Најважније из лекције
Шта је полином? Израз састављен од бројева и променљивих код којег нема дељења променљивом.
Моном: Само множење (нпр. \( 5x^2y \)). Има свој коефицијент (\( 5 \)) и степен (\( 2+1=3 \)).
Врсте полинома: Бином (2 члана, нпр. \( x+3 \)) и трином (3 члана, нпр. \( x^2+x+1 \)).
Степен полинома: Одређује се према члану (моному) са највећим степеном.
Слични мономи: Мономи који имају потпуно исти променљиви део (нпр. \( 4ab \) и \( -7ab \)).
Моном: Само множење (нпр. \( 5x^2y \)). Има свој коефицијент (\( 5 \)) и степен (\( 2+1=3 \)).
Врсте полинома: Бином (2 члана, нпр. \( x+3 \)) и трином (3 члана, нпр. \( x^2+x+1 \)).
Степен полинома: Одређује се према члану (моному) са највећим степеном.
Слични мономи: Мономи који имају потпуно исти променљиви део (нпр. \( 4ab \) и \( -7ab \)).
Рационални алгебарски изрази су реални бројеви (константе) и променљиве, као и сви изрази који настају њиховим сабирањем, одузимањем, множењем, дељењем и степеновањем природним бројем.
Дељење је дозвољено само под условом да је делилац различит од нуле (\( B \neq 0 \)).
Примери рационалних алгебарских израза:
\( 2 + a \)
\( \sqrt{2} \cdot z \)
\( (s - 0,5p)^2 \)
\( \frac{x+1}{y} \)
\( 2 + a \)
\( \sqrt{2} \cdot z \)
\( (s - 0,5p)^2 \)
\( \frac{x+1}{y} \)
Полином (цели алгебарски израз) јесте рационални алгебарски израз у чијем формирању не учествује операција дељења изразом који садржи променљиву.
Полиноми се обично обележавају великим латиничним словима уз навођење променљивих у загради, на пример: \( A(x) \), \( P(a,b) \), \( Q(x,y,z) \).
Изрази \( 5 \), \( -\sqrt{2} \), \( x \), \( \frac{1}{3}ab \) и \( 2x^2 - 9x + 8 \) јесу полиноми.
Израз \( \frac{x-2}{x-3} \) није полином, јер садржи дељење изразом \( x-3 \) који садржи променљиву.
Израз \( \frac{x-2}{x-3} \) није полином, јер садржи дељење изразом \( x-3 \) који садржи променљиву.
Да ли је израз \( P(x) = \frac{x}{5} + 3x^2 \) полином?
Одговор: Да, јесте. Иако постоји разломак (дељење), делилац је константа (\( 5 \)), а не променљива.
Моном је полином у чијем формирању не учествују операције сабирања и одузимања (састоји се само од множења константи и променљивих).
Сваки моном се састоји од коефицијента (производ константи) и променљивог дела (производ променљивих).
Ако константа није написана, коефицијент је \( 1 \) или \( -1 \) (нпр. за моном \( x \) коефицијент је \( 1 \), за \( -ab \) је \( -1 \)).
| Моном | Коефицијент | Променљиви део |
|---|---|---|
| \( 3x^2 \) | \( 3 \) | \( x^2 \) |
| \( -0,5ab \) | \( -0,5 \) | \( ab \) |
| \( -5 \) | \( -5 \) | нема |
Степен монома је збир изложилаца свих степена променљивих у моному. Константа различита од нуле има степен \( 0 \).
Степен монома \( -2z^3 \) је \( 3 \).
Степен монома \( \frac{1}{7}x^2y^3 \) је \( 5 \) (\( 2 + 3 = 5 \)).
Степен монома \( -5 \) је \( 0 \).
Степен монома \( \frac{1}{7}x^2y^3 \) је \( 5 \) (\( 2 + 3 = 5 \)).
Степен монома \( -5 \) је \( 0 \).
Одреди коефицијент, променљиви део и степен монома \( M(a,b,c) = -a^3bc^2 \).
Коефицијент: \( -1 \)
Променљиви део: \( a^3bc^2 \)
Степен монома: \( 3 + 1 + 2 = 6 \) (не заборавите да је \( b = b^1 \)).
Променљиви део: \( a^3bc^2 \)
Степен монома: \( 3 + 1 + 2 = 6 \) (не заборавите да је \( b = b^1 \)).
Слични мономи су мономи који имају потпуно једнаке променљиве делове (разликују се само у коефицијенту).
Мономи \( A = 3x^2 \) и \( B = -\frac{1}{2}x^2 \) јесу слични.
Мономи \( 2x \) и \( 2x^2 \) нису слични (иако имају исти коефицијент, променљиви делови \( x \) и \( x^2 \) нису исти).
Мономи \( 2x \) и \( 2x^2 \) нису слични (иако имају исти коефицијент, променљиви делови \( x \) и \( x^2 \) нису исти).
Сваки полином се може представити као збир несличних монома. Ти мономи се називају чланови полинома.
Према броју чланова, полиноми могу бити:
• Бином – збир два неслична монома (нпр. \( 2x - 3 \)).
• Трином – збир три неслична монома (нпр. \( x^2 + 6x - 0,1 \)).
• Бином – збир два неслична монома (нпр. \( 2x - 3 \)).
• Трином – збир три неслична монома (нпр. \( x^2 + 6x - 0,1 \)).
Степен полинома јесте највећи од степена монома који су чланови тог полинома (након што се полином сведе на збир несличних монома).
За полином \( -3x^2y^4 + 4x^3y^2 - xy \):
• Први члан \( -3x^2y^4 \) има степен \( 6 \) (\( 2+4 \)).
• Други члан \( 4x^3y^2 \) има степен \( 5 \) (\( 3+2 \)).
• Трећи члан \( -xy \) има степен \( 2 \) (\( 1+1 \)).
Највећи степен је \( 6 \), па је степен целог полинома \( 6 \).
• Први члан \( -3x^2y^4 \) има степен \( 6 \) (\( 2+4 \)).
• Други члан \( 4x^3y^2 \) има степен \( 5 \) (\( 3+2 \)).
• Трећи члан \( -xy \) има степен \( 2 \) (\( 1+1 \)).
Највећи степен је \( 6 \), па је степен целог полинома \( 6 \).
Вредност полинома се добија када се све променљиве замене конкретним бројевима и изврше се рачунске операције.
Израчунај вредност бинома \( Q(x) = 2x^2 - 1 \) за \( x = -3 \).
Мењамо \( x \) са \( -3 \):
\[ Q(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 18 - 1 = 17 \]
Одговор: Вредност полинома је \( 17 \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је моном \( M(x) = -7x^4 \). Одреди његов коефицијент и степен.
Коефицијент је број који множи променљиву, а степен је изложилац променљиве.
Одговор: Коефицијент је \( -7 \), а степен је \( 4 \).
Одговор: Коефицијент је \( -7 \), а степен је \( 4 \).
Средњи: Дат је полином \( P(x, y) = 5xy^3 - 2x^2y + 8 \). Ког је степена овај полином и како се назива према броју чланова?
Рачунамо степене сваког члана:
1. члан: \( 5xy^3 \rightarrow \) степен \( 1 + 3 = 4 \).
2. члан: \( -2x^2y \rightarrow \) степен \( 2 + 1 = 3 \).
3. члан: \( 8 \rightarrow \) степен \( 0 \).
Највећи степен је 4. Полином се састоји од три неслична члана.
Одговор: Полином је 4. степена и назива се трином.
1. члан: \( 5xy^3 \rightarrow \) степен \( 1 + 3 = 4 \).
2. члан: \( -2x^2y \rightarrow \) степен \( 2 + 1 = 3 \).
3. члан: \( 8 \rightarrow \) степен \( 0 \).
Највећи степен је 4. Полином се састоји од три неслична члана.
Одговор: Полином је 4. степена и назива се трином.
Тежак: Израчунај вредност полинома \( S(x, y) = -x^3 + 2x^2y - xy^2 \) за \( x = -2 \) и \( y = \frac{1}{2} \).
Замењујемо вредности у израз:
\[ S(-2, \frac{1}{2}) = -(-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 \cdot (\frac{1}{2}) - (-2) \cdot (\frac{1}{2})^2 \]
\[ = -(-8) + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} - (-2) \cdot \frac{1}{4} \]
\[ = 8 + 4 - (-\frac{2}{4}) \]
\[ = 12 + \frac{1}{2} = 12,5 \]
Одговор: Вредност полинома је \( 12,5 \) (или \( 12 \frac{1}{2} \)).
