете \( a = 6 \text{ cm} \) и \( b = 8 \text{ cm} \).
Користимо Питагорину теорему:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина хипотенузе је \( 10 \text{ cm} \).
Када су нам познате дужина хипотенузе и једне катете, дужину друге катете рачунамо тако што од квадрата хипотенузе одузмемо квадрат познате катете.
\[ a^2 = c^2 - b^2 \quad \text{односно} \quad b^2 = c^2 - a^2 \]
Ако је хипотенуза \( c = 2,6 \text{ cm} \) и катета \( a = 2,4 \text{ cm} \), другу катету \( b \) рачунамо овако:
\[ b^2 = (2,6)^2 - (2,4)^2 = 6,76 - 5,76 = 1 \]
\[ b = \sqrt{1} = 1 \text{ cm} \]
Израчунај дужину катете \( x \) ако је хипотенуза \( z = \frac{5}{2} \text{ cm} \) и друга катета \( y = \frac{3}{2} \text{ cm} \).
Примењујемо формулу за рачунање непознате катете:
\[ x^2 = z^2 - y^2 \]
\[ x^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
\[ x = \sqrt{4} = 2 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина катете \( x \) је \( 2 \text{ cm} \).
Обим троугла:
\[ O = a + b + c \]
Површина троугла:
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
(\( h_c \) је висина која одговара хипотенузи)
Полупречник описане кружнице (\( R \)): \[ R = \frac{c}{2} \] (Центар описане кружнице код правоуглог троугла увек се налази тачно на средини хипотенузе)
Полупречник описане кружнице (\( R \)): \[ R = \frac{c}{2} \] (Центар описане кружнице код правоуглог троугла увек се налази тачно на средини хипотенузе)
Површина правоуглог троугла је \( P = 120 \text{ dm}^2 \), а једна катета је \( a = 10 \text{ dm} \). Одреди дужину друге катете \( b \).
Из формуле за површину \( P = \frac{a \cdot b}{2} \) следи:
\[ 120 = \frac{10 \cdot b}{2} \]
\[ 120 = 5 \cdot b \]
\[ b = \frac{120}{5} = 24 \text{ dm} \]
Одговор: Дужина друге катете је \( 24 \text{ dm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај дужину треће странице правоуглог троугла ако су дужине његових катета \( 5 \text{ cm} \) и \( 12 \text{ cm} \).
Тражи се хипотенуза \( c \). Према Питагориној теореми:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина треће странице је \( 13 \text{ cm} \).
Средњи: Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла износи \( h_c = \frac{120}{13} \text{ dm} \). Ако су катете тог троугла \( a = 10 \text{ dm} \) и \( b = 24 \text{ dm} \), израчунај дужину хипотенузе на два начина (користећи Питагорину теорему и користећи формулу за површину).
Први начин (Питагорина теорема):
\[ c^2 = a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \]
\[ c = \sqrt{676} = 26 \text{ dm} \]
Други начин (преко површине): Површину можемо израчунати преко катета: \[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \text{ dm}^2 \] Исту површину можемо изразити преко хипотенузе и њене висине: \[ P = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 120 = \frac{c \cdot \frac{120}{13}}{2} \] \[ 120 = \frac{120 \cdot c}{26} \Rightarrow 120 \cdot 26 = 120 \cdot c \Rightarrow c = 26 \text{ dm} \] Одговор: Хипотенуза је \( 26 \text{ dm} \).
Други начин (преко површине): Површину можемо израчунати преко катета: \[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \text{ dm}^2 \] Исту површину можемо изразити преко хипотенузе и њене висине: \[ P = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 120 = \frac{c \cdot \frac{120}{13}}{2} \] \[ 120 = \frac{120 \cdot c}{26} \Rightarrow 120 \cdot 26 = 120 \cdot c \Rightarrow c = 26 \text{ dm} \] Одговор: Хипотенуза је \( 26 \text{ dm} \).
Тежак: Правоугли троугао уписан је у кружницу полупречника \( 2,5 \text{ cm} \). Дужина једне катете тог троугла јесте \( 3 \text{ cm} \). Израчунај обим тог троугла.
Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе, што значи да је полупречник једнак половини хипотенузе (\( R = \frac{c}{2} \)).
Одатле можемо наћи хипотенузу:
\[ c = 2 \cdot R = 2 \cdot 2,5 \text{ cm} = 5 \text{ cm} \]
Сада имамо хипотенузу \( c = 5 \text{ cm} \) и катету \( b = 3 \text{ cm} \). Према Питагориној теореми, рачунамо другу катету:
\[ a^2 = c^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \]
\[ a = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \]
Обим троугла је збир свих страница:
\[ O = a + b + c = 4 \text{ cm} + 3 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \]
Одговор: Обим троугла је \( 12 \text{ cm} \).
