Најважније из лекције
Растојање између тачака на истој оси или паралелним правама: Ако је једна координата иста, растојање се рачуна као апсолутна вредност разлике других координата (нпр. \( |x_B - x_A| \)).
Растојање између било које две тачке: Добија се применом Питагорине теореме. За тачке \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) формула гласи: \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Ова формула је универзална и може се користити за израчунавање дужине било које дужи у координатном систему.
Растојање између било које две тачке: Добија се применом Питагорине теореме. За тачке \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) формула гласи: \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Ова формула је универзална и може се користити за израчунавање дужине било које дужи у координатном систему.
Када две тачке припадају истој координатној оси или праве које их спајају буду паралелне једној од оса (имају једну исту координату), њихово растојање рачунамо као апсолутну вредност разлике њихових других координата.
Ако тачке имају исту ординату (y-координату): Права је паралелна x-оси. Растојање тачака \( A(x_A, y) \) и \( B(x_B, y) \) јесте:
\[ |AB| = |x_B - x_A| = |x_A - x_B| \]
Ако тачке имају исту апсцису (x-координату): Права је паралелна y-оси. Растојање тачака \( A(x, y_A) \) и \( B(x, y_B) \) јесте:
\[ |AB| = |y_B - y_A| = |y_A - y_B| \]
Растојање тачака \( A(2, 2) \) и \( B(3, 2) \) износи \( |3 - 2| = 1 \).
Растојање тачака \( E(1, 1) \) и \( F(1, -2) \) износи \( |-2 - 1| = |-3| = 3 \).
Растојање тачака \( E(1, 1) \) и \( F(1, -2) \) износи \( |-2 - 1| = |-3| = 3 \).
Одреди растојање тачака \( C(-3, 1) \) и \( D(-1, 1) \).
Тачке имају исту y-координату (1), па рачунамо разлику x-координата:
\( |CD| = |-1 - (-3)| = |-1 + 3| = |2| = 2 \)
\( |CD| = |-1 - (-3)| = |-1 + 3| = |2| = 2 \)
За одређивање растојања било које две тачке у координатном систему користимо Питагорину теорему.
Уочимо правоугли троугао чија је хипотенуза дуж \( AB \), а катете су паралелне осама. Дужине катета су разлике одговарајућих координата: \( |x_B - x_A| \) и \( |y_B - y_A| \). На основу Питагорине теореме важи: \( AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \).
Растојање тачака \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) рачуна се по формули:
\[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
Израчунавање растојања тачака \( A(2, -5) \) и \( B(-4, 3) \):
\[ |AB| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (3 - (-5))^2} \]
\[ |AB| = \sqrt{(-6)^2 + (3 + 5)^2} \]
\[ |AB| = \sqrt{36 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Израчунај растојање тачака \( S(-\frac{1}{2}, 0) \) и \( T(0.5, -3) \).
Користимо општу формулу. Уместо разломка \(-\frac{1}{2}\) можемо писати \(-0.5\):
\[ |ST| = \sqrt{(0.5 - (-0.5))^2 + (-3 - 0)^2} \]
\[ |ST| = \sqrt{(0.5 + 0.5)^2 + (-3)^2} \]
\[ |ST| = \sqrt{1^2 + 9} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
Задаци за вежбање
Лак: Дате су тачке \( A(1, 6) \) и \( B(1, -2) \). Одреди њихово растојање без коришћења Питагорине теореме.
Пошто обе тачке имају исту x-координату (1), растојање је апсолутна вредност разлике њихових y-координата:
\( |AB| = |-2 - 6| = |-8| = 8 \)
\( |AB| = |-2 - 6| = |-8| = 8 \)
Средњи: Одреди растојање тачака \( C(-3, -3) \) и \( D(-4, -4) \).
Примењујемо општу формулу:
\[ |CD| = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-4 - (-3))^2} \]
\[ |CD| = \sqrt{(-4 + 3)^2 + (-4 + 3)^2} \]
\[ |CD| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \]
\[ |CD| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
Тежак: Тачке \( M(-1, 1) \), \( N(-2, 0) \) и \( S(-4, 2) \) су темена троугла. Докажи да је тај троугао правоугли.
Дужине страница троугла једнаке су растојањима његових темена. Рачунамо дужине страница помоћу формуле за растојање:
\( MN = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
\( NS = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( SM = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
Да би троугао био правоугли, мора да важи Питагорина теорема за дужине његових страница (\(a^2 + b^2 = c^2\)). Најдужа страница (хипотенуза) је \( SM = \sqrt{10} \).
Проверавамо: \( MN^2 + NS^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{8})^2 = 2 + 8 = 10 \).
Како је \( 10 = SM^2 \), тј. \( (\sqrt{10})^2 = 10 \), на основу обрнуте Питагорине теореме следи да је троугао \( MNS \) правоугли.
\( MN = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
\( NS = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( SM = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
Да би троугао био правоугли, мора да важи Питагорина теорема за дужине његових страница (\(a^2 + b^2 = c^2\)). Најдужа страница (хипотенуза) је \( SM = \sqrt{10} \).
Проверавамо: \( MN^2 + NS^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{8})^2 = 2 + 8 = 10 \).
Како је \( 10 = SM^2 \), тј. \( (\sqrt{10})^2 = 10 \), на основу обрнуте Питагорине теореме следи да је троугао \( MNS \) правоугли.
