Најважније из лекције
- Централни угао (\( \alpha \)): Теме је у центру круга.
- Периферијски угао (\( \beta \)): Теме је на кружници.
- Кључна формула: \( \alpha = 2\beta \) (централни угао је увек дупло већи од периферијског над истим луком).
- Важна правила: Периферијски угао над пречником је увек прав (\( 90^\circ \)). Сви периферијски углови над истим луком имају исту меру.
Централни угао круга јесте угао чије је теме центар круга, а краци садрже полупречнике круга.
Ако краци централног угла секу кружницу у тачкама \(A\) и \(B\), кажемо да је тај угао над луком \( \widehat{AB} \).
Периферијски угао круга јесте конвексан угао чије теме припада кружници, а краци садрже тетиве круга.
Сваком кружном луку одговара тачно један централни угао, док му одговара бесконачно много периферијских углова.
Централни угао круга два пута је већи од периферијског угла над истим луком.
\[ \alpha = 2\beta \]
где је \( \alpha \) централни, а \( \beta \) периферијски угао над истим луком.
Ако је централни угао над неким луком \( 120^\circ \), периферијски угао над истим луком износиће половину те вредности:
\[ \beta = 120^\circ : 2 = 60^\circ \]
Обрнуто, ако је периферијски угао \( 50^\circ \), централни угао је:
\[ \alpha = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ \]
Ако је централни угао над кружним луком \( 74^\circ \), колико износи периферијски угао над тим истим луком?
Периферијски угао је дупло мањи од централног.
\( \beta = \alpha : 2 \)
\( \beta = 74^\circ : 2 = 37^\circ \)
\( \beta = \alpha : 2 \)
\( \beta = 74^\circ : 2 = 37^\circ \)
Периферијски угао над пречником круга је прав (\( 90^\circ \)).
Објашњење: Централни угао који одговара пречнику је опружен угао (\( 180^\circ \)). Како је периферијски угао дупло мањи, он износи \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \).
Објашњење: Централни угао који одговара пречнику је опружен угао (\( 180^\circ \)). Како је периферијски угао дупло мањи, он износи \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \).
Сви периферијски углови над истим луком су међусобно једнаки.
Објашњење: Пошто сви они одговарају једном истом централном углу над тим луком, сви морају имати исту меру (половину тог централног угла).
Објашњење: Пошто сви они одговарају једном истом централном углу над тим луком, сви морају имати исту меру (половину тог централног угла).
Односи лукова и углова: У истом кругу (или круговима једнаких полупречника), већем централном углу одговара већи лук, а једнаким угловима одговарају једнаки лукови (и обрнуто).
Задаци за вежбање
Лак: Периферијски угао над луком \( \widehat{AB} \) износи \( 42^\circ \). Колика је мера централног угла над истим луком?
Централни угао је два пута већи од периферијског.
\( \alpha = 2 \cdot \beta \)
\( \alpha = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ \)
Одговор: Централни угао износи \( 84^\circ \).
\( \alpha = 2 \cdot \beta \)
\( \alpha = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ \)
Одговор: Централни угао износи \( 84^\circ \).
Средњи: Збир централног и периферијског угла над истим кружним луком износи \( 135^\circ \). Одреди мере ових углова.
Нека је \( \alpha \) централни, а \( \beta \) периферијски угао.
Познато нам је: \( \alpha + \beta = 135^\circ \)
Према теореми важи: \( \alpha = 2\beta \)
Заменом добијамо: \( 2\beta + \beta = 135^\circ \)
\( 3\beta = 135^\circ \implies \beta = 45^\circ \)
Сада рачунамо централни угао: \( \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Периферијски угао је \( 45^\circ \), а централни је \( 90^\circ \).
Познато нам је: \( \alpha + \beta = 135^\circ \)
Према теореми важи: \( \alpha = 2\beta \)
Заменом добијамо: \( 2\beta + \beta = 135^\circ \)
\( 3\beta = 135^\circ \implies \beta = 45^\circ \)
Сада рачунамо централни угао: \( \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Периферијски угао је \( 45^\circ \), а централни је \( 90^\circ \).
Тежак: Тетива круга једнака је његовом полупречнику. Одреди меру мањег централног и одговарајућег периферијског угла над том тетивом.
Ако спојимо крајеве тетиве са центром круга, добијамо троугао чије су странице два полупречника (\(r\)) и тетива (која је такође једнака \(r\)).
Тај троугао је једнакостраничан.
Унутрашњи углови једнакостраничног троугла су \( 60^\circ \). Угао код центра круга је управо тражени централни угао.
Дакле, \( \alpha = 60^\circ \).
Периферијски угао над истом тетивом (луком) је дупло мањи:
\( \beta = 60^\circ : 2 = 30^\circ \).
Одговор: Централни угао је \( 60^\circ \), а периферијски \( 30^\circ \).
Тај троугао је једнакостраничан.
Унутрашњи углови једнакостраничног троугла су \( 60^\circ \). Угао код центра круга је управо тражени централни угао.
Дакле, \( \alpha = 60^\circ \).
Периферијски угао над истом тетивом (луком) је дупло мањи:
\( \beta = 60^\circ : 2 = 30^\circ \).
Одговор: Централни угао је \( 60^\circ \), а периферијски \( 30^\circ \).
