Најважније из лекције
- Једнакокраки троугао: Питагорина теорема се примењује на половину троугла: \( b^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_a^2 \).
- Једнакостранични троугао: Висина се рачуна као \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), а површина као \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
- Правоугли троугао (30° и 60°): Катета наспрам 30° је \( \frac{c}{2} \), а наспрам 60° је \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \).
- Кружнице једнакостраничног троугла: Полупречник описане је \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), уписане је \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \). Важи \( R = 2r \).
Сваки једнакокраки троугао висином која одговара основици може се поделити на два подударна правоугла троугла. Хипотенуза тог правоуглог троугла је крак (\( b \)), а катете су висина (\( h_a \)) и половина основице (\( \frac{a}{2} \)).
Питагорина теорема за једнакокраки троугао:
\[ b^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h_a^2 \]
Обим и површина:
\[ O = a + 2b \quad \text{и} \quad P = \frac{a \cdot h_a}{2} \]
Правоугли једнакокраки троугао се може посматрати као део квадрата. Његове катете се поклапају са половинама дијагонала квадрата, док је хипотенуза заправо страница тог квадрата.
Израчунај дужину крака једнакокраког троугла чија је основица \( a = 16 \text{ cm} \), а висина која одговара основици \( h_a = 15 \text{ cm} \).
Примењујемо Питагорину теорему:
\[ b^2 = \left( \frac{16}{2} \right)^2 + 15^2 \]
\[ b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \]
\[ b = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} \]
Висина једнакостраничног троугла дели га на два подударна правоугла троугла, где је хипотенуза страница (\( a \)), а катете су висина (\( h \)) и половина странице (\( \frac{a}{2} \)).
Питагорина теорема за једнакостранични троугао:
\[ a^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2 \]
Висина и површина:
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]
Одреди висину и површину једнакостраничног троугла чија је страница \( a = 6 \text{ cm} \).
Висина:
\[ h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \]
Површина:
\[ P = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Правоугли троугао чији су оштри углови \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) представља тачно половину једнакостраничног троугла. Хипотенуза тог правоуглог троугла одговара страници једнакостраничног троугла.
Ако је хипотенуза једнака \( c \), тада важи:
- Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) је: \( \frac{c}{2} \)
- Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) је: \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \)
У правоуглом троуглу са углом од \( 30^\circ \), хипотенуза износи \( 10 \text{ cm} \). Одреди дужине обе катете.
Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) је половина хипотенузе: \( \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \).
Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) је: \( \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) је: \( \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm} \).
Код једнакостраничног троугла, центри уписане и описане кружнице се поклапају и деле висину у размери 2:1, посматрано од темена.
Полупречник описане кружнице (\( R \)):
\[ R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]
Полупречник уписане кружнице (\( r \)):
\[ r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]
Веза између полупречника:
\[ R = 2r \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај обим једнакокраког троугла чија је основица \( a = 10 \text{ cm} \), а висина која одговара основици \( h_a = 12 \text{ cm} \).
Прво рачунамо крак применом Питагорине теореме:
\[ b^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h_a^2 \]
\[ b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow b = 13 \text{ cm} \]
Обим је:
\[ O = a + 2b = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36 \text{ cm} \]
Средњи: Површина једнакостраничног троугла је \( 25\sqrt{3} \text{ cm}^2 \). Колики је обим тог троугла?
Из формуле за површину израчунавамо страницу \( a \):
\[ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \]
Скраћујемо \( \sqrt{3} \) са обе стране и множимо са 4:
\[ a^2 = 25 \cdot 4 = 100 \Rightarrow a = 10 \text{ cm} \]
Обим троугла је:
\[ O = 3a = 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm} \]
Тежак: Један унутрашњи угао правоуглог троугла има меру \( 30^\circ \), а краћа катета је \( 4\sqrt{3} \text{ cm} \). Одреди површину овог троугла.
Краћа катета се налази наспрам мањег угла (наспрам \( 30^\circ \)). Знамо да је катета наспрам \( 30^\circ \) једнака половини хипотенузе:
\[ \frac{c}{2} = 4\sqrt{3} \Rightarrow c = 8\sqrt{3} \text{ cm} \]
Дужа катета (наспрам \( 60^\circ \)) рачуна се по формули \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \):
\[ \text{Дужа катета} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 \text{ cm} \]
Површина правоуглог троугла је половина производа катета:
\[ P = \frac{4\sqrt{3} \cdot 12}{2} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Средњи/Тежак: Обим једнакостраничног троугла је \( 18 \text{ cm} \). Израчунај полупречник његове описане кружнице (\( R \)).
Прво налазимо страницу \( a \):
\[ 3a = 18 \Rightarrow a = 6 \text{ cm} \]
Полупречник описане кружнице се рачуна по формули:
\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]
Убацујемо вредност за \( a \):
\[ R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \]
