Најважније из лекције
Дељење степена једнаких изложилаца: Степени се деле тако што се њихове основе поделе, а изложилац препише.
Формула: \( a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \)
Пример: \( 20^3 : 5^3 = (20 : 5)^3 = 4^3 = 64 \)
Степен количника: Количник (разломак) се степенује тако што се посебно степенује дељеник (бројилац), а посебно делилац (именилац).
Формула: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Пример: \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \)
Формула: \( a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \)
Пример: \( 20^3 : 5^3 = (20 : 5)^3 = 4^3 = 64 \)
Степен количника: Количник (разломак) се степенује тако што се посебно степенује дељеник (бројилац), а посебно делилац (именилац).
Формула: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Пример: \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \)
Количник степена једнаких изложилаца (чија је основа делиоца различита од нуле) јесте степен чија је основа једнака количнику основа степена који се деле, а изложилац остаје исти.
За \( a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0 \) и \( n \in \mathbb{N} \) важи:
\[ a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]
Пример дељења када су основе бројеви:
\[ 12^5 : 4^5 = (12 : 4)^5 = 3^5 = 243 \]
Пример дељења када су основе променљиве (\( y \neq 0 \)):
\[ x^4 : y^4 = \left(\frac{x}{y}\right)^4 \]
Израчунај вредност израза: \( \frac{(-28)^3}{7^3} \)
Применом правила за дељење степена једнаких изложилаца добијамо:
\[ \frac{(-28)^3}{7^3} = \left(\frac{-28}{7}\right)^3 = (-4)^3 = -64 \]
Ово правило је обрнуто од претходног. Степен количника (разломка) једнак је количнику степена дељеника (бројиоца) и делиоца (имениоца).
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]
Степеновање разломка са кореном:
\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 = \frac{(\sqrt{3})^4}{2^4} = \frac{9}{16} \]
Уколико се степенује мешовити број, прво га је потребно претворити у неправилан разломак!
Израчунај вредност израза: \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 \)
Прво претварамо мешовити број у разломак, а затим примењујемо правило:
\[ \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{(-4)^3}{3^3} = \frac{-64}{27} = -2\frac{10}{27} \]
Правила за множење и дељење степена једнаких изложилаца могу се комбиновати како би се упростили сложенији изрази, што знатно олакшава рачунање.
Комбиновање множења и дељења:
\[ (6^9 \cdot 12^9) : (4^9 \cdot 9^9) = (6 \cdot 12)^9 : (4 \cdot 9)^9 = 72^9 : 36^9 = (72 : 36)^9 = 2^9 = 512 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза \( 0,75^5 : \left(-\frac{3}{4}\right)^5 \).
Пошто је \( 0,75 = \frac{3}{4} \), задатак можемо записати као:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^5 : \left(-\frac{3}{4}\right)^5 = \left( \frac{3}{4} : \left(-\frac{3}{4}\right) \right)^5 = (-1)^5 = -1 \]
Средњи: Ако је \( \frac{a}{b} = -2 \), израчунај вредност израза \( 3a^3 \cdot \frac{1}{b^3} \).
Израз се може записати у облику разломка, а затим применити правило за дељење степена:
\[ 3a^3 \cdot \frac{1}{b^3} = 3 \cdot \frac{a^3}{b^3} = 3 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \]
Заменом дате вредности \( \frac{a}{b} = -2 \) добијамо:
\[ 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24 \]
Тежак: Упрости израз и израчунај његову вредност: \( \frac{3^{10} \cdot 6^{10}}{2^{10} \cdot 9^{10}} \).
Прво примењујемо правило за множење степена истих изложилаца у бројиоцу и имениоцу, а затим правило за дељење:
\[ \frac{3^{10} \cdot 6^{10}}{2^{10} \cdot 9^{10}} = \frac{(3 \cdot 6)^{10}}{(2 \cdot 9)^{10}} = \frac{18^{10}}{18^{10}} = \left(\frac{18}{18}\right)^{10} = 1^{10} = 1 \]
