Најважније из лекције
Кључно правило: При множењу степена једнаких основа, основа остаје иста, а изложиоци се сабирају: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Груписање: Ако имамо више различитих основа у производу, множимо само оне који имају исту основу. Пример: \( a^2 \cdot b^3 \cdot a^4 = a^6 \cdot b^3 \).
Сабирање: Код сабирања или одузимања степена не постоји правило за сабирање изложилаца. Уместо тога, користи се дистрибутивност. Пример: \( 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 7^2 = (4+5) \cdot 7^2 = 9 \cdot 7^2 \).
Груписање: Ако имамо више различитих основа у производу, множимо само оне који имају исту основу. Пример: \( a^2 \cdot b^3 \cdot a^4 = a^6 \cdot b^3 \).
Сабирање: Код сабирања или одузимања степена не постоји правило за сабирање изложилаца. Уместо тога, користи се дистрибутивност. Пример: \( 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 7^2 = (4+5) \cdot 7^2 = 9 \cdot 7^2 \).
Производ степена једнаких основа јесте степен чија је основа једнака основи чинилаца, а изложилац једнак збиру изложилаца чинилаца.
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
За \( a \in \mathbb{R} \) и \( m, n \in \mathbb{N} \)
Уместо да рачунамо вредности, степене са истом основом можемо помножити сабирањем њихових изложилаца:
\[ 2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 \]
\[ (-2,3)^3 \cdot (-2,3)^5 = (-2,3)^{3+5} = (-2,3)^8 \]
Који природан број треба да замени знак \(\square\) тако да једнакост буде тачна?
\( \left(\frac{5}{8}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{\square} = \left(\frac{5}{8}\right)^{12} \)
\( \left(\frac{5}{8}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{\square} = \left(\frac{5}{8}\right)^{12} \)
Одговор: Број 7, јер је \( 5 + 7 = 12 \), па важи:
\[ \left(\frac{5}{8}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^7 = \left(\frac{5}{8}\right)^{5+7} = \left(\frac{5}{8}\right)^{12} \]
За множење више од два степена користе се својства комутативности и асоцијативности множења. То значи да можемо груписати чиниоце који имају исту основу и њих помножити.
Степен без написаног изложиоца подразумева да је изложилац број 1. На пример: \( x = x^1 \).
Множење више степена исте основе:
\[ 3^5 \cdot 3^4 \cdot 3^2 = 3^{5+4+2} = 3^{11} \]
Груписање израза са различитим основама:
\[ a^2 \cdot b^4 \cdot a^3 \cdot b^2 = (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b^2) = a^{2+3} \cdot b^{4+2} = a^5 \cdot b^6 \]
Упрости израз: \( x^3 \cdot y \cdot x^4 \cdot y^5 \)
Групишемо степене са основом \(x\) и степене са основом \(y\) (имајући у виду да је \( y = y^1 \)):
\[ x^3 \cdot y^1 \cdot x^4 \cdot y^5 = (x^3 \cdot x^4) \cdot (y^1 \cdot y^5) = x^{3+4} \cdot y^{1+5} = x^7 \cdot y^6 \]
Не постоји опште правило за сабирање степена с једнаким основама! Изложиоци се не смеју сабирати када се степени сабирају.
У неким случајевима, приликом израчунавања збира или разлике степена, може се применити својство дистрибутивности (извлачење заједничког чиниоца).
Сабирање истих степена:
\[ 3^7 + 3^7 = 1 \cdot 3^7 + 1 \cdot 3^7 = (1 + 1) \cdot 3^7 = 2 \cdot 3^7 \]
Извлачење заједничког чиниоца:
\[ 5 \cdot 2^{10} - 3 \cdot 2^{10} = (5 - 3) \cdot 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{1+10} = 2^{11} \]
Упрости израз: \( 7 \cdot 5^4 + 3 \cdot 5^4 - 5^4 \)
Примењујемо својство дистрибутивности, знајући да је \( - 5^4 = - 1 \cdot 5^4 \):
\[ (7 + 3 - 1) \cdot 5^4 = 9 \cdot 5^4 \]
Степени са основом 10 имају посебне називе. У Србији се користи европски систем назива (који се разликује од америчког).
| Степен | Назив (Европски систем) |
|---|---|
| \( 10^6 \) | милион |
| \( 10^9 \) | милијарда |
| \( 10^{12} \) | билион |
| \( 10^{15} \) | билијарда |
| \( 10^{18} \) | трилион |
Конверзија јединица запремине такође користи степене десетке: \( 1\text{ l} = 1\text{ dm}^3 = 10^6\text{ mm}^3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Представи у облику једног степена израз: \( (-4)^3 \cdot (-4)^7 \)
Основе су једнаке, па сабирамо изложиоце:
\[ (-4)^3 \cdot (-4)^7 = (-4)^{3+7} = (-4)^{10} \]
Средњи: Упрости следећи израз: \( x^5 \cdot y^2 \cdot x \cdot y^3 \cdot z^4 \)
Групишемо чиниоце са истим основама (подсећамо се да је \( x = x^1 \)):
\[ (x^5 \cdot x^1) \cdot (y^2 \cdot y^3) \cdot z^4 = x^{5+1} \cdot y^{2+3} \cdot z^4 = x^6 \cdot y^5 \cdot z^4 \]
Тежак: Израчунај вредност израза: \( 5 \cdot 2^6 - 3 \cdot 2^6 \) и резултат запиши у облику степена.
Примењујемо дистрибутивност (извлачимо заједнички део \(2^6\) испред заграде):
\[ (5 - 3) \cdot 2^6 = 2 \cdot 2^6 \]
Како је \( 2 = 2^1 \), даље примењујемо правило за множење степена истих основа:
\[ 2^1 \cdot 2^6 = 2^{1+6} = 2^7 \]
